1、2021年陕西省西安市长安区高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1设集合，若MN，则实数a的取值范围是（）Aa2B2aC2aDa22若复数z满足：（i为虚数单位），则等于（）A2iB2+iC23iD2+3i3已知“x2”是“1”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要4设5a24，blog310，11，则（）AacbBbacCabcDbca5函数ylncosx（）的图象是（）ABCD6等差数列an中，a12020，前n项和为Sn，若，则S2020（）A1010B2020C1011D20217对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如表所示，由最小二乘法求得回
2、归方程为，则表中看不清的数据为（）x0134y2.24.36.7A4.8B5.2C5.8D6.28在ABC中，D是BC的中点，已知，则ABC的面积为（）ABCD9秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的a0，a1，a2，an分别为0，1，2，n，若n4，根据该算法计算当x2时多项式的值，则输出的结果为（）A78B88C98D10810已知某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）ABCD11设F是双曲线C：的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，
3、则双曲线C的渐近线方程是（）ABCD12已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，其中AD2，AB3，面PAD面ABCD，PAPD，且直线PB与CD所成角的余弦值为，则四棱锥PABCD的外接球表面积为（）ABCD二填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知（1，2），（4，2），|2，（）10，则与的夹角的余弦值为 14设x，y满足约束条件，则z2x+3y的取值范围为 15任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若m5，则经过 次步
4、骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的可能值之和为 16已知f（x）是定义域为R的函数f（x）的导函数，若对任意实数x都有f（x）f（x）1，且有f（1）2，则不等式f（x）1ex1的解集为 二、解答题：共70分。解答题应写出文字说明、证明或演算步骤。第17-21题为必考题，每小题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17已知函数f（x）sin（x+）（0，|）经过点，且在区间上单调（1）求函数f（x）的解析式（2）设，求数列an的前60项和S6018为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：
5、g/m3），得下表：0，50（50，150（150，4750，3532184（35，756812（75，1153710（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22列联表：0，150（150，4750，75（75，115（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？附：K2P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819如图，在四棱锥PABCD中，PAB是边长为2的等边三角形梯形ABCD满足BCCD1，ABCD，ABBC（1）求证：
6、PDAB；（2）若PD2，求点D到平面PBC的距离20已知f（x）+nlnx（m，n为常数），在x1处的切线方程为x+y20（）求f（x）的解析式并写出定义域；（）若x，1，使得对t，2上恒有f（x）t3t22at+2成立，求实数a的取值范围21已知点A1（2，0），A2（2，0），动点P（x，y）满足直线A1P与A2P的斜率之积为，记动点P的轨迹为曲线C（1）求C的方程，并说明C是什么曲线（2）曲线C与y轴正半轴的交点为点B，点M是曲线C上的一点（点M不在坐标轴上），若直线A1B与直线A2M交于点G，直线A1M与直线A2B交于点Q，求证：BGQ为等腰三角形请考生在第22、23题中任选一题作答
7、。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22在直角坐标系xOy，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标为2（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程（2）已知点P（1，0），曲线C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值23已知f（x）（x1）|xa|2|x2|，aR（1）当a2时，求不等式f（x）0的解集（2）求f（2）+f（3）的取值范围参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合，若MN，则实数a的
