1、第37讲 活用圆锥曲线的定义 一选择题（共24小题）1（2021秋成都期中）下列结论正确的个数为直线与曲线有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为；若动点满足，则点的轨迹为双曲线；点，为椭圆的左、右焦点，且椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围为；点为椭圆的右焦点，点为椭圆上任意一点，点，则的最小值为5；斜率为2的直线与椭圆交于，两点，点为的中点，直线的斜率为为坐标原点），则椭圆的离心率为A1B2C3D4【解答】解：对于，直线恒过定点，曲线表示圆心为原点，半径为1的上半圆，如图1，由直线经过圆心，可得；由直线和圆相切，可得，解得（负的舍去），所以的范围是，则直线的倾斜角的取值范围为，故正确；对
2、于，若动点满足，即与两点，的距离的差为2，因为，所以的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支，故错误；对于，由椭圆的定义可得，又，解得，设椭圆的半焦距为，可得，即有，所以，故正确；对于，设椭圆的左焦点为，如图2，由椭圆的定义可得，由在椭圆内，当且仅当，共线时，取得最小值5，故正确；对于，设，可得，两式相减可得，由题意可得，且，所以，则，故正确故选：2（2021春湖北校级期中）已知是双曲线的左焦点，是右支上一点，当周长最小时，该三角形的面积为ABCD【解答】解：由题意，设是右焦点，则周长，三点共线时，取等号），直线的方程为与联立可得，的纵坐标为，周长最小时，该三角形的面积为故选：3（2021秋湖州期末）
3、已知为抛物线上一个动点，为圆，则点到点的距离与点到轴距离之和的最小值是A4B3C2D1【解答】解：抛物线的焦点为，的圆心为，半径为1，根据抛物线的定义可知点到准线的距离等于点到焦点的距离，如图：故问题转化为求，三点共线时到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和的最小值，由于焦点到圆心的距离是，点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值故选：4（2021浙江模拟）在直角坐标系中，已知为坐标原点，点满足且，则ABCD【解答】解：设点，所以，又，所以点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，所以，椭圆方程为，由解得，则故选：5（2021东胜区校级一模）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，若平面内点满足，则的最大值
4、为A7B6C5D4【解答】解：设，由于在平面直角坐标系中，为坐标原点，所以：，设，由于平面内点满足，则，整理得：，所以，当时，的最大值为5故选：6（2021江西）是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为A6B7C8D9【解答】解：双曲线中，如图：，所以，故选：7（2021秋沙坪坝区校级期中）是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为A6B7C8D9【解答】解：双曲线双曲线，如图：，和，所以，故选：8（2021秋岳麓区校级月考）已知双曲线的左右焦点分别是，点是的右支上的一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足是，是原点，则A随点变化而变化B2C4D5【解答】解：双曲线
5、的左右焦点分别是，延长交于，是的角平分线，在双曲线上，是的中点，是的中点，是的中位线，即，双曲线中，则故选：9（2021厦门一模）已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，点，当的周长最大时，的面积等于ABCD【解答】解：椭圆的，由题意，设是左焦点，则周长，三点共线时，且在的延长线上，取等号），直线的方程为与椭圆，联立可得，解得的纵坐标为，则周长最大时，该三角形的面积为故选：10（2021秋海曙区校级期中）已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，点，当周长最大时，直线的方程为ABCD【解答】解：椭圆方程：，如图所示设椭圆的左焦点为，则，的周长，当且仅当三点，共线时取等号则直线的方程：，整理得，故选：11（2
6、021平湖市模拟）已知双曲线，是左焦点，是右支上两个动点，则的最小值是A4B6C8D16【解答】解：设双曲线的右焦点为，则故选：12（2021浙江模拟）已知点，为椭圆上的动点，是圆上的动点，则的最大值为ABC3D【解答】解：如图所示，由椭圆，可得：，设椭圆的右焦点为，则，当且仅当三点，共线取等号，故选：13（2021香坊区校级二模）已知点，关于坐标原点对称，以为圆心的圆过，两点，且与直线相切若存在定点，使得当运动时，为定值，则点的坐标为ABCD【解答】解：线段为的一条弦，是弦的中点，圆心在线段的中垂线上，设点的坐标为，则，与直线相切，整理得，的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，当为定值时，则点与
7、点重合，即的坐标为，存在定点使得当运动时，为定值故选：14（2021秋丽水期末）已知，点，在曲线上，若直线，的斜率分别为，则ABCD【解答】解：因为曲线，即；点在以，为焦点，的双曲线上，且在右支上，对应的曲线方程为：，；故选：15（2021秋温州期末）已知动点满足为大于零的常数），则动点的轨迹是A线段B圆C椭圆D双曲线【解答】解：因为为大于零的常数，所以，当且仅当时取等号，而方程表示动点到点，的距离和为，因为动点到点，的距离和大于，所以动点的轨迹是椭圆故选：16（2021秋奉新县校级月考）已知动点满足，则点的轨迹是A圆B椭圆C双曲线D抛物线【解答】解：动点满足，可得：，就是动点到定点的距离与到
8、定直线的距离的比是常数，满足双曲线的第二定义，所求轨迹是双曲线故选：17（2021秋北林区期中）已知动点满足，则点的轨迹是A两条相交直线B抛物线C双曲线D椭圆【解答】解：令，则其几何意义为点到的距离，令，其几何意义为点到直线的距离，依题意二者相等，即点到点的距离与到定直线的距离相等，进而可推断出的轨迹为抛物线故选：18（2021秋潮州期末）的顶点，的内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程是ABCD【解答】解：如图设与圆的切点分别为、，则有，所以根据双曲线定义，所求轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为故选：19（2021秋吉林期末）点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，则的轨迹方
