1、三角函数与平面向量专 题 三 110)20(ABABAB向量的概念及表示向量的概念：既有大小又有方向的量注意向量和数量的区别向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段零向量和单位向量：长度为 的向量叫做零向量，记作，注意零向量的方向是任意的；长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 与共线的单位向量是 11222121()()/4()()()3A xyB xyABxxyy相等向量和平行向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；平行向量 也叫共线向量：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量 也叫共线向量，记作，规定零向量和任一向量平行向量的坐标表示：若，则，aba b
2、121 12223.12向量加减法运算几何运算：当一个向量的终点为另一个向量的起点时，用向量加法的三角形法则；当两个向量的起点相同时，用向量加法的平行四边形法则代数运算：代数运算是指向量的坐标运算，即相应的坐标相减平面向量的基本定理如果 和 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使12eeaaee 11221212|()()|cos.1()()2.4xyaxyxyxyx xy y平面向量的两种积实数与向量的积：实数 与向量 的积仍是一个向量，模等于，与向量 的方向关系根据 的符号确定若，则，两个向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为，则若，则aaaa
3、aaba b=a|bab=a b 11221221112212120/.()()/00.0()015)2xyxyx yx yxyxyx xy y平面向量的两种位置关系两个向量平行的充要条件是：符号语言：当时，坐标语言：设，则，即向量坐标“交叉相乘”的差等于两个非零向量垂直的充要条件是：符号语言：；坐标语言：设，则，即向量坐标“同名相乘”的和ba bababa baba babab0.等于 1212121112221212()()().11.1()()6(1)72PPPP xyxxyyP xyP xyxyOOPOPPPPPOPP xyhkP xy线段定比分点的两种形式坐标形式：若点 分所成的比为
4、，且，则，向量形式：在平面内任取一点，若，则平移公式：如果点，按向量，平移至，ababa.xxhyyk，则 122(sinsinsin)sinsinsinsinsinsinsinsinsin28sin2 sin2 sin.abcR RABCABCaA aA bBbB cC cCa b cABCaRAbRBcRC正弦定理定理表达式：为的外接圆的半径 定理等价式：，；，2222222222222222cos2cos2cos.coscos2222212c s.23o9abcbcAbcaacBcababCbcacabABbccaabcCab余弦定理定理表达式：，定理等价式：，功能作用：已知三边，求各角
5、；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 1,22 5/522.21b已知向量、是同一平面内的三个向量，其中若，且，求 的坐标；若，且与例1垂直，求 与 的夹角.abcac=a ccb=a+baab2考点1 向量的基本运算 12cab第小题，先设向量 的坐标，然后利用向量的坐标运算及向量平行的充要条件建立方程即可解答；第小题利用向量垂直的条件确定向量 与 的关系，然后再结合向量的夹角公分析：式求解 22()2 52 5/2-022,4(-142442-)xyxyx yxxyy c=cc=a c=.=c令，则由知，又由知，联立可解得，或解析：故或，2222222222023022cos|1,
6、2125522552cos1.253520,由与垂直知，即，所以，即，所以，而由知，又，所以因为，所以222222a+baba+bab=2b2aa+a b2b=a b=32b2abaa b cos=33 a ba=a=b=2.()2本题是一道将平面向量的重点知识 向量垂直与平行充要条件、数量积与向量的夹角、向量的坐标运算等 融合在一起的综合题本题的解答主要是待定系数法的应用，而第小题的解答关键是确定【思维启值迪】的a b 1,2(22)41()23变式题：已知向量，设，求；若与 垂直，求 的值；求向量 在 方向上的投影abc=a+bb c aa+baab1,2(22)44,8(22)6,62
7、62()0(1.60)0 b c aabc=a+b cab因为，所以，所以，以解所析：22231,2(22)(21,22)212(22)0cos.1 2222cos.|25.222222 ，由于与 垂直，所以，所以设向量 与 的夹角为，向量 在 方向上的投影为所以a+ba+baababaa bab 422 3.cos(212)3ABCABCABACSABCB.已知中，求外接圆的面积；求例2的值 12AAA首先利用三角形面积求得角，然后对第小题分角 的两种取值结合余弦定理与分析圆的面积分别求解；第小题同样根据角 的两种取值利用三角恒等变换公：式求值考点2 解斜三角形 222211sin4 2si
8、n22322 3sin.2332 332242322cos16482832 72 21.2sin31283ABCSAB ACAAAAAABCABCABCABACAB ACBCBCABCRA 依题意，所以，所以或当时，是直角三角形，其外接圆半径为，面积为；当时，由余弦定理得，故，外接圆半径为面积为，解析：21.33321cos(2)cos.6332222 723sin3221sin14AAAABCBBABB 由知或当时，是直角三角形，所以，当时，由正弦定理得，所以，本题主要涉及到正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的综合应用，在选用公式时注意分析条件和结论及相互之间的关系，正确选用正弦定理与余弦
9、定理【思维启迪】进行求解2cos(2)cos2 cossin 2 sin3331 2sincos2sincossin332 211215 73(1)214221414.172BBBBBB .2.3132sinsin2sin2ABCABCabccCABCabCBAAABC在中，内角，对边的边长分别是，已知，若的面积等于，求，；若变式求题：，的面积 2222431sin3422441.2ababABCabCabababaabb 由余弦定理及已知条件得，又因为的面积等于，解析所以，得联，解得：立方程组 22sinsin4sin cossin cos2sin cos4 32 3cos02633cos0
