1、第三节等比数列及其前n项和A组基础题组1.已知等比数列an的前n项和为Sn,且a1+a3=52,a2+a4=54,则Snan=() A.4n-1B.4n-1C.2n-1D.2n-1答案D设等比数列an的公比为q,a1+a3=52,a2+a4=54,a1+a1q2=52,a1q+a1q3=54, 由可得1+q2q+q3=2,q=12,代入解得a1=2,an=212n-1=42n,Sn=21-12n1-12=41-12n,Snan=41-12n42n=2n-1,选D.2.(2019湖北武汉调研)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1=() A
2、.-2B.-1C.12D.23答案B由S2=3a2+2,S4=3a4+2作差可得a3+a4=3a4-3a2,即2a4-a3-3a2=0,所以2q2-q-3=0,解得q=32或q=-1(舍).将q=32代入S2=3a2+2得,a1+32a1=332a1+2,解得a1=-1.3.(2018湖北武汉联考)已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=()A.7B.5C.-5D.-7答案D由a4+a7=2,a5a6=-8得a4+a7=2,a4a7=-8,解得a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4.若a4=4,a7=-2,则a1=-8,a10=1,此时a1+a10=-7;若a4
3、=-2,a7=4,则a1=1,a10=-8,此时a1+a10=-7.故选D.4.已知等比数列an的前n项和为Sn=a2n-1+16,则a的值为()A.13B.12C.-13D.-12答案C由题意得a1=a+16,a2=S2-S1=a,a3=S3-S2=2a,又a22=a1a3,所以a2=a+162a,解得a=-13或a=0(舍去),故选C.5.已知递增的等比数列an的公比为q,其前n项和Sn0,则()A.a10,0q1B.a11C.a10,0q0,q1答案ASn0,a1an,且|an|an+1|,则-an-an+10,则q=-an+1-an(0,1),a10,0q1,令bn=an+1(n=1,
4、2,),若数列bn有连续四项在集合-53,-23,19,37,82中,则q等于()A.-12B.12C.-32D.32答案Cbn有连续四项在-53,-23,19,37,82中且bn=an+1,则an有连续四项在-54,-24,18,36,81中.an是等比数列,等比数列中有负数项,则q1,此种情况舍去),q=-32.故选C.2.在递增的等比数列an中,已知a1+an=34,a3an-2=64,且前n项和为Sn=42,则n=.答案3解析设递增等比数列an的公比为q(q0),a3an-2=a1an=64,a1+an=34,解得a1=2,an=32,则Sn=a1-anq1-q=42,解得q=4,则q
5、n-1=4n-1=ana1=16,解得n=3.3.(2018四川成都第一次诊断性检测)已知数列an满足a1=-2,an+1=2an+4.(1)证明数列an+4是等比数列;(2)求数列|an|的前n项和Sn.解析(1)证明:因为a1=-2,所以a1+4=2.因为an+1=2an+4,所以an+1+4=2an+8=2(an+4),所以an+1+4an+4=2,所以an+4是以2为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)可知an+4=2n,所以an=2n-4.当n2时,an0,所以Sn=-a1+a2+an=2+(22-4)+(2n-4)=2+22+2n-4(n-1)=2(1-2n)1-2-4(n-1
6、)=2n+1-4n+2.又当n=1时,上式也满足.所以当nN*时,Sn=2n+1-4n+2.4.(2019云南昆明质检)已知an是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列bn满足b1=4,b4=20,且bn-an为等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)求数列bn的前n项和.解析(1)设等差数列an的公差为d,由题意得d=a4-a13=12-33=3.所以an=a1+(n-1)d=3n.设等比数列bn-an的公比为q,由题意得q3=b4-a4b1-a1=20-124-3=8,解得q=2.所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.从而bn=3n+2n-1.(2)由(1)知bn=3n+2n-1.因为数列3n的前n项和为32n(n+1),数列2n-1的前n项和为11-2n1-2=2n-1.所以数列bn的前n项和为32n(n+1)+2n-1.