1、第十四章 推理与证明 第十四章 推理与证明对应学生用书起始页码 考点一 合情推理与演绎推理（北京，分）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半甲、乙、丙是三个空盒每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球乙盒中红球与丙盒中黑球一样多乙盒中红球不多于丙盒中红球乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案 解法一：假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，错误；同样，假
2、设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，错误故选 解法二：设袋中共有 个球，最终放入甲盒中 个红球，放入乙盒中 个红球依题意知，甲盒中有（）个黑球，乙盒中共有 个球，其中红球有 个，黑球有（）个，丙盒中共有（）个球，其中红球有（）个，黑球有（）（）个所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多故选 本题考查推理与论证能力，对考生综合与分析的能力要求较高（北京，分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则
3、称“学生甲比学生乙成绩好”如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（）人 人 人 人答案 设学生人数为，因为成绩评定只有“优秀”“合格”“不合格”三种情况，所以当 时，语文成绩至少有两人相同，若此两人数学成绩也相同，与“任意两人成绩不全相同”矛盾；若此两人数学成绩不同，则此两人有一人比另一人成绩好，也不满足条件因此：，即 当 时，评定结果分别为“优秀，不合格”“合格，合格”“不合格，优秀”，符合题意，故 ，选（山东，分）观察下列各式：；照此规律，当 时，答案 解析 由题知 （福建，分）一个二元码是由 和 组成的数字串（）
4、，其中（，）称为第 位码元二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由 变为，或者由 变为）已知某种二元码 的码元满足如下校验方程组：，其中运算定义为：，现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 位发生码元错误后变成了，那么利用上述校验方程组可判定 等于 答案 解析 设，在规定运算法则下满足：，可分为下列三类情形：个：，个：，个：，因此，错 码 通过校验方程组可得：由 ，；由 ，；由 ，错码可能出现在，上，若 ，则检验方程组都成立，故 若 ，此时，故 综上分析，为错码，故 本题主要考查推理，考查学生分析、解决问题的能力，属中等难度题（陕西，分）观察分析下表中的数据：多面体面
5、数（）顶点数（）棱数（）三棱柱五棱锥立方体 年高考 年模拟 版（教师用书）猜想一般凸多面体中，所满足的等式是 答案 解析 观察表中数据，并计算 分别为，又其对应 分别为，容易观察并猜想 （陕西，分）观察下列等式 照此规律，第 个等式可为 答案（）（）（）解析 左边为平方项的（）倍的和，右边为（）的（）倍，可用数学归纳法证明成立（陕西，分）观察下列不等式 ，照此规律，第五个不等式为 答案 解析 先观察左边，第一个不等式为 项相加，第二个不等式为 项相加，第三个不等式为 项相加，则第五个不等式应为 项相加，右边分子为分母的 倍减，分母即为所对应项数，故应填 本题考查了归纳推理，考查了由特殊到特殊的
6、推理方法 以下为教师用书专用（）（湖南，分）设 （，），将 个数，依次放入编号为，的 个位置，得到排列 将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前 和后 个位置，得到排列 ，将此操作称为 变换，将 分成两段，每段 个数，并对每段作 变换，得到；当 时，将 分成 段，每段 个数，并对每段作 变换，得到例如，当 时，此时 位于 中的第 个位置（）当 时，位于 中的第 个位置；（）当 （）时，位于 中的第 个位置答案（）（）解析（）由已知可得，所以 位于 中第 个位置（）根据题意可知 将这 个数分成 段，每段有 个数，每段数下标分别构成公差为 的等差数列，第 段的首项为，其
