1、第42讲 解析几何中的长度之和差积商平方问题 一解答题（共30小题）1（2021北京）已知椭圆的一个顶点，以椭圆的四个顶点围成的四边形面积为（）求椭圆的方程；（）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，直线、分别与直线交于点、，当时，求的取值范围【解答】解：（）因为椭圆过点，则，又因为以四个顶点围成的四边形面积为，所以，解得，故椭圆的标准方程为；（）由题意，设过点，斜率为的直线为直线，设直线的方程为，即，当时，直线与椭圆没有交点，而直线交椭圆于不同的两点，所以，设，联立方程组，可得，则，解得，所以，则，直线的方程为，即，直线的方程为，即，因为直线交于点，所以令，则，故，同理可得，注意到，所以，
2、同号，因为，所以，同号，故，则，故，又，即，即，又，所以，故的取值范围为，2（2021开封模拟）已知抛物线，点，抛物线上的点，（1）求直线斜率的取值范围；（2）延长与以为直径的圆交于点，求的最大值【解答】解：（1）设直线的斜率为，则，直线斜率的取值范围为：；（2）由题意可知，直线的斜率为，联立直线与的方程，解得点的横坐标，令，则，在上单调递增，在，上单调递减，当时，取得最大值3（2021雨花区校级模拟）已知顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，过、两点，点为抛物线上不同于、的点，并且介于、两点之间，点为直线上一点，满足（）求直线斜率的取值范围；（）当取最大值时，求直线的方程【解答】解：（）可求得
3、抛物线方程为，设点，则，所以所以直线的斜率的范围为（）当时，直线的方程为：，此时当时，设点，直线的方程为，直线的方程为；可解得，由（1）可知结合图形可知，；所以，且令，由，可知在区间单调增，在区间且单调减，因此当时，综上可得，当时，取最大值，此时直线的方程为4（2021浙江）如图，已知抛物线，点，抛物线上的点，过点作直线的垂线，垂足为（）求直线斜率的取值范围；（）求的最大值【解答】解：（）由题可知，所以，故直线斜率的取值范围是：；（）由知，所以，设直线的斜率为，则，即，则，联立直线、方程可知，故，又因为，故，所以，令，则，由于当时，当时，故，即的最大值为5（2021高邮市期中）已知椭圆，四点，
4、中恰有三个点在椭圆上（）求椭圆的方程；（）如图，动直线交椭圆于，两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，以为圆的圆半径为，、是圆的两条切线，切点分别为、求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率【解答】解：（）由对称性可知，在椭圆上，不在椭圆上，则在椭圆上，所以，将点代入椭圆方程，可得，解得，所以椭圆方程为；（）设，联立方程和，得，由题意知，且，所以由题意可知圆的半径为，由题设知，所以，因此直线的方程为联立椭圆方程，得，因此由题意可知，而，令，则，因此，当且仅当，即时等号成立，此时，所以，因此，所以最大值为综上所述的最大值为，取得最大值时直线的斜率为6（2021阳泉期末）已知
5、抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为（）若，求直线的方程；（）若，求的值【解答】解：（）设直线的方程为，联立抛物线的方程可得，所以，由抛物线的定义可得：，解得，所以直线的方程为（）若，则，所以，化简得，由解得，所以点坐标为，所以7（2021浙江）如图，已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且（）求抛物线的方程：（）设过点的直线交抛物线于，两点，若斜率为2的直线与直线，轴依次交于点，且满足，求直线在轴上截距的取值范围【解答】解：（）依题意，故抛物线的方程为；（）由题意得，直线的斜率存在且不为零，设直线，将直线方程代入抛物线方程可得，则由韦达定理有，则，设直线，其中，设直线
6、，其中，则，设直线，联立，可得，则，联立，可得，则，同理可得，又，即，即，解得或；当直线的斜率不存在时，则直线，直线的方程为，直线的方程为，设直线，则，又，故，解得满足直线在轴上截距的取值范围为8（2021丹东期末）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，若线段的中点为，（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点，且证明：，成等差数列【解答】解：（1）设，两式相减得：，又，；（2），即，为的右焦点，由（1）可知：，所以，即点的横坐标为1，将点的横坐标代入椭圆方程可得，或，即，在轴上方，点在轴下方，即，故点为，联立方程，解得，直线方程为，联立方程，消去得：，即，设，由椭圆的离心率定义可得：，成等差数列
