1、高一数学暑假作业一、单选题1. 有下列关系式：a,b=b,a；a,bb,a；=；0=；0；00.其中不正确的是( )A. B. C. D. 2. 下列说法不正确的是()A. x+1x(x0)的最小值是2B. x2+5x2+4的最小值是2C. x2+2x2+2的最小值是2D. 若x0，则2-3x-4x的最大值是2-433. 下列命题中正确的是()A. 若函数f(x)的定义域为(1,4)，则函数fx2的定义域为(-2,-1)(1,2)B. y=x+1和表示同一函数C. 定义在R上的偶函数f(x)在(0,+)和(-,0)上具有相反的单调性D. 若不等式ax2+bx+20恒成立，则b2-8a04. 已
2、知sinx+32sin4-x2sin4+x2=334，则tanx的值为( )A. -32B. 32C. -38D. 385. 已知向量a,b满足ab=0,|a|=|b|=24，若t0,1，则|t(b-a)+a|+|(1-t)(a-b)+512b|的最小值为( )A. 2193B. 242C. 24D. 266. 若复数z=i2019+|3+4i|3-4i，则z的虚部为( )A. -15B. 15C. -15iD. 15i7. 如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE折起至A1DE，若点M、O分别为线段A1C、DE的中点，则在ADE翻折的过程中，下列说法错误的是(
3、 )A. 与平面A1DE垂直的直线必与BM垂直B. 异面直线BM与A1E所成角是定值C. 一定存在某个位置，使DEMOD. 三棱锥A1-ADE的外接球的半径与棱AD的长之比为定值8. 随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分.下图是2012-2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是( )A. 这9年我国快递业务量有增有减B. 这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%C. 这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%D. 这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件二、多选题9. 三棱锥V-ABC中，A
4、BC是等边三角形，顶点V在底面ABC的投影是底面的中心，侧面VAB侧面VAC，则()A. 二面角V-BC-A的大小为B. 此三棱锥的侧面积与其底面面积之比为C. 点V到平面ABC的距离与VC的长之比为D. 此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为10. 下列关于平面向量的说法中正确的是( )A. a=(92,k)，b=(k,8)，若a/b，则k=6B. 向量i=(1,0)，j=(0,1)，则|3i-4j|=5C. 若点G为ABC的重心，则3GA+AB+AC=0D. 若ac=bc且c0，则a=b11. 给出下列结论，其中不正确的结论是()A. 函数y=(12)-x2+1的最大值为12B. 已知函数y
5、=loga(2-ax)(a0且a1)在(0,1)上是减函数，则实数a的取值范围是(1,2)C. 在同一平面直角坐标系中，函数y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称D. 已知定义在R上的奇函数f(x)在(-,0)内有1010个零点，则函数f(x)的零点个数为202112. 关于函数f(x)=ln1-x1+x，下列选项中正确的有()A. f(x)的定义域为(-,-1)(1,+)B. f(x)为奇函数C. f(x)在定义域上是增函数D. 函数f(x)与y=ln(1-x)-ln(1+x)是同一个函数三、填空题13. 下列结论中正确的是.(填序号)如果P(A)=0.99999，那么A为必然事件
6、；灯泡的合格率是99%，从一批灯泡中任取一只，是合格品的可能性为99%；概率是随机的，在试验前不能确定；频率是客观存在的，与试验次数无关；若事件A与B是对立事件，则A与B一定是互斥事件；14. 设函数f(x)=2x2x+1，g(x)=ax+5-2a(a0)，若对任意的x10,1，存在x20,1使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围为;若对任意的x10,1，存在x20,1使得f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围为15. 在ABC中，若sinA(sinB+cosB)-sinC=0，则角A的值为，当sin2B+2sin2C取得最大值时，tan2B的值为16. 如图，在三棱锥SABC中，若
7、底面ABC是正三角形，侧棱长SA=SB=SC=3，M、N分别为棱SC、BC的中点，并且AMMN，则异面直线MN与AC所成角为；三棱锥SABC的外接球的体积为四、解答题17. 已知函数f(x)=1+a(12)x+(14)x，g(x)=log121-axx-1(1)若g(x)为奇函数，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，当x-3,2时，函数y=f(x)+m存在零点，求实数m的取值范围；(3)定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意xD，存在常数M0，都有|f(x)|M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的一个上界.若函数f(x)在0,+)上是以5为上界的有界函数，求实数a
