1、第6课时同角三角函数关系(2) 教学过程一、 问题情境3上节课,我们学习了同角三角函数基本关系式,并利用它解决了有关的三角函数的求值问题,那么,除了求值外,我们还可以利用同角三角函数的基本关系式解决三角函数的什么问题呢?二、 数学运用【例1】化简:(1) ;(2) .4(见学生用书P11)处理建议(1)引导学生思考同角三角函数的基本关系式有什么作用,进而采用切化弦的方法来减少函数名的个数,解决第一小题.(2)引导学生如何进行开方运算,进而引导学生想方设法来化平方式,从而解决问题(2).规范板书解(1) =cos;(2) =1.题后反思(1)化简后的三角函数式应满足以下几点:项数最少;三角函数的
2、种类最少;三角函数的次数最低;分母尽可能不含三角函数;不含特殊角的三角函数值.(2) 化简三角函数时,应注意三角公式的正用、逆用及变形运用,还应注意运用乘法公式及因式分解等变形方式,去根号时要保证其为正值.思考1化简题的总的解题目标是什么?(引导学生说出:化繁为简、化异为同、化分式为整式等)思考2在解决三角函数的化简问题时,如何做到化异为同?化异为同即表现在:(1)化函数名相同,常用化切为弦、化正弦、余弦的齐次式为正切等;(2)化角相同,常用变角的方法.【例2】(1) 已知是第三象限角,化简:-;(2) 化简:.5(见学生用书P11)处理建议引导学生从开方运算方法及如何应用同角三角函数的基本关
3、系式两个方面来思考问题,采用小组合作讨论交流的方式来集思广益,最后由学生展示.规范板书解(1) 方法1:由是第三象限角得-=-=-=-=-2tan;方法2:由是第三象限角得-=-=-2tan.(2) =cos2.题后反思在解决三角函数的化简问题时,化高次化低次的常用方法:(1)利用sin2+cos2=1;(2)应用乘法公式或因式分解.【例3】(教材第17页例4)求证:=.6(见学生用书P12)处理建议引导学生回忆初中阶段证明代数恒等式的方法:(1)从一边开始证得另一边,一般由繁到简;(2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子;(3)比较法:即设法证明“左边-右边=0”或“=1”.规范板书证
4、法1:因为-=0,所以=;证法2:因为=1,所以=;证法3:左边=右边;证法4:因为(1+cos) (1-cos)=1-cos2=sin2,又1+cos0, sin0,所以=.证法5:要证:=,即证(1+cos) (1-cos)=sin2,因为(1+cos) (1-cos)=1-cos2=sin2,所以=成立.题后反思以上几种证明方法有以下特点:(1) 化异为同,即减少不同名的三角函数,或切化弦,或弦化切;(2) 多项式运算技巧的应用,如因式分解等;(3) 条件和结论的整理和配置,以及同角关系的应用,若一时不易找到思路,可采用分析推理,寻找解题的突破口.【例4】(教材第23页习题1.2第14(
5、2)题)求证:=.7(见学生用书P12)处理建议可以先对左边进行化简,化弦为切,也可以先对右边进行恒等变形,化切为弦.规范板书证明方法1:(化切为弦)右边=左边.方法2:左边=右边.(其余证法略)题后反思在证明三角恒等式时,要注意紧紧抓住目标来实施解题计划.三、 课堂练习 1. 化简(+)(1-cos)的结果是sin.解原式=(+)(1-cos)=sin. 2. 化简的结果是sin80-cos80.解=|sin80-cos80|=sin80-cos80. 3. 若角的终边落在直线x+y=0上,则+的值等于0.解+=+.当的终边在第二象限时,原式=+=0;当的终边在第四象限时,原式=+=0. 4. 求证:(1) 1+tan2=;(2) tan2sin2=tan2-sin2.证明(1) 左边=1+=右边;(2) 左边=sin2=,右边=-sin2=sin2=sin2=.故左边=右边,从而等式成立.四、 课堂小结 1. 对三角函数的基本关系式的应用要会正用、逆用、变用、活用. 2. 对于三角函数式的化简或证明,要本着化繁为简、化异为同、化高次为低次、化分式为整式的原则. 3. 三角恒等式的证明,其思维模式可以归纳为三点:(1) 发现差异:观察角、函数、运算结构的差异;(2) 寻求联系:运用相关公式,找出转化差异的联系;(3) 合理转化:选择恰当的公式,实现差异的转化.