10、sin2sin22 3412 3sin.233.24 332BABAAABAAAAABabABAbaaababSbabABCabC 由题意得，即，当时，；当时，得，由正弦定理得，联立方程组，解得所以的面积 (cossinsin)cossin,2cos124 4xxxxxxf xxf x 已知，求证：向量 与向量 不可能平行；若，且，时，求函数的最大值及最例3.小值ababa b考点3 三角函数与平面向量的综合 sin(12)yAx第小题利用反证法求解，即先假设两向量平行，然后利用两向量平行的充要条件建立等式，再通过三角恒等变换转化，进而导出矛盾；第小题先用数量积公式将函数转化为关于正余弦的函数
11、，再利用同角三角函数的基本关系与二倍角公式进行转化，转化为形如的函数，问题基本上就分析：解决了 22/2coscossinsincossin02cossin cossin01cos211 cos22sin20222in2cos232sin1(2)3|sin(2)|244xxxxxxxxxxxxxsxxxx 假设，则，所以，则，即，所以，解析：故向证明：量 与向量 不可能平行与矛盾，aba b 22cossincossinsin2coscossin2sin coscos2sin2222(cos2sin2)2sin(2)2243244444224221844.24f xf xxxxxxxxxxxx
12、xxxxxxxxf xxx 因为，因为，所以，所以，当，即时，有最大值有最；当，即时，小值=a b本题主要考查平面向量平行的充要条件、数量积，以及考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和差的正余弦公式，同时考查方程的思想、转化的思想【思维启迪】及反证法 24,00,4(3cos3sin)(0)002sinsin22sinsin12tancos1tanOAOBOCOC ABAC BC已知，若，求角 的值；若变式题：，求的值 4,4(3cos3sin)012cos12sin01sincos(0)t.4an1ABOCOC AB，因为，所以，所以，因为，所以解析：2(3cos4,3sin)(3c
13、os3sin4)03cos(3cos4)3sin(3sin4)037sincos2sin cos4162sinsin22sinsintancos1tan2sincos(cossin)2s2inACBCAC BC，因为，所以，所以，两边平方得，所以22cossincoscossin732sincos51sincos.1646 5(33)45606020 330/ABABDBBCD如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于 点北偏东，点北偏西的 点有一艘轮船发出求救信号，位于点南偏西且与 点相距海里的 点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里 小时，求该备选救援船到达 点需要多例题：长
14、时间？5(33)()906030904545180(4530)105.sinsinsin5(33)sin 45sinsin1055(33)sin 455 3sin 45 cos60cos45 sin 60ABDBADABADBDBABDABDABADBABDABDBADB 由题意知海里，所以在中，由正弦定理，解得所以析：(31)31210 3()海里 22230(9060)6020 3()2cos1300 12301()30002 10 3 20 3900230()1DBCDBAABCBCDBCCDBDBCBD BCDBCCDDt 又，海里，在中，由余弦定理得，所以海里，则需要的时间答：该救援
15、船到达 点时 需要小小时本题是一道典型的利用正弦定理与余弦定理解斜三角形的实际应用题是利用正弦定理还是利用余弦定理，必须分析条件与所求，结合正余弦定理的结构特点【思维启迪】作出选择 1()()2121()2向量加减法及其几何法则的应用应用主要有两种途径：根据已有图形结构利用法则表示向量、证明几何问题等相关问题；利用法则将所要解决的向量问题转化为几何图形来解决向量平行 共线 的充要条件的应用主要有两种用法：直接利用平行条件判断两向量是否平行 共线；根据向量平行的充要条件建立方程 组 解决坐标、参数等问题 1234()(1)2123向量垂直的充要条件的应用与平行一样主要有两个用法：直接利用垂直条件
16、判断向量的垂直；根据向量垂直的充要条件建立方程 组 解决坐标、参数等问题利用数量积的应用常见的题型：求数量积；求向量的模；求两个向量的夹角解题有两种途径：利用向量的数量积公式；根据向量的几何意义，将相关的向量等式或向量间的垂直、平行等关系转化为特殊的平行四边形 矩形、正方形、菱形等 12251向量的平移问题主要有两种题型：求已知向量平移前后的点的坐标或函数的解析式；根据平移前后点的坐标或函数的解析式求平移向量解答主要有两种途径：利用平移公式；作出相应的图形，利用数形结合法直观求解 12261利用向量的投影解题主要有两种题型：求向量的投影；根据向量的投影求向量相关的问题此类题一般难度不大，解答也
17、有两种途径：直接利用投影公式解决；利用数量积公式的变形公式解答7向量与三角函数的交汇此类题型主要表现为以向量为载体，在考查平面向量知识的同时考查三角函数知识，解答时一般是首先利用向量的知识将问题转化为三角函数问题，再利用相关的三角函数知识求解 1(2812)正余弦定理的应用正弦定理与余弦定理的应用主要题型：根据三角形的已知元素求未知元素；判断三角形的形状 或确定三角形六个基本量之间的关系 等利用正余弦定理主要有两种途径：化角为边；化边为角222sinsinsinsin sin A(0 B)66C(0 1.(20D)3311)ABCABCBCA在中，则 的取值范围是，四，川卷222222222.1cos.2032abcbcbcabcbcaAcAb由正弦定理角化边得，即所所以解以，析：26122.(2011).安已知向量，满足，则 与 的夹角为徽_卷ababababab 222262612 2611cos|.|260|，即，即，得，所以，解析：，所以，2ababa+a bab-ba ba ba babab