8、的取值范围. 18. 已知fx=sinx+cosx，gx=2sinx-4(1)若y=f2x-1+afxgx的图象关于直线x=-8对称，求实数a的值；(2)在ABC中，已知cfC-gC=acosB+bcosA，c=17，ABC的面积为332，求ABC的周长19. 已知平面直角坐标系内三点A，B，C在一条直线上，满足OA=(-3,m+1)，OB=(n,3)，OC=(7,4)，且OAOB，其中O为坐标原点(1)求实数m，n的值；(2)设AOC的重心为G，且OG=23OB，求cosAOC的值20. 如图，在直角梯形ABCD中，AB/CD，ABAD，且AB=AD=12CD=1.现以AD为一边向梯形外作正
9、方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF折叠，使EDDC，M为ED的中点，如图2 图1 图2(1)求证：AM/平面BEC;(2)求证：平面BCD平面BDE；(3)若DE=1，求点D到平面BCE的距离。21. 今年是中国共产党成立100周年，为了普及党史知识，加强爱国主义教育，某校举办了党史知识竞赛经过激烈角逐选拔，甲、乙、丙三名选手进入决赛，决赛由必答和抢答两个环节，必答环节每人必须回答随机抽签的3道题目，全部答对者进入抢答环节，否则被淘汰；在抢答环节中采用积分制，共有3道题目，每人是否抢到试题机会均等，抢到试题者必须作答，最后得分最高者获得一等奖若答对则得100分，其他选手得0分；若答错则
10、得0分，其他选手得100分设甲、乙、丙在必答环节中每道题答对的概率都是12，在抢答环节中每道题答对的概率都是13，且三名选手每道题是否答对互不影响(1)求甲、乙进入抢答环节，且丙未进入抢答环节的概率；(2)若甲、乙、丙都进入抢答环节，求在一次抢答中，甲得100分的概率；求丙以满分获得一等奖的概率22. 南京地铁项目正在如火如荼地进行中，全部通车后将给市民带来很大的便利已知地铁7号线通车后，列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2t20，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔t相关，当10t20时，地铁为满载状态，载客量为500人；当2t0，x+1x2x1x=2，当且仅当x=1时取等号，故
11、A正确；对于B，x2+5x2+4=x2+4+1x2+4=x2+4+1x2+42，当且仅当x2+4=1时取等号，显然x的值不存在，故B错误；对于C，x2+2x2+2=x2+22，当且仅当x=0时取等号，故C正确；对于D，x0，2-3x-4x2-23x4x=2-43，当且仅当x=233时取等号，故D正确故选：B3.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数基本概念，函数的奇偶性及单调性，考查不等式恒成立问题，属于中档题逐一对选项进行分析，讨论其正确性，即可得到答案【解答】A.由题意可知1x236%，故C错误;由条形图可知，自2016年起，各年的快递业务量远超过210亿件，故快递业务量的平均数超过210
12、亿件，D正确故选D9.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查三棱锥的结构特征，二面角，侧(底)面面积，点到直线的距离以及三棱锥及其外接球体积的计算，属于较难题数形结合，记等边三角形ABC的中心为P，取BC，AB的中点M，Q连结VP，VM，AM，VQ过点B作BNAV于N，连结CN.立足题中三棱锥结构特征结合题设条件运用直线与平面垂直的性质定理证得VP平面ABC，;运用二面角的定义证得VMA为二面角V-BC-A的平面角;运用三角形的全等结合平面与平面垂直的性质定理，直线与平面垂直的性质定理证得BNCN，BN=CN;然后BC=2，VC=x求得VC=2，最后结合各选项逐一展开计算即可得到结论【解答】解
13、：如图示，在三棱锥-ABC中，记等边三角形ABC的中心为P，取BC，AB的中点M，Q连结VP，VM，AM，VQ过点B作BNAV于N，连结CN顶点V在底面ABC的投影是底面的中心，VP平面ABC，且VA=VB=VC又M，Q是BC，AB的中点VMBC，AMBC，VQAB故VMA为二面角V-BC-A的平面角，AB=AC，VB=VC，VA公用VBAVCA平面VAB平面VAC，平面VAB平面VAC=VA，BNAV，BN平面VAB，BN平面VAC，CN平面VACBNCN又VBAVCA，BN=CN设BC=2，VC=x则：PM=13AM=13AB2-BM2=33，VQ=VM=VA2-AQ2=x2-1SVAB=
14、12ABVQ=x2-1=12VABN=x2BN故BN=CN=2x2-1x又BNCN，BC=2BN即2x2-2=x解得x=2即VC=2故VQ=VM=1，VP=VM2-PM2=1-13=63VPVC=632=33三棱锥V-ABC的侧面积S侧=31222=3，底面积S底=1222sin60=3S侧S底=33=3故A，由，在直角三角形VPM中cosVPM=PMVM=331=33二面角V-BC-A的余弦值为33，选项A错误;B，由知此三棱锥的侧面积与其底面面积之比为3，选项B正确;C，由知点V到平面ABC的距离与VC的长之比为33，选项C正确;D，VA=VB=VC=2，AB=BC=AC=2，.三棱锥V-
