1、数列(三)(一)网上课堂 1本讲主要内容见第十讲；2学习指导如何运用归纳、猜想、证明的数学方法解题.观察、归纳、猜想、证明是相互联系,常常综合运用的数学学习方法,在探讨某些问题时,往往先从观察入手,发现问题的特点,形成解决问题的初步思路;然后用归纳方法进行试探,提出猜想;最后用逻辑推理方法(例如数学归纳法)去进行推证,以检验所提出的猜想.举例(1)：比较两个数,的大小.(nN*)直接比较a与b的大小比较困难,我们注意到a、b分别为n的函数,即a、b分别随着n的变化而变化,不妨取n=1,2,3观察.当n=1时,a=2,b=,此时有ab;当n=2时,此时有ab;当n=3时,此时有ab.由上面3个特
2、殊情况,我们可以归纳、猜想出一般结论,即ab,然后再利用数学归纳法给予证明.(2)：已知是正数组成的数列,其前n项为,对所有正整数n都有成立,求数列的前三项及通项公式.题目中给出了一个递推关系,可令n=1,解出a1=2;令n=2时,解出a2=6;令n=3时,解出a3=10.同学们作到此,已经可以猜想归纳出数列是以2为首项,公差为4的等差数列,即,下面要用数学归纳法证明.(此题也可以利用与的关系式求出来)通过上面两个例子我们看到观察、归纳、猜想、证明是解决数列有关问题常用的数学方法,在这个方法中也体现了由特殊到一般的辩证唯物主义观点,希望同学们能够掌握并且自觉地运用此方法解题.3例题精讲例1设是
3、正数组成的数列,其前n项和为,并且对于所有的自然数n,与2的等差中项等于与2的等比中项.(1)写出数列的前3项;(2)求数列的通项公式.(写出推证过程)(3)令,求：(94年全国高考试题)分析及解：(1)根据已知条件得到与的递推关系式,即,由此关系式可求出.,又,.同理,由,得. 由,得.(2)方法(一)：由a1=2,a2=6,a3=10可猜想.下面用数学归纳法证明：1当n=1时,a1=41-2=2.等式成立.2假设n=k时,成立,(k1), =k1,又,即时等式成立.由1和2知对任意nN*,都有.方法(二)：,(nN*)当n2时, =而,即(n2)故数列为等差数列,公差为4,又a1=2,.(
4、3)由而 = =.说明：数学归纳法是一种重要的推理证明方法.要想掌握好数学归纳法,首先要正确理解数学归纳法的本质,这样在证明中才会正确运用归纳假设.在本题证明中有如下写法：“设n=k时等式成立. =,即,即,因此,当n=k+1时等式也成立.”这里归纳假设没有用上,而平白加上了条件.也就是先认为数列是等差数列,犯了循环论证的错误.例2已知数列是等差数列,b1=1,.(I)求数列的通项;(II)设数列的通项,记Sn是数列的前n项和,试比较Sn与的大小,并证明你的结论.(98年全国高考试题)分析及解：(I)已知等差数列的首项b1=1,前10项和S10=145,通过解方程可求解.由bn=3n-2.(I
5、I)由通项可得 =若要比较与的大小,只需比较与的大小,显然直接比较这两两个数的大小不容易,但我们注意到这两个数都是与n有关的式子,故可先取n=1,n=2,n=3比较两个数的大小,由此可推测出下面应用数学归纳法证明.(1)当n=1时=2,而=显然成立.(2)假设n=k时,有成立(k1),则当n=k+1时, 要证成立.只需证明成立即可.如何证明上面不等式成立呢？可利用求差比较法来证明：=成立.成立.即当n=k+1时,不等式成立.由(1)、(2)可知对任意nN*,不等式成立.当a1时,成立.当a的论明采用的是数学归纳法,而在证明n=k+1时不等式成立时又采用了分析法和求差比较法.(二)网上能力训练题
6、 1能力训练部分 A基础性训练题：(1)从2000年到2003年,某人每年7月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄,若年利率q保持不变,且每年到期的本息均自动转变成新一年定期存款,到2004年7月1日,此人将所有存款的本息全部取出,则取出的金额是( )元.(A)(B)(C)(D)(2)设公比为q(q1)的等比数列的前n项和为Sn,且,那么k等于( ).(A)2(B)1(C)0(D)-1(3)等差数列的前n项和为Sn,如果S7S6,且S7S8,则a2+a4+a6+a8+a10+a12+a14的值( ).(A)大于0(B)等于0(C)小于0(D)可正可负(4)有一等差数列,在前n项中,前n项和Sn=