7、9已知是抛物线的焦点，点，是抛物线上的任意一点，的最小值为5（1）求该抛物线的方程；（2）设过点，斜率为1的直线与抛物线交于、两点，当取得最小值时，求：的面积；是坐标原点）外接圆的方程【解答】解：（1）抛物线上的点到焦点距离到准线的距离，到准线的距离到准线的距离，解得，抛物线的方程（2）当取得最小值时，点为过点且垂直于准线的直线与抛物线的交点，解得，过点斜率为1的直线方程为，由，得，设，点到直线的距离，的面积解方程，得，的中点坐标为，有中垂线的方程为：，即有中点，的中垂线方程为：，联立得外接圆圆心为：，外接圆半径，是坐标原点）外接圆的方程：10（2021乙卷模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知
8、抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，设的准线与轴的交点为，当时，（1）求抛物线的标准方程；（2）若点，过点的直线与交于，两点，是否存在轴上的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）因为，所以由题意得直线的斜率不为0，设直线，代入，消去得，成立设点，则因为，所以，所以又，所以，所以抛物线的标准方程为（2）设存在，使得，设直线的方程为，所以，得，所以，所以，同理可得，所以，因为，所以，即，即，因为，所以，所以，当时，即与轴垂直，所以，所以，当时，所以，所以或3（与点重合，舍去）所以11（2021广东期末）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，过焦点的直线交抛物
9、线于，两点（1）求抛物线的方程；（2）记抛物线的准线与轴的交点为，试问：是否存在，使得，且成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）依题意，椭圆中，得，则，得，即，故抛物线的方程为（2）设，联立方程消去，得，且，又，则，即，代入得，消去得，易得，则，由，解得或（舍，将代入，解得或故存在实数满足题意12（2021三明二模）在平面直角坐标系中，已知，若直线于点，点是直线上的一动点，是线段的中点，且，点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）过点作直线交于点，交轴于点，过作直线，交于点试判断是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由【解答】解：（1）设，由题意得，所以
10、，所以，化简得，所以所求点的轨迹的方程为；（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，令，得，即由解得，即，因为，所以的方程为，由解得，所以，所以13（2021春正定县校级月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线，过抛物线焦点且与轴垂直的直线与抛物线相交于、两点，且的周长为（1）求抛物线的方程；（2）若直线过焦点且与抛物线相交于、两点，过点、分别作抛物线的切线、，切线与相交于点，求：的值【解答】解：（1）由题意知焦点的坐标为，将代入抛物线的方程可求得点、的坐标分别为、，有，可得的周长为，有，解得；所以抛物线的方程为；（2）由（1）知抛物线的方程可化为，求导可得；设点、的坐标分别为，、，；设直线
11、的方程为（直线的斜率显然存在）；联立方程，消去整理为：，可得；有，；可得直线的方程为，整理为；同理直线的方程为；联立方程，解得，则点的坐标为；由抛物线的几何性质知，；有；14（2021天津期末）已知椭圆的焦距为8，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形（）求的方程；（）设为的左焦点，为直线上任意一点，过点作的垂线交于，两点证明：平分线段（其中为坐标原点）；当取最小值时，求点的坐标【解答】解：（）由题意可得，即，短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，可得，即有，解得，则椭圆方程为；（）设，的中点为，证明：由，当直线为时，此时平分线段，设直线的方程为，代入椭圆方程可得，于是，则直线的斜
