1、2016年数学全真模拟试卷一试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1 已知集合，则AB 【答案】2 某公司生产三种型号A，B，C的轿车，产量分别为1200辆，6000辆，2000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，则型号A的轿车应抽取 辆 【答案】63 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点坐标为，则实数的值为 【答案】24 已知集合现从集合中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为正数的概率为 【答案】N开始输入x输出y结束Y （第5题）5 如图，是一个算法的程序框图，当输出的值为2时，若将输入的的所有可能值按从小到大的顺
2、序排列得到一个数列，则该数列的通项公式为 【答案】6 豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D，决定矮的基因记为d，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd，若第二子代的D，d的基因遗传是等可能的（只要有基因D则其就是高茎，只有两个基因全是d时，才显示矮茎），则第二子代为高茎的概率为 【答案】7 在平面直角坐标系xOy中，已知向量，则 【答案】25 (第9题）8 已知为正实数，满足，则的最小值为 【答案】189 如图，已知正四棱柱的体积为36，点，分别为棱，上的点（异于端点），且，则四棱锥的体积为 【答案】1210 设定义在区间的函数（其中）是偶函数，则函数的单调 减区间为 【答
3、案】 【解析】依题意，则的减区间为11在平面直角坐标系中，已知圆：，直线：若动圆总在直线的下方且它们至多有1个交点，则实数的最小值是 【答案】2【解析】依题意，圆心的轨迹为线段， 当且仅当，且时，实数的最小，此时 （第12题）xy12如图，三次函数的零点为，则该函数的单调减区间为 【答案】【解析】设，其中，令 得，所以该函数的 单调减区间为；13如图，点为的重心，且，则的值为 ABCO（第13题） 【答案】72【解析】以AB的中点M为坐标原点，AB为x轴建立 平面直角坐标系，则， ， 设，则， 因为OAOB，所以，xMyBOAC 从而， 化简得， 所以14设均为非零常数，给出如下三个条件：与均
4、为等比数列；为等差数列，为等比数列；为等比数列，为等差数列，其中一定能推导出数列为常数列的是 （填上所有满足要求的条件的序号）【答案】【解析】易得， 即， 因为，且，所以，即证； 由知， 因为，所以，即证； 易得，且， 故，又，即证二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤15（本题满分14分）已知，（1）求的值；（2）求的值解：（1）因为，且， 所以，解得，（4分） 因为，所以，从而， 所以（6分） （2）因为，所以，（8分） 又，故， 从而，（10分） 所以（14分）16（本题满分14分）AEBCDAAAA（第16题）如图，在长
5、方体中， 已知，点E是AB的中点 （1）求三棱锥的体积； （2）求证： 【解】（1）由长方体性质可得, 平面DEC， 所以是三棱锥的高, 又点E是AB的中点， AB2，所以,， 三棱锥的体积；(7分) （2）连结, 因为是正方形,所以 ， 又面，面, 所以， 又，平面， 所以平面，(12分) 而平面, 所以(14分)17（本题满分14分）请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度为5m经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/，1百元/，设圆锥母线与底 （第17题）
6、面所成角为，且，问当为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：百元）最少？并求出此时圆锥的高度解：设该仓库的侧面总造价为y， 则 ，（6分） 由得， 所以，（10分） 列表：0极小值 所以当时，侧面总造价最小，此时圆锥的高度为m（14分） 18（本题满分16分） 定义：如果一个菱形的四个顶点均在一个椭圆上，那么该菱形叫做这个椭圆的内接菱形，且该菱形的对角线的交点为这个椭圆的中心(第20题)如图，在平面直角坐标系中，设椭圆的所有内接菱形构成的集合为（1）求中菱形的最小的面积；（2）是否存在定圆与中的菱形都相切?若存在，求出定圆的方程；若不存在，说明理由；（3）当菱形的一边经过椭圆的右焦点时，求这条边所
