1、2021年高考数学真题+模拟重组卷（新高考地区专用）（一）历年真题精选姓名：_ 班级：_ 得分：_注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1（2020海南高考真题）（ ）A1B1CiDi【答案】D【详解】故选：D2（2018天津高考真题（理）设全集为R，集合，则ABCD【答案】B【解析】详解：由题意可得：，结合交集的定义可得：.本题选择B选项.3（2015四川高考真题（理）设，都是不等于的正数，则“”是“”的（ ）A充要条件B充分不必要条件C必要不充
2、分条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则，从而有，故为充分条件. 若不一定有，比如.，从而不成立.故选B.4（2015山东高考真题（文）设函数，若，则 （ ）ABCD【答案】D【解析】由题意得，当时，即，则，解得（舍去）；当时，即，则，解得，故选D5（2020全国高考真题（理）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）Ay=2x+1By=2x+Cy=x+1Dy=x+【答案】D【详解】设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即.故选：D.6（2017全国高考真题（
3、文）函数f(x)=sin(x+)+cos(x)的最大值为AB1CD【答案】A【解析】由诱导公式可得，则,函数的最大值为.所以选A.7（2016全国高考真题（理）(2016高考新课标III，理3)已知向量 , 则ABC=A30B45C60D120【答案】A【解析】试题分析：由题意，得，所以，故选A8（2020海南高考真题）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40
4、，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）A20B40C50D90【答案】B【详解】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线.是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得.由于，所以，由于，所以，也即晷针与点处的水平面所成角为.故选：B二、 多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9（2020海南高考真题）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是
5、（ ）A这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，
6、故D正确;10（2020海南高考真题）下图是函数y= sin(x+)的部分图像，则sin(x+)= （ ）ABCD【答案】BC【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,当时，解得：，即函数的解析式为：.而故选：BC.11（2020海南高考真题）已知曲线.（ ）A若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若m=n0，则C是圆，其半径为C若mn0，则C是两条直线【答案】ACD【详解】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为
7、，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.12（2020海南高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（ ）A若n=1，则H(X)=0B若n=2，则H(X)随着的增大而增大C若，则H(X)随着n的增大而增大D若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)H(Y)【答案】AC【详解】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.对于B选项，若，则，所以，当时，当时，两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若，则，则随着的增大而增大，所以C选项正确.对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）.由于，所以，所以，所以，所以，
8、所以D选项错误.故选：AC三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13（2015广东（理）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=_【答案】【解析】随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为14（2018全国高考真题（理）函数在的零点个数为_【答案】【详解】详解：由题可知，或解得,或故有3个零点15（2018江苏高考真题）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_【答案】.【解析】由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，