7、通项公式为 ，当 时，；第 段的首项为，其通项公式为，当 时，；第 段的首项为，其通项公式为，当 时，；第 段的首项为，其通项公式为，当 时，故 位于 中第 个位置上评析 本题主要考查了等差数列及归纳推理的方法和思想，要求学生能从所给的信息中总结出规律，考查学生分析问题、解决问题的能力解题过程体现了由特殊到一般的思想（北京，分）对于数对序列：（，），（，），（，），记（），（）（），（），其中（），表示（）和 两个数中最大的数（）对于数对序列：（，），（，），求（），（）的值；（）记 为，四个数中最小的数，对于由两个数对（，），（，）组成的数对序列：（，），（，）和：（，），（，），试分别对
8、和 两种情况比较（）和（）的大小；（）在由五个数对（，），（，），（，），（，），（，）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 使（）最小，并写出（）的值（只需写出结论）解析（）（），（）（），（）（），（），当 时，（），因为，且，所以（）（）当 时，（），因为，且，所以（）（）所以无论 还是，（）（）都成立（）数对序列：（，），（，），（，），（，），（，）的（）值最小，（），（），（），（），（）评析 本题考查了集合的表示、不等式、合情推理等知识；考查综合分析，归纳抽象，推理论证能力；熟练运用归纳的方法，通过特例分析理解抽象概念是解题的关键（福建，分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五
9、个式子的值都等于同一个常数：；（）（）；（）（）（）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（）根据（）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解析 解法一：（）选择式，计算如下：（）三角恒等式为（）（）证明如下：第十四章 推理与证明（）（）（）（）解法二：（）同解法一（）三角恒等式为（）（）证明如下：（）（）（）（）（）（）评析 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查特殊与一般思想、化归与转化思想考点二 直接证明与间接证明（山东，分）用反证法证明命题“设，为实数，则方程 至少有
10、一个实根”时，要做的假设是（）方程 没有实根方程 至多有一个实根方程 至多有两个实根方程 恰好有两个实根答案 因为“方程 至少有一个实根”等价于“方程 的实根的个数大于或等于”，因此，要做的假设是方程 没有实根（江西，分）下列命题中，假命题为（）存在四边相等的四边形不是正方形，为实数的充分必要条件是，互为共轭复数若，且，则，至少有一个大于 对于任意，都是偶数答案 不是正方形的菱形四边相等，故 是真命题若 ，则 ，但 与 不是共轭复数，故 为假命题假设，都不大于，即，且，则有 与 矛盾，故 是真命题因 为偶数，故 是真命题，故选 本题考查命题真假的判断，考查充要条件的判断以及组合数性质，考查了反
11、证法以及推理论证能力（浙 江，分）设 数 列 满 足，（）证明：（），；（）若 ()，证明：，解析（）由 得 ，故 ，所 以 ，因此 （）（）任取，由（）知，对于任意，故 ()()从而对于任意，均有 ()由 的任意性得 否则，存在，有 ，取正整数 且，则 ()()，与式矛盾综上，对于任意，均有 思路分析（）要证 （）成立，只需证明 即 可，把 不 等 式 左 边 变 形，得 到 ，由 已 知 可得 ，得出 ，代入上式即可得证；（）先利用（）中的结论及已知条件证 ，再用反证法检验，即假设存在 ，有 ，经过推理可导出矛盾，从而证明原结论 本题主要考查数列的递推关系与单调性、不等式性质等基础知识，同
12、时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力（江苏，分）设是首项为，公差为 的等差数列（），是其前 项的和记 ，其中 为实数（）若 ，且，成等比数列，证明：（，）；年高考 年模拟 版（教师用书）（）若是等差数列，证明：解析 由题意得，（）（）由 ，得 又因为，成等比数列，所以 ，即 ()()，化简得 因为，所以 因此，对于所有的，有 从而对于所有的，有 （）（）设数列的公差是，则 （），即 （），代入 的表达式，整理得，对于所有的，有 ()()（）令 ，（），则对于所有的，有（）在（）式中分别取 ，得 ，从而有 ，由，得 ，代入方程，得 ，从而 即 ，若 ，则由 ，得 ，与题设矛盾，所以 又因
