1、课时训练(二十八)矩形(限时:40分钟)|夯实基础|1.2019重庆A卷下列命题正确的是()A.有一个角是直角的平行四边形是矩形B.四条边相等的四边形是矩形C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形D.对角线相等的四边形是矩形2.2018内江如图K28-1,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F,已知BDC=62,则DFE的度数为()图K28-1A.31B.28C.62D.563.2017绵阳如图K28-2,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点O作BD的垂线分别交AD,BC于E,F两点.若AC=23,AEO=120,则FC的长度为()图K28-2A.1B.2C.2D
2、.34.2019眉山如图K28-3,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,过对角线交点O作EFAC交AD于点E,交BC于点F,则DE的长是()图K28-3A.1B.74C.2D.1255.2019徐州如图K28-4,矩形ABCD中,AC,BD交于点O,M,N分别为BC,OC的中点.若MN=4,则AC的长为.图K28-46.2018龙东地区如图K28-5,在平行四边形ABCD中,添加一个条件,使平行四边形ABCD是矩形.图K28-57.2019仙桃矩形的周长等于40,则此矩形面积的最大值是.8.2019潍坊如图K28-6,在矩形ABCD中,AD=2.将A向内翻折,点A落在BC上,记为A,折痕为D
3、E.若将B沿EA向内翻折,点B恰好落在DE上,记为B,则AB=.图K28-69.2019云南如图K28-7,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且AOB=2OAD.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)若AOBODC=43,求ADO的度数.图K28-7|能力提升|10.2019台州如图K28-8,有两张矩形纸片ABCD和EFGH,AB=EF=2 cm,BC=FG=8 cm,把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上,使重叠部分为平行四边形,且点D与点G重合,当两张纸片交叉所成的角最小时,tan等于()图K28-8A.14B.12C.817D.81511.2019
4、桂林将矩形ABCD按如图K28-9所示的方式折叠,BE,EG,FG为折痕,若顶点A,C,D都落在点O处,且点B,O,G在同一条直线上,同时点E,O,F在另一条直线上,则ADAB的值为()图K28-9A.65B.2C.32D.312.2018江西如图K28-10,在矩形ABCD中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AEFG,点B的对应点E落在CD上,且DE=EF,则AB的长为.图K28-1013.2019天水如图K28-11,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在DC上,将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,那么sinEFC的值为.图K28-1114.20
5、19龙东地区如图K28-12,矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点P是矩形ABCD内一动点,且SPAB=12SPCD,则PC+PD的最小值是.图K28-12|思维拓展|15.2018漳州一模如图K28-13,在矩形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(1,0),且C,D两点在函数y=x+1(x0),-12x+1(x0)的图象上,若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是()图K28-13A.12B.38C.14D.1616.2019杭州如图K28-14,把某矩形纸片ABCD沿EF,GH折叠(点E,H在AD边上,点F,G在BC边上),使点B和点C落在AD边上同一点P处,A点的对
