1、1.1.2余弦定理教学设计永安一中 江冰一 教学内容分析本节课是一节公式定理课，内容是高中数学人教A版必修5第一章解三角形的第二节课，主要的教学内容有余弦定理的公式，余弦定理公式的简单应用。本节课是在学习了正弦定理知识之后，也就要求学生类比正弦定理的学习，学会公式的优化选择。二目标与目标分析数学的公式定理课-我们在平时教学中很容易把大量的花在公式定理的应用上，而忽略了让同学们参与公式的推导建构过程。这样的过程同学们在短时间上通过大量的训练会知道怎么用公式，却总是会迷茫为什么要这么用，为什么会选择这个公式，例如我就发现同学们上高中后依旧很多同学不喜欢用求根公式，而是依旧用配方法，我想这也是在公式
2、建构过程中，同学们没有参与推导的过程，就不知道如何解决公式的优化选择。导致学生还是无法接受新的知识。华罗庚说过，新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。而我们要回到原点看问题，才是学生能够更好的应用数学知识的基石。才能够用数学的思维去思考和解决问题。三学生学习情况分析我们面对的是高一的学生，学生在学习数学的能力还处在比较稚嫩的阶段。不过他们刚学习完正弦定理的知识，知道正弦定理公式的推导是从直角三角形这个特殊三角形到一般三角形的推导，知道正弦定理是应用时解三角形的边角关系，学生可以通过类比的方法来学习余弦定理。四设计思想本节课是一节公式定理课，我设计的主线是：从生活实际出发，解决学这节
3、课干嘛用，是为了解决生活问题的。通过特殊到一般的思想，把特殊问题一般化，让同学们寻找解决的途径，通过对比，寻找最优化方法，最终由同学们自己推导出公式，并自己观察寻找公式的简单应用。五教学目标知识与技能：能推导余弦定理及其推论，能运用余弦定理解已知“边，角，边”和“边，边，边”两类三角形。过程与方法：培养学生知识的迁移能力；归纳总结的能力；运用所学知识解决实际问题的能力。情感态度价值观：从实际问题出发运用数学知识解决问题这个过程体验数学在实际生活中的运用，让学生感受数学的美，激发学生学习数学的兴趣。通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。养成实事求是的科学态度和
4、契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。六教学重难点1.教学重点：余弦定理的证明过程和定理的简单应用。2.教学难点：余弦定理的公式推导及其简单应用中正余弦定理的选择。3.教学方法：启发讲授式与问题探究式4.教具准备：多媒体七教学过程教 学 过 程环节教学设计（教师引导）设计意图学情预设一.复习回顾，巩固铺垫1.正弦定理：问1：正弦定理主要解决哪些问题？ 答：(1)解三角形（SSA,AAS) (2)边角互化-（转化的思想） 问2：正弦定理应用要注意什么？ 答： 解的个数：检验-“大边对大角” 回顾上节课的学习内容，为余弦定理的学习做铺垫，回顾的不仅仅是知识内容，还有学习正弦定理的目的以及
5、应用中的一些注意点。学生会知道正弦定理的知识内容，但会对解决哪些问题，无法完整的回答，或者说不知道怎么回答，老师要做适当的引导。二.创设情境，引入新课通过播放学生测量假山的视频引入新课问3：为了测量校园内假山两端点之间的距离，之间被高高的假山挡着了，要怎么办？构建数学模型来解决问题问4：用正弦定理能否直接求出B,C两处的距离？答：不能问5：那要怎么办？答：（有的同学会想到）-请同学起来分析一下（渗透未知的知识往已知的知识如何转化）通过实际生活问题，来激发学生学习的兴趣，找到学生知识的冲突点，一个问题旧知识解决不了，我们就寻找新的解决方案。学生会发现不能用上节课的正弦定理来解决这个问题，积极的思
