1、安徽省滁州市定远县2021-2022学年高一数学下学期第一次月考试题（考试时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1 （）ABCD2下列说法错误的是（）A若非零向量有，则B零向量与任意向量平行C已知向量不共线，且，则D平行四边形中，3已知正方形的边长为6，在边上且，为的中点，则（）A-6B12C6D-124若向量，满足，且，则向量与的夹角为（）ABCD5在中，若点满足，则（ ）ABCD6已知是虚数单位，复数，则复数在复平面内表示的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限7如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D两点
2、，测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A，B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为（）km.ABCD28欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，他将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论中占有非常重要的地位，特别是当时，被称为数学上的优美公式.根据欧拉公式，表示复数，则（）ABCD9三棱柱中，侧棱长为，则其侧面积为（）ABCD10下列说法中正确的个数是（）空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；平行四边形可以确定一个平面；若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；若，且，则在上.A1B2C3D411一
3、个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（）ABCD12垂直于正方形所在平面，连接，则下列垂直关系正确的个数是（）面面面面面面面面A1B2C3D4二、填空题（本大题共4小题，共20分）13在平行四边形ABCD中，则_.（用表示）14如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，则A，B两点的距离为_ m15如图所示，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱的平面，记平面分三棱台两部分的体积为（三棱柱），两部分，那么_.16如图，为等边三角形所在平面外一点，
4、且，分别为的中点，则异面直线与所成的角为_.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17 （10分）如图所示，在中，与相交于点.设，.（1）试用向量、表示；（2）在线段上取一点，在线段上取一点，使过点，设，求证：.18（12分）如图，一艘船从港口O出发往南偏东75方向航行了100km到达港口A，然后往北偏东60方向航行了160km到达港口B试用向量分解知识求从出发点O到港口B的直线距离（，结果精确到）（提示：将，分解为垂直的两个向量）19（12分）如图所示，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为，点，为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得，重
5、合，得到三棱锥，则当的边长变化时，求三棱锥的表面积的取值范围.20（12分）如图，长方体中，；(1)求异面直线和所成角的正切值；(2)求三棱柱的体积和表面积.21（12分）如图，四边形中，分别在上，.现将四边形沿折起，使得平面平面.（1）当时，是否在折叠后的上存在一点，使得平面？若存在，求出点位置；若不存在，说明理由（2）设，问当为何值时，三棱锥的体积有最大值？并求出这个最大值.22（12分）如图，正方体中，分别为，的中点（1）求证：，四点共面；（2）若，与平面交于点，求证：三点共线参考答案1A 2D3A4B5A6C7B8B9C10B11B12B1314153：4164517【详解】（1）不妨
6、设.由于、三点共线，则存在使得，即，于是.又，所以，则，即.由于、三点共线，则存在使得，即，于是.又，所以，所以，即.由可得，所以；（2）由于、三点共线，所以存在实数使得，即，于是.又，所以，所以，则，可得，两式相加得.18【详解】建立如图所示的坐标系：显然，于是有：，所以，因为，所以有：19 解：由题可知，等边三角形的中心为，圆的半径为6，设三棱锥的底面边长为，即等边三角形的边长为，如图，连接，交与点，由题意可知，则，可知，即，则，则，三棱锥的底面积为：，由题可知，全等，则面积相等，三棱锥的侧面积为：，所以三棱锥的表面积为：，即，所以当的边长变化时，求三棱锥的表面积的取值范围是.20【解析】
7、 (1)在长方体中，因为，所以与所成的角即为与所成的角，即（或补角），所以异面直线和所成角的正切值为；(2)易知三棱柱是直三棱柱，底面是直角三角形，所以又为三棱柱的高，所以，又四边形为矩形，所以，故所求表面积.21【详解】（1）存在点，使得平面，此时.当时，过点作，交于点，连接，如图，则.在四边形中，.，且，故四边形为平行四边形，.平面平面，平面.（2）平面平面，平面平面，平面.，故三棱锥的体积，当时，三棱锥的体积有最大值，最大值为322 证明：（1）连接，在正方体中，分别为，的中点，是的中位线，又因为，四边形为梯形，即，四点共面（2）在正方体中，是平面与平面的交线，又因为交平面于点，是平面与平面的一个公共点因为两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上，三点共线