13、为 ，所以 本题考查等差、等比数列的定义、通项、求和等基础知识和基本技能，考查分析转化能力及推理论证能力考点三 数学归纳法（北京，分）设数列：，（）如果对小于（）的每个正整数 都有，则称 是数列 的一个“时刻”记（）是数列 的所有“时刻”组成的集合（）对数列：，写出（）的所有元素；（）证明：若数列 中存在 使得，则（）；（）证明：若数列 满足 （，），则（）的元素个数不小于 解析（）（）的元素为 和（）因为存在 使得，所以，记 ，则，且对任意正整数，因此（）从而（）（）当 时，结论成立以下设 由（）知（）设（），记 ，则 对 ，记 ，如果，取 ，则对任何，从而（）且 又因为 是（）中的最大元素
14、，所以 从而对任意，特别地，对 ，因此 （）所以 （）因此（）的元素个数 不小于（北京，分）已知数列 满足：，且 ，（，）记集合 （）若 ，写出集合 的所有元素；（）若集合 存在一个元素是 的倍数，证明：的所有元素都是 的倍数；（）求集合 的元素个数的最大值解析（），（）证明：因为集合 存在一个元素是 的倍数，所以不妨设 是 的倍数由 ，可归纳证明对任意，是 的倍数如果 ，则 的所有元素都是 的倍数如果，因为 或 ，所以 是 的倍数，于是 是 的倍数类似可得，都是 的倍数从而对任意，是 的倍数，因此 的所有元素都是 的倍数综上，若集合 存在一个元素是 的倍数，则 的所有元素都是 的倍数（）由，
15、可归纳证明（，）因为 是正整数，所以 是 的倍数，从而当 时，是 的倍数如果 是 的倍数，由（）知对所有正整数，是 的倍数，因此当 时，这时 的元素个数不超过 如果 不是 的倍数，由（）知对所有正整数，不是 的倍数，因此当 时，这时 的元素个数不超过 当 时，有 个元素综上可知，集合 的元素个数的最大值为（湖北，分）已知数列 的各项均为正数，()（），为自然对数的底数（）求函数（）的单调区间，并比较 ()与 的大小；第十四章 推理与证明（）计算，由此推测计算的公式，并给出证明；（）令 （），数列，的前 项和分别记为，证明：解析（）（）的定义域为（，），（）当 （），即 时，（）单调递增；当 （
16、），即 时，（）单调递减故（）的单调递增区间为（，），单调递减区间为（，）当 时，（）（），即 令 ，得 ，即 ()（）()；()（）；()（）由此推测：（）下面用数学归纳法证明（）当 时，左边右边，成立（）假设当 时，成立，即（）当 时，（）()，由归纳假设可得 （）（）()（）所以当 时，也成立根据（）（），可知对一切正整数 都成立（）由 的定义，算术几何平均不等式，的定义及得 （）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）()()()()()()即 本题考查利用导数求单调性，数学归纳法，不等式，数列求和等基础知识，考查分析问题与解决问题的能力（江苏，分）已知集合 ，（），设 （，）整除
17、 或 整除，令（）表示集合 所含元素的个数（）写出（）的值；（）当 时，写出（）的表达式，并用数学归纳法证明解析（）（）（）当 时，（）()，()，()，()，()，()，（）下面用数学归纳法证明：当 时，（），结论成立；假设（）时结论成立，那么 时，在 的基础上新增加的元素在（，），（，），（，）中产生，分以下情形讨论：）若 ，则 （），此时有（）（）（），结论成立；）若 ，则 ，此时有（）（）（）（）（），结论成立；）若 ，则 ，此时有（）（）（）（），结论成立；）若 ，则 ，此时有（）（）（）（），结论成立；）若 ，则 ，此时有（）（）（）（），结论成立；）若 ，则 ，此时有（）（）年高
18、考 年模拟 版（教师用书）（）（）（），结论成立综上所述，结论对满足 的自然数 均成立 以下为教师用书专用（）（陕西，分）设 函 数 （）（），（）（），其中 （）是（）的导函数（）令（）（），（）（），求（）的表达式；（）若（）（）恒成立，求实数 的取值范围；（）设，比较（）（）（）与（）的大小，并加以证明解析 由题设得，（）（）（）由已知得，（），（）（），（），可得（）下面用数学归纳法证明当 时，（），结论成立假设 时结论成立，即（）那么，当 时，（）（）（）（）（），即结论成立由可知，结论对 成立（）已知（）（）恒成立，即（）恒成立设（）（）（），即（）（）（），当 时，（）（仅当 ，
19、时等号成立），（）在，）上单调递增，又（），（）在，）上恒成立，时，（）恒成立（仅当 时等号成立）当 时，对（，有（），（）在（，上单调递减，（）（）即 时，存在 ，使（），故知（）不恒成立，综上可知，的取值范围是（，（）由题设知（）（）（），（）（），比较结果为（）（）（）（）证明如下：证法一：上述不等式等价于 （），在（）中取 ，可得（），令 ，则 下面用数学归纳法证明当 时，结论成立假设当 时结论成立，即 （）那么，当 时，（）（）（），即结论成立由可知，结论对 成立证法二：上述不等式等价于 （），在（）中取 ，可得（），令 ，则 故有 ，（），上述各式相加可得（）结论得证证法三：如图，