6、称点为A点,D点的对称点为D点,若FPG=90,AEP的面积为4,DPH的面积为1,则矩形ABCD的面积等于.图K28-1417.2018临沂将矩形ABCD绕点A顺时针旋转(0360),得到矩形AEFG.(1)如图K28-15,当点E在BD上时,求证:FD=CD.(2)当为何值时,GC=GB?画出图形,并说明理由.图K28-15【参考答案】1.A解析根据矩形的定义,易知选项A正确,另外,对角线互相平分且相等的四边形是矩形;三个角是直角的四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形.2.D3.A4.B解析连接CE,四边形ABCD是矩形,ADC=90,OC=OA,AD=BC=8,DC=AB=6,EF
7、AC,OA=OC,AE=CE,在RtDEC中,DE2+DC2=CE2,即DE2+36=(8-DE)2,解得DE=74,故选B.5.166.答案不唯一,如ABC=90或AC=BD等解析判定一个平行四边形是矩形,常见的有两种思路,一是根据有一个角是直角的平行四边形是矩形;二是根据对角线相等的平行四边形是矩形.7.1008.39.解:(1)证明:AO=OC,BO=OD,四边形ABCD是平行四边形.AOB是AOD的外角,AOB=OAD+ADO.又AOB=2OAD,OAD=ADO.AO=OD.AC=AO+OC=2AO,BD=BO+OD=2OD,AC=BD,四边形ABCD是矩形.(2)设AOB=4x,则O
8、DC=3x,ODC=OCD=3x.在ODC中,DOC+OCD+CDO=180,4x+3x+3x=180,解得x=18.ODC=318=54.ADO=90-ODC=90-54=36.10.D解析当点B与点E重合时,重叠部分为平行四边形且最小,两张矩形纸片全等,重叠部分为菱形,设FM=x,EM=MD=8-x,EF=2,在RtEFM中,EF2+FM2=EM2,即22+x2=(8-x)2,解得x=154,tan=EFFM=815,故选D.11.B解析由折叠可得,AE=OE=DE,CG=OG=DG,E,G分别为AD,CD的中点,设CD=2a,AD=2b,则AB=2a=OB,DG=OG=CG=a,BG=3
9、a,BC=AD=2b,C=90,在RtBCG中,CG2+BC2=BG2,即a2+(2b)2=(3a)2,b2=2a2,即b=2a,ba=2,ADAB的值为2,故选B.12.32解析AD=EF=DE=3,D=90,AE2=AD2+DE2=18,AE=AB=18=32.13.45解析四边形ABCD为矩形,AD=BC=5,AB=CD=3,矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的F处,AF=AD=5,EF=DE,在RtABF中,BF=AF2-AB2=4,CF=BC-BF=5-4=1,设CE=x,则DE=EF=3-x,在RtECF中,CE2+FC2=EF2,x2+12=(3-x)2,解得x=
10、43,EF=3-x=53,sinEFC=CEEF=45.故答案为:45.14.45解析过点P作直线lAB,交AD于E,作点D关于直线l的对称点D1,连接CD1,SPAB=12SPCD,AE=12DE,DE=4,AE=2.矩形ABCD中,AB=4,BC=6,CD=4,DD1=2DE=8,在RtCDD1中,由勾股定理得CD1=45,PC+PD的最小值是45.15.C解析由题意可得B(1,0),把x=1代入y=x+1可得y=2,即C(1,2),把x=0代入y=x+1可得y=1,即图中阴影三角形的第3个顶点为(0,1),令-12x+1=2,解得x=-2,即D(-2,2),矩形ABCD的面积S=32=6
11、,阴影三角形的面积S=1231=32,所求概率P=SS=14.故选C.16.10+65解析四边形ABCD是矩形,AB=CD,AD=BC,设AB=CD=x,由翻折可知:PA=AB=x,PD=CD=x,AEP的面积为4,DPH的面积为1,且AEPDPH,APDH=2.设DH=a,则AP=2a,x=2a,PA=PD=2a,12a2a=1,a=1(a=-1舍去),x=2,AB=CD=2,PE=22+42=25,PH=12+22=5,AD=4+25+5+1=5+35,矩形ABCD的面积=2(5+35)=10+65.故答案为10+65.17.解:(1)证明:如图,连接AF.由四边形ABCD是矩形,结合旋转可得BD=AF,EAF=ABD.AB=AE,ABD=AEB,EAF=AEB,BDAF,四边形BDFA是平行四边形,FD=AB.AB=CD,FD=CD.(2)当=60或300时,GC=GB.理由:如图,当点G位于BC的垂直平分线上,且在BC的右边时,易知点G也是AD的垂直平分线上的点,DG=AG.又AG=AD,ADG是等边三角形,DAG=60,=60.如图,当点G位于BC的垂直平分线上,且在BC的左边时,同理,ADG是等边三角形,DAG=60.此时=300.综上所述,当为60或300时,GC=GB.