9、程为ABCD【解答】解：点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，由椭圆的第二定义得的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且，解得，的轨迹方程为故选：20（2021秋宿州期末）的两个顶点为，周长为16，则顶点的轨迹方程为ABCD【解答】解：由题意可得，故顶点的轨迹是以、为焦点的椭圆，除去与轴的交点，故顶点的轨迹方程为：，故选：21（2015秋桂林期末）设是圆上一动点，点的坐标为，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为ABCD【解答】解：是圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，是圆上一动点，点的坐标为，点的轨迹为双曲线，点的轨迹方程为故选：22（2021秋诸暨市校级期中）已知点和，是
10、上的动点，直线与线段的垂直平分线交于点，则点所满足的轨迹方程为ABCD【解答】解：点在线段的垂直平分线上，点的轨迹是以、为焦点的双曲线，且，其轨迹方程是故选：23（2015春天水校级月考）已知，是的两个顶点，且，则顶点的轨迹方程为ABCD【解答】解：，由正弦定理，得（定值），双曲线的焦距，即，可得的轨迹是以为焦点的双曲线左支，可得双曲线的方程为顶点的轨迹方程为故选：24如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点，在抛物线上，点在轴上，记的面积为，的面积为，则等于是ABCD【解答】解：由题意，抛物线的准线方程为设，由抛物线的定义知，则，故选：二填空题（共11小题）25（20
11、21秋万州区校级期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 【解答】解：如图所示，椭圆，又为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，（当且仅当，共线时取等号），当且仅当，共线时，等号成立，的最小值为故答案为：26（2021秋邢台月考）已知点是椭圆的一个焦点，点为椭圆上任意一点，点，则取最大值时，直线的斜率为1【解答】解：如图所示，设椭圆的右焦点为由题意可得：，由椭圆的定义可得：，则当且仅当三点，共线时取等号故答案为：127（2021秋北碚区校级月考）已知椭圆，为左焦点，椭圆上的点到左焦点的距离最大值为，、为左、右顶点，是椭圆上任意一点，直线和满足，过作圆的两条切线
12、，切点分别为、，则的最小值为【解答】解：，设，椭圆上的点到左焦点的距离最大值为，又，设，则，又，故当取得最大值时，取得最小值，又，当时，取得最大值16，的最小值故答案为：28（2021杭州模拟）已知双曲线的左右焦点分别为，定点，点在双曲线的右支上运动，则的最小值等于11【解答】解：在双曲线的右支上，又，双曲线右焦点，（当且仅当、三点共线时取“” 故答案为：1129（2021春铅山县校级月考）椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点，当的周长最大时，的面积是【解答】解：设右焦点为，连接，中，两边之和大于第三边），当直线过右焦点时，的周长最大由椭圆的定义可得：的周长的最大值把代入椭圆标准方程可得：，解得
13、此时的面积故答案为：30（2017浙江）已知向量、满足，则的最小值是4，最大值是【解答】解：记，则，如图，由余弦定理可得：，令，则、，其图象为一段圆弧，如图，令，则，则直线过、时最小为，当直线与圆弧相切时最大，由平面几何知识易知即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧所在圆的半径的倍，所以综上所述，的最小值是4，最大值是故答案为：4、31（2021浙江二模）设是椭圆上的右焦点，是椭圆上的动点，是直线的动点，则的最小值为【解答】解：设椭圆的左焦点为，根据椭圆的定义，要想使得最小，只需的值为点到直线的距离，的最小值为，故答案为：32（2021嘉兴模拟）已知抛物线的焦点为，若点，是该抛物线上的点，线段的
14、中点在抛物线的准线上的射影为，则的最大值为【解答】解：设，、在准线上的射影点分别为、，连接、由抛物线定义，得且在梯形中根据中位线定理，得由勾股定理得，配方得，又，得到所以，即的最大值为故答案为：33（2021秋诸暨市期末）已知是平面向量，且是互相垂直的单位向量，若对任意均有的最小值为，则的最小值为3【解答】解：因为对任意均有的最小值为，所以，整理的，所以，即，不妨设为轴方向向量，为轴方向向量，所以，对应点的坐标为，所以，因为，为抛物线向上平移个单位，所以焦点为，准线为，所以到的距离与到的距离相同，所以，当且仅当，时等号成立，此时，所以的最小值为3故答案为：334（2021西湖区校级模拟）已知，
15、为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上移动时，为的内心，则的取值范围为坐标原点）为，【解答】解：椭圆的，如图：由椭圆的对称性可知在椭圆的短轴端点时，取得最小值，此时是等腰直角三角形的内心，的方程为：，解得；当运动到长轴的端点时，取得最大值，与焦点坐标重合，可得的最大值为1，此时不是三角形，的取值范围：，故答案为：，35（2021浙江模拟）已知，为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上移动时，的内心的轨迹方程为【解答】解：椭圆的，延长交轴于，设，连接，设，则，由内角平分线定理可得，可得，由椭圆的焦半径公式可得：，即，可得，代入椭圆可得，即有，故答案为：三解答题（共1小题）36（2021崇明县二模）已知椭圆的左、右焦点分别是、，是椭圆外的动点，满足点是线段与该椭圆的交点，点在线段上，并且满足，（1）当，时，用点的横坐标表示；（2）求点的轨迹的方程；（3）在点的轨迹上，是否存在点，使的面积？若存在，求出的正切值；若不存在，说明理由【解答】解：（1）设点的坐标为，时，由在椭圆上，得，可知：，（2）设点的坐标为，当时，点和点在轨迹上，当，且时，由，可得又，为线段的中点在中，综上所述，点的轨迹的方程是：（3）上存在点，使的充要条件是，可得，当时，存在点，使；当时，不存在满足条件的点当时，由，由，可得：