1、第5讲函数零点问题：分段函数零点、唯一零点 一选择题（共18小题）1（2021秋福州期中）设，则在下列区间中函数不存在零点的区间是A，B，C，D，【解答】解：在同一坐标系中画出与的图象如下图示：由图可知与的图象在区间，上无交点，由图可知函数在区间，上没有零点故选：2（2021浙江）设，函数若函数恰有3个零点，则A，B，C，D，【解答】解：当时，得；最多一个零点；当时，当，即时，在，上递增，最多一个零点不合题意；当，即时，令得，函数递增，令得，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，如右图：且，解得，故选：3（2021开福区校级二模）若函数在，
2、上存在零点，且，则的取值范围是A，B，C，D，【解答】解：设，则，关于的方程在，上有解，令，（1）若在，上存在两个零点，则，无对应的平面区域，（2）若在，上存在1个零点，则，作出平面区域如图所示：解方程组得的范围是，故选：4（2021春岳麓区校级期末）已知函数若存在2个零点，则的取值范围是A，B，C，D，【解答】解：由得作出函数和的图象如图：当直线的截距，即时，两个函数的图象都有2个交点，即函数存在2个零点，故实数的取值范围是，故选：5（2021西湖区校级模拟）已知函数，若有2个零点，则实数的取值范围是A，B，C，D，【解答】解：函数，令，得；设和；在同一坐标系内画出两函数图象，如图所示；根据
3、图象知，若有2个零点，则实数的取值范围是故选：6（2021秋洛阳期中）已知函数，若有三个不等实数根，则的取值范围是AB，CD，【解答】解：函数，有三个不等实数根，转化为和有三个不同交点画出图象如下：不妨设，令，的取值范围是，故选：7（2021商丘校级模拟）函数，若方程有且只有两个不等的实数根，则实数的取值范围为AB，CD，【解答】解：函数的图象如图所示，作出直线，向左平移直线观察可得函数的图象与函数的图象有两个交点，即方程有且只有两个不相等的实数根，即有，故选：8（2021自贡一模）已知函数则函数的零点个数是A4B3C2D1【解答】解：由函数可得由，故函数共4个零点，故选：9（2021秋越秀区
4、月考）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是ABCD【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，对于，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，对于，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，对于，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，故选：10（2021春华安县校级期末）已知函数，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是ABCD【解答】解：由题意可得函数的图象（蓝线）和函数的图象（红线）有两个交点，如图所示：，数形结合可得，故答案实数的取值范围是，故选：11（2021秋五华区校级月考）已知函数有唯一零点，则A1BCD【解答】解：令，则，则函数可化为：，
5、显然该函数为偶函数，且由题意知有唯一零点，所以，即，解得故选：12（2021秋松江区期末）已知，当，时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则实数的取值范围是AB，CD【解答】解：根据题意，由于为正数，为二次函数，在区间为减函数，为增函数，函数为增函数，分2种情况讨论：、当时，有，在区间，上，为减函数，且其值域为，函数为增函数，其值域为，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；、当时，有，在区间为减函数，为增函数，函数为增函数，其值域为，若两个函数的图象有1个交点，则有，解得或，又由为正数，则，综合可得：的取值范围是，故选：13（2021仁寿县模拟）已知当，时，函数的图象与的图象有且只有一个交
6、点，则正实数的取值范围是A，BCD【解答】解：根据题意，由于为正数，为二次函数，在区间为减函数，为增函数，函数为增函数，分2种情况讨论：、当时，有，在区间，上，为减函数，且其值域为，函数为增函数，其值域为，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；、当时，有，在区间为减函数，为增函数，函数为增函数，其值域为，若两个函数的图象有1个交点，则有，解可得，综合可得：的取值范围是，；故选：14（2021秋绍兴期末）已知，若函数的两个零点是，则的最小值是ABCD【解答】解：函数的两个零点是，的两个根是，则，则原式，即的最小值是，故选：15（2021春莲池区校级期末）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数