12、率，得，三点共线，即有平分线段；当直线为时，此时，由两点间距离公式得，由弦长公式得令，则（当且仅当时，取“”号），当最小，由，得或，此时点的坐标为或15已知椭圆的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形（）求椭圆的标准方程；（）设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点，证明：平分线段（其中为坐标原点）；当最小时，求点的坐标【解答】解：（）由题意可得，短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，可得，即有，解得，则椭圆方程为；（）设，的中点为，证明：由，可设直线的方程为，代入椭圆方程可得，于是，则直线的斜率，又，三点共线，即有平分线段；由两点间距离公式得，由弦长公式
13、得，令，则（当且仅当时，取“”号），当最小时，由，得或，此时点的坐标为或16（2014秋大邑县校级月考）如图，已知椭圆，以该椭圆上的异于长轴端点的点和椭圆的左，右焦点，为顶点的三角形的周长为，以椭圆的四个顶点组成的菱形的面积为，双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）设直线，的斜率分别为，探求与的关系；（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题意知，椭圆中：，又，联立解得，椭圆的标准方程为又顶点与焦点重合，该双曲线的标准方程为（2）设点，在双曲线上，（3）设
14、直线，联立，化为，设，由弦长公式，同理，由，可得，代入上式可得：，由，可得，存在常数，使得恒成立17（2013秋长葛市校级期中）如图，已知椭圆的焦点分别为，双曲线，设为双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、（）设直线、的斜率分别为、，求：的值；（）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（）设，则为双曲线上异于顶点的任意一点，即；（）由于直线的方程是，代入椭圆方程并整理得，同理可得则又故因此，存在，使恒成立18（2021天津）设椭圆的左焦点为，上顶点为已知椭圆的离心率为，点的坐标为，且（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆在第一象限的交点为，且
15、与直线交于点若为原点），求的值【解答】解：（）设椭圆的焦距为，由椭圆的离心率为，；又，由，且；可得，从而解得，椭圆的方程为；（）设点的坐标为，点的坐标为，由已知；又，且，由，可得；由方程组，消去，可得，由（）知直线的方程为；由方程组，消去，可得；由，可得，两边平方，整理得，解得或；的值为或19（2021平城区校级模拟）若椭圆上有一动点，到椭圆的两焦点，的距离之和等于，到直线的最大距离为（）求椭圆的方程；（）若过点的直线与椭圆交于不同两点、，为坐标原点）且，求实数的取值范围【解答】解：由已知得，又，椭圆的方程为：的斜率必须存在，即设，联立，消去得，得，由可得，设，由韦达定理可得：，为坐标原点），
16、点在椭圆上，将代入得，即或，则的取值范围是，20（2021济南二模）已知椭圆的左顶点和下顶点分别为，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦的长为2（1）求椭圆的方程；（2）已知为椭圆上一动点不与，重合），直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：为定值【解答】解：（1）由题意可得，解得，所以椭圆的方程为：；（2）证明：由（1）可知，设，因为在椭圆上，所以，由，三点共线可得，同理可得，所以，所以：为定值1621（2021长沙县校级月考）已知椭圆的左，右焦点分别是，离心率为，直线被椭圆截得的线段长为（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，交轴于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点求证：为坐标原
17、点）为常数【解答】解：（1）设椭圆的焦距为，则，由直线被椭圆截得的线段长为可知，点在椭圆上，从而结合，可解得，故椭圆的方程为（2）证明：依题意，直线的方程为，则的坐标为设，则，直线的方程为，令，得点的横坐标为又由，得，得，代入得，得，所以为常数422（2021平顶山期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别是，焦距为2，点在椭圆上且满足，（）求椭圆的标准方程；（）点为坐标原点，直线与椭圆交于，两点，且，证明为定值，并求出该定值【解答】解：（）依题意，所以由，得，于是，所以，所以，因此椭圆的方程为（）证明：当直线的斜率存在时，设直线，由消去得，由题意，则，因为，所以，即，整理得而，设为原点到直线的距离，