8、取值范围是（）Aa2B2aC2aDa2解：因为Mx|y，所以2xx20，解得0x2，即M0，2，因为MN，所以只需a2，故选：B2若复数z满足：（i为虚数单位），则等于（）A2iB2+iC23iD2+3i解：2i，z23i，则，故选：D3已知“x2”是“1”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要解：由得解之x2或x1，设Ax|x2，Bx|x2或x1，AB，A是B的充分不必要条件 故选：A4设5a24，blog310，11，则（）AacbBbacCabcDbca解：由题意得，alog524（1，2），blog3102，11log3112，且log310log311，所以cba
9、故选：C5函数ylncosx（）的图象是（）ABCD解：cos（x）cosx，是偶函数，可排除B、D，由cosx1lncosx0排除C，故选：A6等差数列an中，a12020，前n项和为Sn，若，则S2020（）A1010B2020C1011D2021解：等差数列an中，a12020，前n项和为Sn，所以也是等差数列，可设公差为d，则首项为a12020，由2d2，解得d1，所以2020+2019（1）1，所以S20202020故选：B7对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如表所示，由最小二乘法求得回归方程为，则表中看不清的数据为（）x0134y2.24.36.7A4.8B5.2C5.8
10、D6.2解：，0.952+2.64.5设看不清的数值为a，则4.5解得a4.8故选：A8在ABC中，D是BC的中点，已知，则ABC的面积为（）ABCD解：设ABc，BCa，因为，可得sinB，在ABC中，a2+c22accosBa2+c2ac8，在ABD中，可得：a2+4c23ac8，解得a4，c2，可得故选：D9秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的a0，a1，a2，an分别为0，1，2，n，若n4，根据该算法计算当x2时多项式的值，则输出的结果为（）A78B88C98D108解：该
11、程序框图是计算多项式f（x）4x4+3x3+2x2+x，当x2时的值，而f（2）98，故选：C10已知某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）ABCD解：由已知中的三视图可得：该几何体是由一个正方体切去两个小三棱锥后余下的几何体，如图所示：该几何体的体积V故选：B11设F是双曲线C：的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则双曲线C的渐近线方程是（）ABCD解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为yx，则另一渐近线OB的方程为y，设A（m，），B（n，），则3（mc，）（nc，）， 3（mc）nc，解得nc，m，由FAOA可得，斜率之积
12、等于1，2a2b2，则双曲线C的渐近线方程是：yx故选：A12已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，其中AD2，AB3，面PAD面ABCD，PAPD，且直线PB与CD所成角的余弦值为，则四棱锥PABCD的外接球表面积为（）ABCD解：如图，取AD的中点E，连接PE，则PEAD，平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，PE平面PAD，PE平面ABCD，设四棱锥PABCD的外接球的球心为O，连接AC，BD，设ACBDO1，连接OO1，则OO1底面ABCD，直线PB与CD所成角的余弦值为，即cosPBA，设PEx，则PA2x2+1，ABAD，平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面
13、ABCDAD，AB平面ABCD，AB平面PAD，则ABPA，又AB3，PB，解得x，即PAD为等边三角形，设PAD的外心为F，则OO1EFPE，又，四棱锥PABCD的外接球的半径R满足：，四棱锥PABCD的外接球表面积为S4故选：C二填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知（1，2），（4，2），|2，（）10，则与的夹角的余弦值为解：（1，2），（4，2），又（）10，coscos故答案为：14设x，y满足约束条件，则z2x+3y的取值范围为2，18解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A（1，0），联立，解得B（3，4），作出直线2x+3y0，由图可知，平移直线2x+3y0至A
14、时，z2x+3y有最小值为2；平移直线2x+3y0至B时，z2x+3y有最大值为18z2x+3y的取值范围为2，18故答案为：2，1815任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若m5，则经过5次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的可能值之和为37解：当m5时，5168421共5步雹程变成1，若m需经过5步雹程首次变成1则1248165或12481632两种情况，即m5或m32，则5+3237，故答案为：5，3716已知f（x）是定义
15、域为R的函数f（x）的导函数，若对任意实数x都有f（x）f（x）1，且有f（1）2，则不等式f（x）1ex1的解集为（1，+）解：不等式f（x）1ex1，等价于不等式1，构造函数g（x），则g（x），若对任意实数x都有f（x）f（x）1，则g（x）0，g（x）在R递增，又g（1）1，故1即g（x）g（1），故不等式的解集是（1，+），故答案为：（1，+）二、解答题：共70分。解答题应写出文字说明、证明或演算步骤。第17-21题为必考题，每小题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17已知函数f（x）sin（x+）（0，|）经过点，且在区间上单调（1）求函数f（x）的解析式（