7、，且，若函数有唯一零点，则实数的值为A或B1或C或2D或1【解答】解：因为，又函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，则，即，可得，由于关于直线对称，则关于直线对称，因为为偶函数，则关于轴对称，所以关于对称，由于函数有唯一零点，则必有，且，即，解得或故选：16（2021春洛阳期末）存在实数使得函数有唯一零点，则实数的取值范围是A，B，C，D，【解答】解：函数有唯一零点，即方程有唯一根，也就是与有唯一交点，令，则，由“对勾函数”的单调性可知，当，即时，有最小值2，可得，即，则，解得实数的取值范围是，故选：17（2021兴庆区校级三模）已知函数在区间，内有唯一零点，则实数的取值范围为A，B，C，D【
8、解答】解：函数，令，则，即，令，则，令，则，所以函数在区间，内单调递增，故，所以，故函数在区间，内单调递增，故（e），即，所以，则实数的取值范围为，故选：18（2021蚌埠模拟）已知函数有唯一零点，则A0BC1D2【解答】解：，由函数解析式结构结合题干可猜想函数为偶函数，则，下证明当时，仅有唯一零点，显然，令，易知函数在单调递减，在单调递增，函数在，单调递增，由复合函数的单调性可知，函数在单调递减，在单调递增，又为偶函数，且，则仅有唯一零点，符合题意故选：二填空题（共10小题）19（2021春烟台期末）已知，函数，当时，不等式的解集是；若函数恰有2个零点，则的取值范围是【解答】解：（1）时，由
9、可得：或，解得或，的解集是（2）令可得或，令可得若，则在，上无零点，在上有两个零点0，1，符合题意；若，则在，上有1个零点，在上有两个零点0，1，不符合题意；若，则在，上有1个零点，在上有1个零点1，符合题意；，则在，上有1个零点，在上无零点，不符合题意；综上，或故答案为：，或20（2021山东模拟）已知函数，若，则不等式的解集为，；若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是【解答】解：当时，则令，即有或，解得或，故的解集为，；由函数只有一个零点时，时，或，当时，此时只有一个零点；当时，有2个零点；同理当时，只有一个零点；当时，有2个零点，故可得的取值范围是，故答案为：，；，21（2021春
10、龙华区校级月考）已知函数若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是，【解答】解：有两个零点：有两个零点，即与的图象有两个交点，由于在是偶函数，递增，在，递增，要使函数在，不单调，如图：可得，或即，故答案为：，22（2021春龙凤区校级期末）已知函数，函数，其中，若函数恰有3个零点，则的取值范围是【解答】解：函数，函数，其中，若函数恰有3个零点，方程有3个解，即函数与的图象有3个交点，作函数与的图象如下，结合图象可知，故答案为：23（2021春徐州期末）已知函数且在，内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是，【解答】解：由，即，分别作出函数和的图象如图：由图象可知（1），表示过定点的直线，
11、当过时，此时两个函数有两个交点，此时满足条件的的取值范围是，当过时，解得，此时两个函数有两个交点，当与相切时，两个函数只有一个交点，此时即，当时，只有1解，当，由得，此时直线和相切，要使函数有两个零点，则或故答案为：，24（2021海淀区校级模拟）已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的零点，则的取值范围是【解答】解：当时，函数的图象如下：时，要使得关于的方程有三个不同的根，必须，即，解得，的取值范围是，故答案为：25（2021春宁夏校级月考）已知函数，若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为，【解答】解：由得，作出函数，的图象，当，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条
12、件；则，此时，当时，当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时，即，则由，即，解得或，当时，此时不成立，此时，要使两个函数有四个零点，则此时，若，此时与，有两个交点，此时只需要当时，有两个不同的零点即可，即，整理得，则由，即，解得（舍去）或，综上的取值范围是，故答案为：，26（2021秋浦东新区校级月考）已知函数且在上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是，【解答】解：函数且在上单调递减，则：；解得，由图象可知，在，上，有且仅有一个解，故在上，同样有且仅有一个解，当即时，联立，则，解得或1（舍去），当时，由图象可知，符合条件，综上：的取值范围为，故答案为：，27（2021秋浙