18、则，所以，而，所以当直线的斜率不存在时，设，则有，不妨设，则，代入椭圆方程得，所以，所以综上23（2021渝中区校级模拟）已知抛物线，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于、两点，且（）求抛物线的方程；（）已知动圆的圆心在抛物线上，且过定点，若动圆与轴交于、两点，且，求的最小值【解答】解：（）设抛物线的焦点为，则直线，由，得（2分），（4分）抛物线的方程为（5分）（）设动圆圆心，则，且圆，令，整理得：，解得：，（7分），（9分）当时，当时，所以的最小值为 （12分）24（2021哈尔滨校级二模）已知抛物线，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于、两点，且（）求抛物线的方程；（）已知动圆的圆心在抛物线上
19、，且过定点，若动圆与轴交于、两点，求的最大值【解答】解：（）设抛物线的焦点为，则直线，由，得（2分），抛物线的方程为（4分）（）设动圆圆心，则，且圆，令，整理得：，解得：，（4分）设，当时，当时，且，综上知，（8分）在单调递减，当且仅当，即时等号成立所以的最大值为（12分）25（2021沙坪坝区校级模拟）已知抛物线，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于，两点，且，（1）求抛物线的方程；（2）已知动点的圆心在抛物线上，且过点，若动圆与轴交于，两点，且，求的最小值【解答】解：（1）抛物线的焦点，则直线的方程：，联立，设，则，又因为直线过焦点，则，解得：，该抛物线的方程为：（2）设，由于圆过点，则圆的
20、方程为：，令，则由对称性，不妨，则，故，由于，故，时取等）的最小值为26（2021晋中模拟）已知椭圆的右焦点在直线上，且椭圆上任意两个关于原点对称的点与椭圆上任意一点的连线的斜率之积为（1）求椭圆的方程；（2）若直线经过点，且与椭圆有两个交点，是否存在直线（其中使得，到的距离，满足恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由椭圆的焦点在轴上，由椭圆的焦点在直线，右焦点，即，设，则，得到，即，即，由，解得：，椭圆的方程；（2）设直线的方程为，整理得：，设，即有，存在直线（其中，使得，到的距离，满足：恒成立，即为，即有，即为，解得故存在这样的直线27（2021新都区月考）如图
21、，已知抛物线，圆，过抛物线的焦点且与轴平行的直线与交于，两点，且（1）证明：抛物线与圆相切；（2）直线过且与抛物线和圆依次交于，且直线的斜率，求的取值范围【解答】解：（1）证明：抛物线的焦点，令，可得，解得，即有抛物线的方程为，联立和，消去，可得，由判别式为，可得抛物线与圆相切；（2）由（1）可得，直线的方程为，圆心到直线的距离为，可得；设，由和，可得，则，则，设，则，设，由，可得，即有在，递增，则，（1），即为，可得的取值范围为，28（2021河南模拟）已知点在椭圆上，椭圆的左焦点为（1）求椭圆的方程；（2）直线过点交椭圆于、两点，是椭圆经过原点的弦，且，问是否存在正数，使为定值？若存在，请
22、求的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）椭圆的左焦点为，椭圆的右焦点为可得，解得，（2分），椭圆的标准方程为（4分）（2）设直线，且，由得，（7分）（10分）由得设，得得（12分）而当即时为定值，当不存在时，定值也为4，（15分）29（2021上虞区期末）如图抛物线的焦点为，为抛物线上一点在轴上方），点到轴的距离为4（）求抛物线方程及点的坐标；（）是否存在轴上的一个点，过点有两条直线，满足，交抛物线于，两点，与抛物线相切于点不为坐标原点），有成立，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由【解答】解：（）可得，抛物线方程为，点的坐标为；（）假设存在，可知直线，的斜率存在，设直线的方程为，联
23、立方程，解得此时切点，可得，的方程可设为联立，存在点符合题意30（2021新高考）在平面直角坐标系中，已知点，点满足记的轨迹为（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和【解答】解：（1）由双曲线的定义可知，的轨迹是双曲线的右支，设的方程为，根据题意，解得，的方程为；（2）（法一）设，直线的参数方程为，将其代入的方程并整理可得，由参数的几何意义可知，则，设直线的参数方程为，同理可得，依题意，则，又，故，则，即直线的斜率与直线的斜率之和为0（法二）设，直线的方程为，设，将直线方程代入的方程化简并整理可得，由韦达定理有，又由可得，同理可得，设直线的方程为，设，同理可得，又，则，化简可得，又，则，即，即直线的斜率与直线的斜率之和为0