20、是由曲线 ，及 轴所围成的曲边梯形的面积，而 是图中所示各矩形的面积和，()（），结论得证（江西，分）随机将，（，）这 个连续正整数分成，两组，每组 个数 组最小数为，最大数为；组最小数为，最大数为 记 ，（）当 时，求 的分布列和数学期望；（）令 表示事件“与 的取值恰好相等”，求事件 发生的概率（）；（）对（）中的事件，表示 的对立事件，判断（）和（）的大小关系，并说明理由解析（）当 时，的所有可能取值为，将 个正整数平均分成，两组，不同的分组方法共有 种，所以 的分布列为第十四章 推理与证明 （）和 恰好相等的所有可能取值为，又 和 恰好相等且等于 时，不同的分组方法有 种；和 恰好相等
21、且等于 时，不同的分组方法有 种；和 恰好相等且等于（，）（）时，不同的分组方法有 种，所以当 时，（），当 时，（）()（）由（）知当 时，（），因此（）（），而当 时，（）（）理由如下：（）（）等价于 ()用数学归纳法来证明：当 时，式左边（）（），式右边 ，所以式成立 假设 （）时 式成立，即 ()成立，那么，当 时，左边 ()()（）（）（）！（）！（）！（）！（）（）（）！（）（）！（）！（）（）（）！（）（）！（）！（）（）（）（）（）右边，即当 时式也成立综合，得，对于 的所有正整数，都有（）（）成立评析 本题主要考查随机变量的分布列、数学期望及概率和数学归纳法，同时考查学生的逻
22、辑推理能力及分析、解决问题的能力属难题（上海，分）对于数集 ，其中，定义向量集 （，），若对任意，存在，使得 ，则称 具有性质 例如，具有性质（）若，且，具有性质，求 的值；（）若 具有性质，求证：，且当 时，；（）若 具有性质，且 、（为常数），求有穷数列，的通项公式解析（）选取 （，），中与 垂直的元素必有形式（，）所以 ，从而 （）证明：取 （，）设 （，）满足 由（）得 ，所以，异号因为 是 中唯一的负数，所以，之中一为，另一为，故假设 ，其中，则 选取 （，），并设 （，）满足 ，即 ，则，异号，从而，之中恰有一个为若 ，则 ，矛盾；若 ，则 ，矛盾所以 （）解法一：猜测 ，记 ，先
23、证明：若 具有性质，则 也具有性质 任取 （，），当，中出现 时，显然有 满足 ；当 且 时，则，因为 具有性质，所以有 （，），使得 ，从而 和 中有一个是，不妨设 假设 且，则 由（，）（，），得，与 矛盾所以，从而 也具有性质 现用数学归纳法证明：，当 时，结论显然成立；假设 时，有性质，则 ，；当 时，若 ，有性质，则 ，也有性质，所以 ，取 （，），并设 （，）满足 由此可得 或 若 ，则 ，不可能；所以 ，且，所以 综上所述，解法二：设 （，），（，），则 等价于 记，则数集 具有性质 当且仅当数集 关于原点对称注意到 是 中的唯一负数，（，），共有 个数，所以（，）也只有 个数由
24、于，已有 个数，对以下三角数阵注意到，所以 ，从而数列的通项公式为 ，评析 本题属于信息给予题，考查学生探究、发现及推理证明能力理解题目中的信息是解题关键 年高考 年模拟 版（教师用书）对应学生用书起始页码 考点名称常考题型考查难度命题角度关联考点预测热度考题统计（课标卷）一、合情推理与演绎推理解答题主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，考查应用信息的能力以及发现数学规律的能力，考查逻辑思维能力及归纳思想主要与立体几何、解析几何、函数与导数等知识结合二、直接证明与间接证明解答题要求学会应用分析法、综合法进行问题的证明，把握这两种方法的思考过程和特点；要求掌握间接法的基本方法
25、反证法，要理解反证法的基本原理主要与立体几何、解析几何、不等 式、函数 与 导 数 等 知 识结合三、数学归纳法解答题了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学问题主要与立体几何、解析几何、数列、不等式、函数与导数等知识结合对应学生用书起始页码 一、推理推理合情推理归纳推理：由 部分 到整体、由 个别 到一般的推理类比推理：由 特殊 到 特殊 的推理演绎推理模式：三段论大前提已知的 一般原理；小前提所研究的 特殊情况；结论根据一般原理，对 特殊情况 作出的判断特点：是由 一般性命题 到 特殊性命题 的推理二、证明直接证明综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过