13、江月考）已知二次函数在，上有零点，且，则，的最大值是；，的最小值是【解答】解：设，若，则，矛盾；若，则，则，于是，解得，此时取，此时函数的零点为，满足条件，故，的最大值是；依题意，若，同理可得），则，于是，又，则，于是，故，的最小值为；若，假设，则，于是，而，所以，于是（不妨设，所以，而矛盾，故，此时，零点为，满足条件故答案为：，28（2021秋瑶海区校级期末）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足，则的值为1：若函数有唯一零点，则实数的值为【解答】解：因为是定义在上的奇函数，所以有，因为，所以，所以，令，因为是定义在上的偶函数，所以，所以是定义在上的偶函数，图象关于轴对称，所以，所
14、以的图象关于对称，因为有唯一零点，所以，即，即，解得或故答案为：1，或三解答题（共9小题）29（2021浙江）设函数（）当时，求函数在，上的最小值（a）的表达式（）已知函数在，上存在零点，求的取值范围【解答】解：（）当时，对称轴为，当时，函数在，上递减，则（a）（1）；当时，即有，则（a）；当时，函数在，上递增，则（a）综上可得，（a）；（）设，是方程的解，且，则，由于，由此，当时，由，由，得，所以；当时，由于和，所以，故的取值范围是，30（2014春柯城区校级期中）已知函数，（1）若函数在，上存在零点，求的取值范围；（2）设函数，当时，若对任意的，总存在，使得，求的取值范围【解答】解：（1）
15、依题意知，求得（2）依题意知，图象如图，变形得，知其图象为恒过点的直线，依题意可知直线与抛物线在区间，上有交点，如图，（1），（4），为直线的斜率，由题意可得的值域包含在的值域，由在，的值域为，讨论，求得分别为6，以图象可知要使两函数图象在，区间上有交点需或，即的范围是，或31（2021和平区校级开学）已知函数（）若在，处导数相等，证明：；（）在（）的条件下，证明：；（）若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点【解答】解：（）由所以，即化简得：；（）由（）得，由基本不等式得，则得，则设，在上单调递增，所以，所以；（）记，令，记，则，当时，有，单调递减，当，；当，所以取，时，有，又，所以有唯一
16、零点当时，令，解得，则当和时，单调递减，当，单调递增，记，则，记，注意，所以，则，所以，又，且，结合单调性，可知有唯一零点综上可知，若，对于任意，直线与曲线有唯一公共点32（2021春抚州校级月考）已知函数，曲线在点处切线与轴交点的横坐标为（1）求（2）当时，曲线与直线只有一个交点，求的取值范围【解答】解：（1）函数的导数；则在点处的切线方程为，切线与轴交点的横坐标为，解得（2）当时，设，由题设知，当时，单调递增，当时，令，则则在上单调递减，在单调递增，在时，取得极小值（2），则在，有唯一实根（2），在上没有实根综上，当时，曲线与直线只有一个交点时，33设，若，（1），求证：且；方程在内有两个
17、实数根【解答】证明：因为，（1），所以，由条件，消去，得；由条件，消去，得，故；抛物线的顶点坐标为，在的两边乘以，得又因为，（1），而，所以方程在区间与，内分别有一实根故方程在内有两个实根34（2021秋仙桃期末）已知函数，（）求的反函数的图象上点处的切线方程；（）证明：曲线与曲线有唯一公共点【解答】解：（）的反函数为，设所求切线的斜率为，（1），于是在点处的切线方程为（4分）（）证法一：曲线与曲线公共点的个数等于函数零点的个数（6分），存在零点（7分）又，令，则当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在处有唯一的极小值（10分）即在上的最小值为（当且仅当时等号成立），在上是单调递增的，在上有
18、唯一的零点，故曲线与曲线有唯一公共点（12分）证法二：，曲线与曲线公共点的个数等于曲线与的公共点的个数（6分）设，则，即当时，两曲线有公共点又（当且仅当时等号成立），在上单调递减，与有唯一的公共点，故曲线与曲线有唯一公共点（12分）35已知函数（1）当时，求函数的单调区间（2）若有两个零点，求的取值范围【解答】解：（1）时，令，解得时，函数在上单调递减；时，函数在上单调递增（2）时，函数在上单调递减，此时函数最多有一个零点，不满足题意，舍去时，由（1）可知：时，函数取得极小值，有两个零点，令（a），（1）（a），函数在上单调递增，又时，；时，满足函数有两个零点的取值范围为36（2021秋湖北月
19、考）已知函数，对，都有恒成立，且（2）（1）求的解析式；（2）若函数，有三个零点，求的取值范围【解答】解：（1）函数，对，都有恒成立，令，则（2），又（2），所以，令，则，所以；（2）函数，令，由题意，所以，当，方程有一根，当，方程有两根，令，所以方程有两不等实根，且，或，记，所以的零点情况：当，时，解得；当，时，解得综上所述，的取值范围为37（2021秋河南月考）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）设，若在定义域上单调且有唯一零点，求实数的取值范围【解答】解：（1）的定义域为，分令，解得；令，解得；所以在区间上单调递增，在区间，上单调递减，分（2）由题意知，分因为在定义域上单调且有唯一零点，令，则函数在上与轴最多有一个交点，所以当时，或，解得或，故有，分此时，时，时，故在定义域上单调且有唯一零点，分当时，不可能成立，分综上所述，的取值范围为，分