9、在上单调递减，所以，16（2019北京高考真题（理）设函数f（x）=ex+aex（a为常数）若f（x）为奇函数，则a=_；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是_【答案】-1; . 【详解】若函数为奇函数,则，对任意的恒成立.若函数是上的增函数,则恒成立,.即实数的取值范围是四、解答题(本大题共6小题，共70分)17（2020全国高考真题（理）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，；（2）设的前项和为，得，.18（2015山东高考真题（理）设.（）求的单调区间；（）在锐角中，角的对边分
10、别为,若,求面积的最大值.【答案】（）单调递增区间是；单调递减区间是（） 面积的最大值为【解析】（）由题意知由 可得由 可得所以函数 的单调递增区间是 ； 单调递减区间是（）由 得由题意知为锐角，所以由余弦定理：可得：即： 当且仅当时等号成立.因此所以面积的最大值为19（2015重庆高考真题（理）如图，三棱锥中，平面，分别为线段上的点，且 (1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：由PC平面ABC，DE平面，故PCDE由CE，CD=DE得为等腰直角三角形，故CDDE由PCCD=C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE平面PCD（2）解：由（）
11、知，CDE为等腰直角三角形，DCE，如（）图，过点作DF垂直CE于，易知DFFCEF，又已知EB，故FB 由ACB得DFAC，故ACDF以为坐标原点，分别以的方程为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则（0,0,0,），（0,0,3），（,0,0）,（0,2,0），（1,1,0），设平面的法向量，由，得.由（1）可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量可取为,即.从而法向量，的夹角的余弦值为，故所求二面角A-PD-C的余弦值为.20（2014全国高考真题（理）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I）求这500件产品质量
12、指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（i）利用该正态分布，求；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求.附：若则，【答案】（I）；（II）（i）；（ii）【解析】（I）抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差分别为，（II）（i）由（I）知，服从正态分布，从而（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以21（2018上海高考真题）设常数在平面直角坐标系中，已
13、知点，直线：，曲线：与轴交于点、与交于点、分别是曲线与线段上的动点（1）用表示点到点距离；（2）设，线段的中点在直线，求的面积；（3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）；（3）见解析.【详解】（1）方法一：由题意可知：设，则，；方法二：由题意可知：设，由抛物线的性质可知：，；（2），则，设的中点，则直线方程：，联立，整理得：，解得：，（舍去），的面积；（3）存在，设，则，直线方程为，根据，则，解得：，存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且22（2016四川高考真题（文）设函数f（x）=ax2alnx，g（x）=，其中aR，e=2
14、.718为自然对数的底数.（）讨论f（x）的单调性；（）证明：当x1时，g（x）0；（）确定a的所有可能取值，使得f（x）g（x）在区间（1，+）内恒成立.【答案】（）当时，0，单调递减；当时，0，单调递增；（）详见解析；（）.【解析】（）0，在内单调递减.由=0有.当时，0，单调递减；当时，0，单调递增.（）令=，则=.当时，0，所以，从而=0.（）由（），当时，0.当，时，=.故当在区间内恒成立时，必有.当时，1.由（）有,而，所以此时在区间内不恒成立.当时，令=（）.当时，=.因此，在区间单调递增.又因为=0，所以当时，=0，即恒成立.综上，.（二）2021新高考模拟卷姓名：_ 班级：_
15、 得分：_注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1（2020广东广州市高三月考）已知复数，则（ ）AB3CD5【答案】D【详解】，所以，故选：D2（2020河南高二期中（理）已知集合，则（ ）ABCD【答案】D【详解】因为，或，则.故选：D.3（2020四川成都七中高二期中）已知，则“”是“方程表示双曲线”的（ ）A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】B【详解】若表示双曲线，则，即或，或，“”是“表示双曲线”的
16、充分不必要条件.故选：B.4（2020江西高三其他模拟（文）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是当时，直线yax+2a与白色部分有公共点；黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x，y），则x+y的最大值为2；设点P（2，b），点Q在此太极图上，使得OPQ45，b的范围是2，2其中所有正确结论的序号是（ ）ABCD【答案】A【详解】对于，将y轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域