26、一系列的 推理论证，最后推导出所要证明的结论 成立 从 要证明的结论 出发，逐步 寻 求 使 它 成 立 的 充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件实质由因导果执果索因框图表示 得到一个明显成立的条件文字语言因为所以或由得要证只需证即证 间接证明反证法：假设原命题 不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出 矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法反证法证明问题的一般步骤：反设：假设要证的结论不成立，而设结论的反面成立（否定结论）归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾（推导矛盾）立论：既然原命题的结
27、论的反面不成立，从而肯定了原命题成立（命题成立）三、数学归纳法数学归纳法的定义由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫归纳法根据推理过程中考察的对象是事物的全体还是部分，可分为 完全 归纳法和 不完全 归纳法数学归纳法证题的步骤（）（归纳奠基）证明当 取第一个值（）时，命题成立（）（归纳递推）假设 （，）时，命题成立，证明当 时，命题也成立只要完成以上两个步骤，就可以断定命题对于从 开始的所有正整数 都成立【知识拓展】数学归纳法的应用数学归纳法与递推思想数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可，否则就会导致错误如何正确运用数学归纳
28、法用数学归纳法证明的关键在于两个步骤，要做到“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”因此必须注意以下两点：（）验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数，这个数 就是要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“”（）递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“”到“”的过程中，必须把“”时的归纳假设作为条件来导出“”时的命题，在推导过程中，归纳假设要用一次或几次第十四章 推理与证明 对应学生用书起始页码 方法 归纳推理 归纳推理的一般步骤：通过对某些个体的观察、分析和比较，发现它们的相同性质或变化规律从已知的相同性质或变化规律中推出一个明确表达的一般性命题（广东
29、湛江一模，分）由正整点坐标（横坐标和纵坐标都是正整数）表示的一组平面向量（，）按照一定的顺序排成如图所示的三角形向量序列图规则：，第 行共有（）个向量，若第 行第 个向量为，则 （，）（），（，）（），例如 （，），（，），（，），（，），依此类推，则 （）（，）（，）（，）（，）解析 第 行共有（）个向量，前 行共有 （）（）个向量，且 ，是第 行第 个向量，（，）故选 答案 （湖北黄冈一模，分）观察下列事实：的不同整数解（，）的个数为，的不同整数解（，）的个数为，的不同整数解（，）的个数为，则 的不同整数解（，）的个数为（）答案 解析 由已知条件，得 （）的整数解（，）的个数为，故 的不同
30、整数解（，）的个数为故选 （湖北罗田一模，分）观察下列等式：（）；（）（）；（）（）（）；照此规律，第 个等式可为 答案（）（）（）（）（）解析 考查规律的观察、概况能力，注意项数、开始值和结束值第 个等式可为：（）（）（）（）（）方法 类比推理 类比推理的一般步骤：观察两考察对象的部分类似属性推导出两个对象其他类似属性（江西南昌 月模拟，分）在平面上，若两个正三角形的边长比为 ，则它们的面积比为 ，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为 ，则它们的体积比为 解析 两个正三角形是相似三角形，它们的面积比是相似比的平方同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积比是相似比的立方，它们的体积比为