7、264,前四项和为21,后四项和为67,则项数n等于( ).(A)12(B)24(C)36(D)48(5)已知数列是等比数列,a4a5a6+3a4a6a7+3a5a6a8+a6a7a8=64,那么a5与a7的等差中项是( ).(A)8(B)4(C)2(D)3(6)三个数、1、成等差数列,又、1、成等比数列,则等于( ).(A)-3(B)1(C)-1或3(D)-3或1(7)已知等比数列中,a1=1,公比q0,实数x满足x-1,且,并把该方程记为In,方程In的解记为xn,求证数列是等差数列.(8)已知数列满足条件a1=2,an+1=an+4n+2(nN*)(1)求的通项公式;(2)求的值.(9)
8、试判断：能否构造一个实数等比数列,使其满足下列三个条件：a1+a6=11,;至少存在一个自然数m,使依次成等差数列,若能请写出这个数列的通项公式;若可能,请说明理由.(10)已知等差数列的首项为1,公差为d,前n项和为An;等比数列的首项为1,公比为q(|q|0,Sn是等差数列的前n项之和,则Sn取得最大值时,n=_.(3)在数列和中,a1=2,且对任意自然数n,bn是an与an+1的等差中项,则的各项和是_.(4)已知,那么_.(5)已知等比数列(),a1+a2=9,a1a2a3=27,且Sn=a1+a2+an(n=1,2,),则=_.(6)等差数列,的前n项和分别为Sn与Tn,若,则等于_
9、.(7)已知函数.它的展开式中x的系数为,x2的系数为bn,xn的系数为cn,各项系数和为dn.求出an、cn;设,是否存在最小值？若存在,求出它的最小值;若不存在,说明理由.(8)已知数列满足a0=1,an=P|an-1|-1(nN*),其中P为常数,0P1.求证：对一切nN*,不等式恒成立;求an的表达式并给予证明.(9)已知函数满足,f(1)=2,且f(x+2)=-f(2-x)对定义域中任意x成立.(I)求函数f(x)的解析式;(II)若数列的前n项和Sn,满足n=1时,a1=f(1)=2;当n2时,试写出数列的通项公式,并证明你的结论.(10)已知(I)求它的反函数,并指出反函数的定义
10、域;(II)如果数列()中,a1=2,前n项和为Sn(nN*),对于所有大于1的自然数n,都有,求的通项公式;(III)设求C研究性习题：设An和Bn分别表示数列和前n项的和,对任意正整数n,.(I)求数列的通项公式;(II)设有抛物线列,抛物线的对称轴平行于y轴,顶点为(),且通过点(0,),过点且与抛物线cn相切的直线斜率为Kn,求极限.(III)设集合,若等差数列的任一项,c1是中的最大数,且-265c100,由题设可知n1,.x-1,.数列是以为首项,为公差的等差数列.(8)(1)：由,得令n=1,2,3,n-1有,各式相加得.(2)由(1)可知=.(9)假设存在,设公比为q,由有 由
11、有 或.或.由 成等差.若,则,整理得,m=3.若,同理可得 设,则=249,不是完全平方数.因此t无解,故m不存在.(10), =B提高性训练题：12,2x=a+b,2y=b+c由：b=2x-a,由：b=2y-c4xy-2cx-2ay+ac=ac2xy-cx-ay=0.(2)16由,得代入中当当n=16时,Sn最大.(3)2,数列是公比为的等比数列,其各项和S=.(4)1,.(5)12设等比数列的公比为q,则,得 由、解得,.(6).,=.(7) =,即g(n)单调递增,当n2时,g(n)g(2)=,即g(n)有最小值.(8)当n=1时,由0p1,得-1a10,即n=1时,不等式成立.假设n
12、=k时,成立,则,即,n=k+1时不等式也成立.综上,对一切nN*,不等式恒成立.由,.,.猜想.下面用数学归纳法证明：n=1时,猜想成立.假设n=k时,则n=k+1时,n=k+1时,猜想成立.综上,对所有nN*,.(9)(I)：由axf(x)=b+f(x),得(ax-1)f(x)=b.若ax=1时,有b=0,与已知矛盾,f(1)=2,2a=b+2.f(x+2)=-f(2-x),求得.b=-1,.(xR且x2)(II)当n2时且nN*时,将代入条件式：,得,由,得a2=3,a3=4,a4=5.猜想,an=n+1,下面用数学归纳法证明：1)当n=1时,由条件应成立.2)假设,由知,当n=k+1时,而 =,即n=k+1时成立.综合1),2)对一切nN*,An=n+1,(10)(I)x2,(x0)(II)由得,是首项为,公差为的等差数列,由等差数列前n项和公式,易得(nN*)(III) = =1+c1+c2+cn-n=.C.研究性习题：(I)当nN,且n2时,-得而,.(II)可设抛物线方程：过Dn(0,n2+1).(3)由题设可得c1=-17故可设cn=-17+(n-1)dc10=-17+9d-265-17+9d-125是一个以-12为公差的等差数列d=-24.高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u