17、占圆的面积的一半，根据几何概型的计算公式，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是，正确；对于，当时，直线,过点，所以直线与白色部分在第I和第IV象限部分没有公共点.圆的圆心为，半径为，圆心到直线，即直线的距离为，所以直线与白色部分在第III象限的部分没有公共点.综上所述，直线yax+2a与白色部分没有公共点，错误；对于，设l：zx+y，由线性规划知识可知，当直线l与圆x2+（y1）21相切时，z最大，由解得z（舍去），错误；对于，要使得OPQ45，即需要过点P的两条切线所成角大于等于，所以，即OP2，于是22+b28，解得故选：A5（2020全国高三专题练习）如图，正方体中，P
18、为底面上的动点，于E，且则点P的轨迹是（ ）A线段B圆C椭圆的一部分D抛物线的一部分【答案】A【详解】连结，可证，即，即点E是体对角线上的定点，直线AE也是定直线，动点P必定在线段AE的中垂面上，则中垂面与底面的交线就是动点P的轨迹，所以动点P的轨迹是线段故选：A6（2020重庆市万州第二高级中学高二期中）在边长为a菱形中，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则（ ）ABCD3【答案】B【详解】解:如图所示，取的中点，连接，由题意知都是等边三角形，设边长为.如图，由题意知为等腰直角三角形，在中，分别是上靠近的三等分点. 即为三棱锥外接球的半径，所以.在中，解得
19、：.故选:7（2020全国高三其他模拟）已知定义在上的函数是奇函数，当时，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】D【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以函数的图像关于点中心对称，且，当时，则，当且仅当时取等号，故，函数在上单调递增，因为函数的图像关于点中心对称，所以函数在上单调递增，不等式可化为或，即，解得，即，解得，故不等式的解集为，故选：D.8（2020湖北）如图，在中，点为边上的一动点，则的最小值为（ ）A0BCD【答案】C【详解】如图所示，作，可得，即，利用向量的三角形法则，可知若与O重合，则若在O左侧，即在上时, 若在O右侧，即在上时，显然此时最小，利用基本不等式（当且仅当，即为中
20、点时取等号）故选：C.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9（2020湖南高三月考）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且直线是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（ ）A函数的最小正周期为BC函数在区间上单调递增D点是函数图象的一个对称中心【答案】ACD【详解】因为图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以,又直线是其中一条对称轴，所以，即，由，得，所以所以的最小正周期 A正确；因为，所以B错误；由，解得单调递增区间为，取可知C正确；由，解得，取可知D正确.故选：ACD10（2020全国高二单元测试）若实数m的取值使函数在定
21、义域上有两个极值点，则称函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，m的取值范围的子集有（ ）ABCD【答案】BD【详解】依题意得，若函数具有“凹凸趋向性”，则在上有2个不同的实数根，令，则，令，解得；令，解得，在上单调递减，在上单调递增，故的最小值是，当时，故，故选：BD11（2020江苏淮安市马坝高中高二月考）设等差数列an的前n项和为Sn，公差为d已知a312，S120，a70，则（）Aa60BCSn0时，n的最小值为13D数列中最小项为第7项【答案】ABCD【详解】S120，a70，0，a1+6d0a6+a70，a602a1+11d0，a1+5d0，又a3
22、a1+2d12，d3a10S1313a70Sn0时，n的最小值为13数列中，n6时，0，7n12时，0，n13时，0对于：7n12时，0Sn0，但是随着n的增大而减小；an0，但是随着n的增大而减小，可得：0，但是随着n的增大而增大n7时，取得最小值综上可得：ABCD都正确故选：ABCD12（2020江苏南通市高一期末）某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则下列结论正确的是（ ）A函数在区间上单调递减，上单调递增B函数的最小值为，没有最大值C存在实数，使得函数的图象关于直线对称D方程的实根个数为2【答案】ABD【详解】设点，函数表示x轴上的点到A、B两点的距离之
23、和，由图可知，当点P由x的负半轴方向向原点O移动时，的和逐渐变小，即函数区间上单调递减，当点P由点A向x的正半轴方向移动时，的和逐渐变大，即函数在区间上单调递增，故A正确；当点P移动到点A时，的和最小，最小值为，没有最大值，即函数的最小值为，没有最大值，故B正确；，而，显然，故不存在存在实数，使得函数的图象关于直线对称，故C错误；方程即，由选项A可知，函数在区间上单调递减，上单调递增，当时，当时，所以存在唯一的，使得，当时，故等价于，解得，舍去，综上，方程的实根个数为2，D正确.故选：ABD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13（2020云南昆明市昆明一中（理）函数取最小值时