16、2）设，求数列an的前60项和S60解：（1）函数f（x）sin（x+）（0，|）经过点，且在区间上单调所以，解得T，所以2，由于函数的图象经过点，所以，整理得，当k0时，所以（2）由于，所以，当n1时，a10，当n2时，当n3时，当n4时，当n5时，当n6时，当n7时，故数列的周期为6，所以，数列an的前60项和S6018为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：g/m3），得下表：0，50（50，150（150，4750，3532184（35，756812（75，1153710（1）估计事件“该市一天空气中PM
17、2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22列联表：0，150（150，4750，75（75，115（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？附：K2P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：（1）用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率P0.64；（2）根据所给数据，可得下面的22列联表：（3）根据（2）中的列联表，由7.4846.635，P（K26.635）0.01；故有99%的把握认为该市一
18、天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关，19如图，在四棱锥PABCD中，PAB是边长为2的等边三角形梯形ABCD满足BCCD1，ABCD，ABBC（1）求证：PDAB；（2）若PD2，求点D到平面PBC的距离【解答】（1）证明：取AB中点M，连接MD、MP，因为PAB是等边三角形，所以PMAB，因为MBAB1，ABCD，所以MBCD，MBCD，所以四边形BCDM为平行四边形，又因为ABBC，BCCD1，所以四边形BCDM为正方形，于是DMAB，因为DMPMM，所以AB平面PDM，又因为PD平面PDM，所以PDAB；（2）解：过M作MNPB于N，因为PD2，PMPAsin60，MD1，所以PD2
19、PM2+MD2，于是DMPM，由（1）知DMAB，又因为ABPMM，所以DM平面ABP，因为DMBC，所以BC平面ABP，因为MN平面ABP，所以BCMN，因为BCPBB，所以MN平面PBC，点M到平面PBC的距离为线段MN的长，由等面积法知，MN，因为DMBC，BC平面PBC，DM平面PBC，所以DM平面PBC，所以点D到平面PBC的距离等于点M到平面PBC的距离为MN20已知f（x）+nlnx（m，n为常数），在x1处的切线方程为x+y20（）求f（x）的解析式并写出定义域；（）若x，1，使得对t，2上恒有f（x）t3t22at+2成立，求实数a的取值范围解：（）由可得，由条件可得，把x1
20、代入x+y2可得，y1，m2，（0，+）；（）由（）知f（x）在上单调递减，f（x）在上的最小值为f（1）1，故只需t3t22at+21，即对任意的上恒成立，令m（t），易求得m（t）在单调递减，1，2上单调递增，而，2am（t）maxg（2），即a的取值范围为21已知点A1（2，0），A2（2，0），动点P（x，y）满足直线A1P与A2P的斜率之积为，记动点P的轨迹为曲线C（1）求C的方程，并说明C是什么曲线（2）曲线C与y轴正半轴的交点为点B，点M是曲线C上的一点（点M不在坐标轴上），若直线A1B与直线A2M交于点G，直线A1M与直线A2B交于点Q，求证：BGQ为等腰三角形【解答】（1）解
21、：设动点P（x，y），因为直线A1P与A2P的斜率之积为，所以，化简可得曲线方程为；（2）证明：A1（2，0），A2（2，0），B（0，1），所以直线A1B：yx+1，直线A2B：yx+1，设直线A1M：yk（x+2）（k，k0），所以联立，得Q，联立，得G，所以PQx轴且PQ中点N为（），所以BNx轴，所以BN为BGQ的中线且PQBN，所以BGQ为等腰三角形请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22在直角坐标系xOy，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的
22、极坐标为2（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程（2）已知点P（1，0），曲线C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值解：（1）由（t为参数），消去参数t，可得由2，得5232（cos2sin2）8，2x2+y2，xcos，ysin，5x2+5y23x2+3y28，即；（2）直线l的参数方程的标准形式为（t为参数），代入曲线，得13t24t120，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则，|PA|+|PB|23已知f（x）（x1）|xa|2|x2|，aR（1）当a2时，求不等式f（x）0的解集（2）求f（2）+f（3）的取值范围解：（1）当a2时，f（x）（x1）|x2|2|x2|（x3）|x2|不等式f（x）0，等价于或；解得x2或x3，或x；所以不等式f（x）0的解集为x|x2或x3（2）因为f（2）+f（3）|2a|+2|3a|2|a2|+2|a3|2，所以关于a的函数f（2）+f（3）在（，3）上单的递减，在（3，+）上单的递增，所以当a3时，f（2）+f（3）的最小值为1，所以f（2）+f（3）的取值范围是1，+）