31、答案 （贵州都匀二模，分）已知正三角形内切圆的半径是其高的 ，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是（）正四面体的内切球的半径是其高的 正四面体的内切球的半径是其高的 正四面体的内切球的半径是其高的 正四面体的内切球的半径是其高的 答案 解析 原问题的解法为等面积法，即 ，类比问题的解法应为等体积法，即正四面体的内切球的半径是其高的 ，故选 方法 间接证明 应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤：第一步：分清命题“”的条件和结论；第二步：作出与命题结论 相反的假设；第三步：由 和 出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设 不真，于是原结论
32、 成立，从而间接地证明了命题 为真所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果（江苏，分）已知各项均为正数的两个数 年高考 年模拟 版（教师用书）列和满足：，（）设 ，求证：数列 是等差数列；（）设 ，且 是等比数列，求 和 的值解题导引（）变形 两边平方可证结论（）基本不等式 用反证法证明 ，用反证法证明 求 解析（）证明：由题设知 ，所以，（分）从而 （），所以数列 是以 为公差的等差数列（分）（）因为，所以（）（），从而 （）（分）设等比数列的公比为，由 知 下证 若，则 ，故当 时，与（）矛盾；（分）若，则 ，
33、故当 时，与（）矛盾（分）综上，故 （），所以 （分）又 （），所以是公比为 的等比数列若 ，则，于是 又由 得 ，所以，中至少有两项相同，矛盾（分）所以 ，从而 所以 （分）等差数列 的前 项和为，（）求数列的通项 与前 项和；（）设 （），求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列解析（）由已知得 ，故 ，（）（）证明：由（）得 假设数列中存在三项、（、互不相等）成等比数列，则 ，即（）（）（），（）（），()，（），与 矛盾 数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列方法 数学归纳法的应用 由 到 的证明中寻找由 到 的变化规律是难点，突破难点的关键是掌握由 到 的证明方法在运用归纳假
34、设时，应分析（）与（）的差异及联系，利用拆、添、并、放、缩等方法，或从（）出发拼凑（），或从（）中分离出（），再进行局部调整；也可考虑寻求二者的“结合点”，以便顺利过渡，切实掌握“观察归纳猜想证明”这一特殊到一般的推理方法（大纲全国，分）函数（）（）（）（）讨论（）的单调性；（）设 ，（），证明：解析（）（）的定义域为（，），（）（）（）（）（分）（）当 时，若（，），则 （），（）在（，）上是增函数；若（，），则 （），（）在（，）上是减函数；若（，），则 （），（）在（，）上是增函数（分）（）当 时，（），（）成立当且仅当 ，（）在（，）上是增函数（）当 时，若（，），则 （），（）在（，
35、）上是增函数；若（，），则 （），（）在（，）上是减函数；若（，），则 （），（）在（，）上第十四章 推理与证明 是增函数（分）（）由（）知，当 时，（）在（，）上是增函数当（，）时，（）（），即（）（）又由（）知，当 时，（）在，）上是减函数当（，）时，（）（），即（）（）（分）下面用数学归纳法证明 （）当 时，由已知 ，故结论成立；（）设当 时结论成立，即 当 时，（）()，（）()，即当 时有 ，结论成立根据（）、（）知对任何 结论都成立（分）（江苏，分）已知函数（）（），设（）为（）的导数，（）求()()的值；（）证明：对任意的，等式()()都成立解析（）由已知，得（）（）()，于是（
36、）（）()，所以()，()故()()（）证明：由已知，得（），等式两边分别对 求导，得（）（），即（）（）()，类似可得（）（）（），（）（）()，（）（）（）下面用数学归纳法证明等式（）（）()对所有的 都成立（）当 时，由上可知等式成立（）假 设 当 时 等 式 成 立，即 （）（）()因为（）（）（）（）（）（）（）（），()()()（），所以（）（）（）（）因此当 时，等式也成立综合（），（）可知等式（）（）()对所有的 都成立令 ，可得()()()（）所以()()（）对应学生用书起始页码 组 年高考模拟基础题组时间：分钟 分值：分一、选择题（每题 分，共 分）（广东广州一模，）以下数
37、阵的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中的“杨辉三角形”该数阵由若干行数组成，从第二行起，每一行中的数均等于其“肩上”两数之和，数阵中最后一行仅有一个数，则这个数为（）答案 第一行为、的三角形，最后一行的数为（）；第一行为、的三角形，最后一行的数为（）；第一行为、的三角形，最后一行的数为（），可猜想第一行为、的三角形，最后一行的数为（），故选（贵州赫章一模，）用数学归纳法证明 （）（）（）时，由 时的假设到证明 时，等式左边应添加的式子是（）年高考 年模拟 版（教师用书）（）（）（）（）（）答案 当 时，左边（）（），当 时，左边 （）（）（），比较两式，可知等式左边应添加的
