1、1等差数列的定义从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母_d_表示2等差数列的通项公式若首项是a1，公差是d，则这个等差数列的通项公式是ana1(n1)d.3等差中项如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an
2、是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN)是公差为md的等差数列(6)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，(mN)构成等差数列5等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn或Snna1d.6等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数)7等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，则Sn存在最小值【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2 (nN)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，
3、q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()(4)已知等差数列an的通项公式an32n，则它的公差为2.()1在等差数列an中，若a24，a42，则a6等于()A1 B0 C1 D6答案B解析由等差数列的性质，得a62a4a22240，故选B.2(2016全国乙卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a1
4、00等于()A100 B99 C98 D97答案C解析由等差数列性质，知S99a527，得a53，而a108，因此公差d1，a100a1090d98，故选C.3(2016江西玉山一中模拟)已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a3a4a59，则S7等于()A21 B28 C35 D42答案A解析a3a4a59，a43，S77a421，故选A.4已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1010，S2030，则S30_.答案60解析S10，S20S10，S30S20成等差数列，且S1010，S2030，S20S1020，S30301021030，S3060.5若等差数列an满足a7a8a90，
5、a7a103)，Sn100，则n的值为()A8 B9C10 D11答案C解析由SnSn351，得an2an1an51，所以an117，又a23，Sn100，解得n10.4(2017北师大附中质检)九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为()A1升 B.升 C.升 D.升答案B解析设竹子自上而下各节的容积分别为a1，a2，a9，且为等差数列，根据题意得a1a2a3a43，a7a8a94，即4a16d3，3a121d4，43得66d7，解得d，把d代入，得a1，则a5(51).5已知数列an满足an1an
6、，且a15，设an的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的序号n的值为()A7 B8C7或8 D8或9答案C解析由题意可知数列an是首项为5，公差为的等差数列，所以an5(n1)，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以Sn取得最大值时，n7或n8，故选C. 6.设数列an的前n项和为Sn，若为常数，则称数列an为“吉祥数列”已知等差数列bn的首项为1，公差不为0，若数列bn为“吉祥数列”，则数列bn的通项公式为()Abnn1 Bbn2n1Cbnn1 Dbn2n1答案B解析设等差数列bn的公差为d(d0)，k，因为b11，则nn(n1)dk2n2n(2n1)d，即2(n1)
7、d4k2k(2n1)d，整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因为对任意的正整数n上式均成立，所以(4k1)d0，(2k1)(2d)0，又公差d0，解得d2，k.所以数列bn的通项公式为bn2n1.7(2015安徽)已知数列an中，a11，anan1(n2)，则数列an的前9项和等于_答案27解析由题意知数列an是以1为首项，以为公差的等差数列，S99191827.8已知数列an中，a11且(nN)，则a10_.答案解析由已知得(101)134，故a10.9设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有，则的值为_答案解析an，bn为等差数列，.，.10设等差数列an
8、的前n项和为Sn，若a13，ak1，Sk12，则正整数k_.答案13解析Sk1Skak112，又Sk1，解得k13.11在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值解(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33，可得12d3，解得d2.从而an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知an32n，所以Sn2nn2.由Sk35，可得2kk235，即k22k350，解得k7或k5.又kN，故k7.12已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数
9、列，求数列|an|的前n项和解(1)设等差数列an的公差为d，则a2a1d，a3a12d.由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得an23(n1)3n5或an43(n1)3n7.故an3n5或an3n7.(2)当an3n5时，a2，a3，a1分别为1，4,2，不成等比数列；当an3n7时，a2，a3，a1分别为1,2，4，成等比数列，满足条件故|an|3n7|记数列|an|的前n项和为Sn.当n1时，S1|a1|4；当n2时，S2|a1|a2|5；当n3时，SnS2|a3|a4|an|5(337)(347)(3n7)5n2n10.当n2时，满足此式，当n1时，不满足此式综上，Sn 13.已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Snan4(nN)(1)求证：数列an为等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明当n1时，有2a1a14，即a2a130，解得a13(a11舍去)当n2时，有2Sn1an5，又2Snan4，两式相减得2anaa1，即a2an1a，也即(an1)2a，因此an1an1或an1an1.若an1an1，则anan11.而a13，所以a22，这与数列an的各项均为正数相矛盾，所以an1an1，即anan11，因此数列an是首项为3，公差为1的等差数列(2)解由(1)知a13，d1，所以数列an的通项公式an3(n1)1n2，即ann2.