7、在的直线的方程 解：（1）如图，设， 当菱形的对角线在坐标轴上时，其面积为； 当菱形的对角线不在坐标轴上时，设直线的方程为：， 则直线的方程为：， 又椭圆， 由得， 从而， 同理可得，（3分） 所以菱形的面积为 (当且仅当时等号成立), 综上得，菱形的最小面积为；（6分）（2）存在定圆与中菱形的都相切，设原点到菱形任一边的距离为，下证：， 证明：由(1)知，当菱形的对角线在坐标轴上时， 当菱形的对角线不在坐标轴上时， ，即得， 综上，存在定圆与中的菱形都相切；（12分）（3）设直线的方程为，即， 则点到直线的距离为， 解得， 所以直线的方程为（16分）19（本题满分16分）设，为实数，函数为上
8、的奇函数，且在区间上单调 （1）求，应满足的条件； （2）求函数的单调区间； （3）设，且，求证： 解：（1）因为为上的奇函数， 所以，即， 变形得， 所以， （2分） 此时在区间上单调， 则在区间上恒成立，得；（5分） （2），且， 当时，所以函数的单调增区间为；（7分） 当时，得，函数的单调减区间为，单调增区 间为，；（10分） （3）设，则， 即有，且， 两式相减得， 即， 因为，所以， 故，即（16分）20（本题满分16分） 若存在非零常数，对任意的正整数，则称数列是“数列”（1）若数列的前n项和，求证：是“数列”；（2）设是各项均不为0的“数列” 若，求证：不是等差数列； 若，求证：
9、当，成等差时，是等差数列 解：（1）当时，； 当时， 所以，（3分） 则是“数列”存在非零常数， 显然满足题意，所以是“数列”；（ 5分） （2）假设是等差数列，设， 则由得， 解得，这与矛盾，故假设不成立， 从而不是等差数列；(10分) 因为， 所以， 得， 因为的各项均不为0， 所以， 从而是常数列， 因为，成等差，所以， 从而，即，即证(16分)试题（附加题） 21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若 多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤（第21A题）A（几何证明选讲）如图，已知凸四边形的顶点在一个圆周上，另一个
10、圆的圆心在上，且与四边形的其余三边相切点在边上，且 求证： ，四点共圆 证明：因为， 所以， 因为四边形的顶点在一个圆周上， 所以， 从而， 所以，四点共圆（10分） B（矩阵与变换）在平面直角坐标系中，设点P(x，5)在矩阵M对应的变换下得到点Q(y2，y)，求解：依题意，即解得 （4分） 由逆矩阵公式知，矩阵M的逆矩阵，（8分） 所以（10分） C（极坐标与参数方程） 在极坐标系中，设直线过点，且直线与曲线：有且只 有一个公共点，求实数的值解：依题意，的直角坐标方程为， 从而直线的普通方程为，（4分） 曲线：的普通方程为，（8分） 因为直线与曲线有且只有一个公共点， 所以，解得(负值已舍)
11、（10分）D（不等式选讲） 设正数，满足，求证：证明：由柯西不等式得， ，（6分） 所以（10分） 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤22如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且（第22题） ，平面 （1）求与平面所成角的正弦值； （2）棱上是否存在一点满足？ 若存在，求的长；若不存在，说明理由 解：（1）依题意，以为坐标原点，分别以， 为，轴建立空间直角坐标系， 则， 从而，（2分） 设平面的法向量为，则，且， 即，且，不妨取，则， 所以平面的一个法向量为，（4分） 此时， 所以与平面所成角的正弦值为；（6分）
12、（2）设，则， 则， 由得， 化简得，该方程无解， 所以，棱上不存在一点满足（10分）23设整数3，集合P1，2，3，n，A，B是P的两个非空子集记an为所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A，B)的个数 （1）求a3； （2）求an解：（1）当3时，P1，2，3 ， 其非空子集为：1，2，3，1，2，1，3，2，3，1，2，3， 则所有满足题意的集合对(A，B)为：（1，2），（1，3），（2，3）， （1，2，3），（1，2，3）共5对， 所以a3；（3分） （2）设A中的最大数为k，其中,整数3， 则A中必含元素k，另元素1，2，k可在A中，故A的个数为： ，（5分） B中必不含元素1，2，k，另元素k1，k2，k可在B中，但不能 都不在B中，故B的个数为：，（7分） 从而集合对(A，B)的个数为， 所以an（10分）