24、的取值范围是_.【答案】【详解】因为，所以，当时，y取最小值，此时，所以x的范围为.故答案为：.14（2020上海市南洋模范中学高一期中）已知正数x，y满足且有解，则实数m的取值范围是_.【答案】【详解】由已知得：，当且仅当时取等号；由题意：，即，解得：或，故答案为：.15（2020沈阳市辽宁省实验中学分校高二期末）已知函数，其中为自然对数的底数，若函数与的图像恰有一个公共点，则实数的取值范围是_【答案】或【解析】因为，所以函数在上为增函数且，所以当时，与有一个公共点，当时， 令有一解即可，设，令得，因为当时，当时，所以当时，有唯一极小值，即有最小值，故当时有一公共点，故填或.16（2020江
25、苏南通市高一期中）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即，现已知，则_，_【答案】1 【详解】由题意知，可得，所以，所以，又由，所以.故答案为：，.四、解答题(本大题共6小题，共70分)17（2020全国高三其他模拟）记为数列的前项和，已知，数列满足（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由，得，所以，即，所以数列是首项，公比为2的等比数列，所以，即（2）由（1）得，所以设，则，-，得，所以
26、所以18（2020上海嘉定区高三一模）已知函数的最小正周期为.（1）求的值及函数的值域；（2）在中，内角，所对应的边长分别为，若，的面积为，求的值.【答案】（1）；值域为；（2）4.【详解】解：（1）因为函数的最小正周期为，由，又因为所以.此时，则得，即，即当时，所以所求函数的值域为.（2）由题意得因为则得，所以，解得因为的面积为，则得，即，即.又因为，由余弦定理，得所以.19（2020全国高三其他模拟）为了了解某类工程的工期，某公司随机选取了10个这类工程，得到如下数据（单位：天）：17，23，19，21，22，21，19，17，22，19（1）若该类工程的工期服从正态分布，用样本的平均数和
27、标准差分别作为和的估计值（）求和的值；（）由于疫情需要，要求在22天之内完成一项此类工程，估计能够在规定时间内完成该工程的概率（精确到0.01）（2）在上述10个这类工程的工期中任取2个工期，设这2个工期的差的绝对值为，求的分布列和数字期望附：若随机变量服从正态分布，则，【答案】（1）（），；（）0.84；（2）分布列见解析，.【详解】解：（1）（）样本的平均数为，样本的标准差为因此，（）22天之内完成该工程的概率，所以估计能够在规定时间内完成该工程的概率为0.84（2）把这10个工期从小到大排列，为17，17，19，19，19，21，21，22，22，23，则的可能取值为0，1，2，3，4，
28、5，6，所以的分布列是0123456的数学期望是20（2020贵州安顺市高三其他模拟（理）如图，底边是边长为3的正方形，平面平面，.（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为60？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在；.【详解】解：（1）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又四边形是正方形，所以，因为，平面，平面，所以平面.又平面，所以平面平面；（2）因为两两垂直，所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则，假设在线段上存在符合条件的点，设，则，设平面的法向量为，则，令，得，由（1）知平面，所以是平面的
29、一个法向量，整理得，解得或（舍去），故在线段上存在点，使得二面角的大小为60，此时.21（2020全国高三其他模拟）已知函数，（1）求的最值；（2）若，求关于的方程（）的实数根的个数【答案】（1）最小值为，无最大值；（2）当时，关于的方程（）的实数根的个数为2；当时，关于的方程（）的实数根的个数为1【详解】（1）因为（），所以令，解得，当时，；当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增故，当 时，所以的最小值为，无最大值（2）因为（），所以（），关于的方程（）的实数根的个数等价于函数（）的图象与射线（）的交点个数因为（），令（），则，所以在上单调递增，又，故存在唯一的，使得，所以在上单调递减，在
30、上单调递增，且，因为当时，所以当时，因为，所以，当时，函数的图象与射线（）有两个交点，当时，函数的图象与射线（）有一个交点综上，当时，关于的方程（）的实数根的个数为2；当时，关于的方程（）的实数根的个数为122（2020浙江高三其他模拟）已知抛物线过点，直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于、两点.（1）若与的面积之比为，求此时直线的方程；（2）若与直线垂直的直线过点，且与抛物线相交于点、，设线段、的中点分别为、，如图，求点到直线距离的最大值及此时直线的方程.【答案】（1）；（2）点到直线距离最大值为，此时直线的方程为.【详解】解：（1）由题可知抛物线方程为焦点坐标为，设直线方程为，设点，联立，整理可得：得，则由韦达定理有，与的面积之比为，由可得，直线方程为，即.（2）由（1）得点，又直线与直线垂直，将换为，同理可得，时，直线的斜率，直线的方程为，整理为，于是直线恒过定点，时，直线的方程为，也经过点，所以点到直线距离，此时直线的方程为.