38、式子是（）二、填空题（每题 分，共 分）（安徽黄山质检一，）甲、乙、丙、丁四位同学被问到是否游览过花山谜窟时，回答如下，甲说：我没有去过；乙说：丙游览过；丙说：丁游览过；丁说：我没游览过，在以上的回答中只有一人回答正确且只有一人游览过花山谜窟，根据以上条件，可以判断游览过花山谜窟的人是 答案 甲解析 若回答正确的人是甲，则另外三人回答均错误，丙和丁的话产生矛盾；若回答正确的人是乙，则甲、丙均游览过，与只有一人游览过花山谜窟矛盾；若回答正确的人是丙，则甲、丁均游览过，与只有一人游览过花山谜窟矛盾；若回答正确的人是丁，则只有甲一人游览过花山谜窟，正确（山东烟台一模，）已知（），定义（）（），（）（
39、），（）（），经计算（），（），（），照 此 规 律，（）答案（）（）解析（）（）（），（）（）（），（）（）（），由此归纳可得（）（）（）（安徽安庆四模，）设 为正整数，（），计算可得（），（），（），（），观察上述结果，可推测一般的结论为 答案（）（）解析 观察已知中的式子：（），（），（），（），可推测出一般的结论：（）（）三、解答题（共 分）（广西南宁二模，）如果 是实数，且，为大于 的自然数，用数学归纳法证明：（）证明 当 时，（），不等式成立，假设当 时不等式成立，即（），则当 时，（）（）（）（）（）（）（），即当 时，不等式也成立综上，（）（北京昌平 月月考，）已知（，）为函数
40、 的图象上一点，为坐标原点，记直线 的斜率（）（）若函数（）在区间，()（）上存在极值，求实数 的取值范围；（）当 时，不等式（）恒成立，求实数 的取值范围；（）求证：（）！（）（）解析（）由题意得（），所以 （）()当 时，（）；当 时，（），所以（）在（，）上单调递增，在（，）上单调递减，故（）仅在 处取得极值，且为极大值因为函数（）在区间，()（其中）上存在极值，所以，解得 所以实数 的取值范围是，()（）由（）得（）（）（）令（）（）（），则（）令（），则（）因为，所以（），故（）在，）上单调递增所以（）（），从而（），故（）在，）上单调递增，（）（），所以实数 的取值范围是（，（）证
41、明：由（）知（）（）恒成立，即 ，所以 令（），则（）（），所以（），（），（）（）所 以 （）（）()所以（），所以（）！（）（）第十四章 推理与证明 组 年高考模拟提升题组时间：分钟 分值：分一、填空题（每题 分，共 分）（安徽黄山质检一，）对正整数 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分拆”：，以此类推，若 的“分拆”中含有奇数 ，则 的值为 答案 解析 可拆分成，可拆分成 个连续奇数相加，可拆分成 个连续奇数相加，可拆分成 个连续奇数相加，可拆分成 个连续奇数相加，且此 个数的最后一项是等差数列的第（）（）项，此 个数的第一项是等差数列的第（）项，而 是等差数列的第 项，（）（），易知只有
42、整数 满足上述不等式，（湖北襄阳 月月考，）观察下列等式：，则当，且、时，（最后结果用、表示）答案 解析 当，时，原式 ，此时，当 ，时，原式 ，此时 ，当 ，时，原式 ，此时 ，由归纳推理可知：（山东潍坊一模，）对于实数，表示不超过 的最大整数，观察下列等式：，按照此规律，第（）个等式的等号右边为 答案（）（或）解析 因为表示不超过 的最大整数，所以 ，等式：，第 个式子的左边有 项，右边 ，第 个式子的左边有 项，右边 ，第 个式子的左边有 项，右边 ，第（）个式子的左边有（）项，右边（）个（）二、解答题（共 分）（山东潍坊一模，）已知函数（）（）若（）无极值点，求 的取值范围；（）设（）（），当 取（）中的最大值时，求（）的最小值；（）证明不等式：（）（）解析（）函数（）的定义域为（，），求导可得 （），函数（）无极值点，方程 在（，）上无实根或有唯一实根，方程 在（，）上无实根或有唯一实根，又 时，（当且仅当 时取等号），故 ()，（）当 时，（），（）（），由（）知，（）在（，）上是增函数，当（，）时，（）（），即 当（，）时，（）（），即 当 时，令 ，则 ，两边平方得 （），当 时，（）成立，当且仅当 时取等号，当 时，函数（）取最小值（）证明：由（）知，当 时，（），即当 时，成立，令 ，得 ，即（），（），即 （）（）