6、考要怎么处理这个问题，有的同学就会想到上节课正弦定理的证明就可以回归直角三角来解决。三小组合作，分组探究探究点：如何由已知两边和它们的夹角求三角形的另一边？问6：如何解决这已知三角形两边c和b,和两边的夹角A，求第三边a的问题？-渗透特殊到一般的思想如图，在ABC中，设BC=a, AC=b, AB=c.已知c, b和A，求边长a. 问7：解决长度和角度问题的手段有什么？生：，向量，坐标（当学生想到这些方法的时候可以问他们为什么会想到，例如，平面几何法-是回归我们初中就学习过的熟悉的知识，向量法-是因为有边角有关的公式，或者说有个有三角形有关的加法原则，坐标法是因为求边长a其实也是就A,B两点间
7、的距离，求两点间的距离公式，若没有想到，就由老师适度的引导）-给同学们几分钟时间小组合作探究，再请几个同学们上黑板展示，交流学习，老师适度调整。法一：平面几何法-容易思考，遵循学生学习的规律，新知识的学习，是旧知识的延伸-渗透分类讨论的思想法二：向量法法三：坐标法-解析几何-体现向量法和坐标法中角的任意性老师通过问题串的方式引导知道解决长度和角度的方法有多种，自己去寻找公式的证明过程。感受公式推导形成的过程。这样才能够真正的理解定理的内涵。真正做到学生自己去发现问题，体现了“学生主体，老师主导”的课堂状态。学生会想到平面几何的证明方法，但是会思考的没有那么全面，只想到锐角的证明过程，向量的方法
8、会遇到寻找夹角的错误，坐标法中，学生对C点坐标会不知道如何表示。向量法中，夹角容易找错了。四点明课题，解决问题由小组合作得到：在中已知AC=b，AB=c和A，求a。-用类比的方法得到另外两个余弦公式（1）、在中已知：求。-（2）、在中已知：。-这就是我们要学习的余弦定理。问8：为什么叫余弦定理？（含有角的余弦）问9：观察定理思考可以解决什么类型问题？（解三角形-SAS）-解决课前实际应用问题-解：答：B,C两处的距离约为6.3米。波利亚说：“观察可能导致发现，观察将揭示某种规则” 问7：可将公式如何变形？问8：公式变形的目标是什么？（知三边可以求角，边角互化）波利亚说过：“观察可能导致发现，观
9、察将揭示某种规则”，观察公式定理的特点，知道为什么叫余弦定理，知道怎么样快速的将公式记忆，让学生通过观察，自己寻找余弦定理要解决的问题，知道两边一夹角可以解决对边的问题，知道三边可以解决角的问题，为接下来让学生编题做好铺垫。注重数学思想的渗透，这过程我们用了分类讨论的思想，数形结合的思想。通过老师的问题串，相信同学都可以解决关于余弦定理知识的深度挖掘。五自主编题，范例分析康托尔说：“在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要”。 -请同学们自己编题-请同学上台展示-由于时间关系，只请一个同学展示下就行，剩下的课后去讨论，将讨论的氛围带到课后。法一：正弦定理-计算繁琐法二：余弦定理-
10、方程的思想法三：构建直角三角形-哪个方法更优化-通过之前的探究和分析，同学们已经可以知道余弦定理是可以解决解三角形中SAS,SSS两种类型的问题，让同学们自己编题，自己解题，充分考验了学生是否真的知道余弦定理的简单应该，也想看看同学们的思维拓展能力。通过上面的研究，同学们应该可以很快的找到余弦定理的简单应用，在这老师通过巡视，观察，帮忙纠错就行。同学们可以编出SAS，SSS的，可能会出现不能构成三角形，还有特殊三角形的情况。还有一种SSA的情况可能想不到。六.归纳小结，作业布置小结知识点：1.定理和推论 2.定理的应用思想方法：数形结合的思想，化归与转化的思想，分类讨论的思想，特殊到一般的思想知识的及时归纳和小结，数学思想方法的渗透，都是我们在学习过程中必不可少的一个环节。学生能够从知识中进行总结，思想上容易忽略，需要老师引导。作业: 1.复习 2.必做题书P8P9 选做题：已知一钝角三角形的边长是三个连续自然数，求该三角形的三边长。3.预习知识要通过练习，不断的巩固，学习在不断的与遗忘做斗争。作业的布置是针对今天的学习做进一步的巩固练习和提升。学生作业书写的不规范快乐学 习留得琴丝调宫商（打一数学名词）板书设 计余弦定理1定理2变形3应用例法一法二实际问题图形分析