15、ABC为正三棱锥，且VA，VB，VC三者两两垂直故其体积为V=1312VAVBVC=1312222=23外接球半径R=VA2+VB2+VC22=62，体积为此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为选项D正确故选BCD10.【答案】BC【解析】【分析】本题考查向量的线性运算，向量的平行、垂直和向量的数量积，三角形重心的性质，属于中档题利用向量平行得出关于k的方程，求解k的值判断A；利用向量的坐标运算以及求模公式判断B；利用三角形的重心性质结合向量的加法运算判断C；利用向量的数量积的运算法则得出a=b或ca-b判断D【解答】解：Aa=(92,k)，b=(k,8)，若a/b，则928-k2=0，解得k=
16、6，故不正确；B.单位向量i=(1,0)，j=(0,1)，则3i-4j=3,-4，则|3i-4j|=32+-42=5，故正确；C.若点G为ABC的重心，设D为BC的中点，由重心的性质得：GA=-2GD，则3GA+AB+AC=-323AD+2AD=0，故正确;D.若ac=bc且c0，则ca-b=0，则a=b或ca-b ，故不正确；故选BC11.【答案】AB【解析】【分析】本题主要考查了指数函数的性质，对数函数的性质，函数的零点个数以及复合函数的单调性，属于中等题由指数函数的性质可判断A；由对数函数的性质及复合函数的单调性可判断B；由反函数的定义可判断C；由奇函数的性质可判断D【解答】解：对于A，
17、令t=-x2+1，则t的最大值为1，y=(12)-x2+1的最小值为12，故A错误；对于B，函数在(0,1)上是减函数，a12-a0，解得10，得(1-x)(1+x)0，解得：-1x01+x0，得-1x0，则gx在0,1上单调递增，于是gx在x=0处取得最小值，即gxmin=g0=5-2a，故5-2a0，即得a52,+)；由上述分析可知，f(x)在x=1处取得最大值，即fxmax=f1=1，于是当x0,1时，fxA=0,1，gx在x=1处取得最小值，即gxmax=g1=5-a，于是当x0,1时，gxB=5-2a,5-a，要使得对任意的x10,1，存在x20,1使得f(x1)=g(x2)，根据f
18、(x)与gx的连续性可知AB成立，15-a5-2a0，解得a52,4故答案为52,+)；52,415.【答案】-12【解析】【分析】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用，两角和与差公式，以及辅助角公式，是中等题整理sinA(sinB+cosB)-sinC=0得sinB(sinA-cosA)=0，进而判断出cosA=sinA求得A；进而得B+C，利用辅助角公式化简sin2B+2sin2C，结合正弦函数的性质得何时sin2B+2sin2C取得最大值，最后利用诱导公式求得tan2B【解答】解：sinA(sinB+cosB)-sinC=0，sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0，
19、sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0，sinB(sinA-cosA)=0因为B(0,)，所以sinB0，从而cosA=sinA，tanA=1，由A(0,)，知A=4B+C=34，sin2B+2sin2C=sin2B+2sin(32-2B)=sin2B-2cos2B=555sin2B-255cos2B(设cos=55，sin=255)=5sin2B-，由题意，当，时，sin2B+2sin2C取得最大值5，此时故答案为，-1216.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了线面垂直的性质与判定、异面直线所成的角、正三棱锥的外接球的体积根据三棱锥的底面为正三角形且侧
20、棱长相等得到正三棱锥，得到SO面ABC，接着根据线面垂直的性质、正三角形的性质及线面垂直的判定得到AC面SBE，进而得到SBAC，最后根据中位线的性质证明出ACMN;根据已知及线面垂直的判定得到SB面SAC，从而结合正三棱锥得到其为相应正方体的一部分，求出球的半径及球的体积【解答】解：如图所示，在三棱锥SABC中，若底面ABC是正三角形，侧棱长SA=SB=SC=3知，三棱锥SABC是正三棱锥，则点S在底面ABC中的投影为底面的中心O，所以SO面ABC，因此SOAC，又E为AC中点，ACBE，SOBE=O，所以AC平面SBE，SB平面SBE，SBAC，又M、N分别为棱SC、BC的中点，则MN/S
21、B，因此MNAC，异面直线MN与AC所成角为2；AMMN，MNAC，AMAC=A，MN平面SAC，又MN/SB，则SB平面SAC，又三棱锥SABC是正三棱锥，因此三棱锥SABC可以看成正方体的一部分且S，A，B，C为正方体的四个顶点，故球的直径为(3)2+(3)2+(3)2=3，则球的体积为43(32)3=92故答案为：17.【答案】解：(1)因为g(x)为奇函数，所以g(-x)=-g(x)恒成立，即log121+ax-x-1=-log121-axx-1，即得1+ax-x-1=x-11-ax，解得a=1，经检验，a=1不合题意，故a=-1；(2)由(1)得f(x)=1-(12)x+(14)x，
22、令t=(12)x，因为x-3,2，所以t14,8，因此f(x)化为h(t)=t2-t+1，其对称轴为t=12，使用t=12时，hmin(t)=h(12)=34，当t=8时，hmax(t)=h(8)=57，所以f(x)值域为34,57，又因为函数y=f(x)+m存在零点，等价于方程m=-f(x)有解，所以实数m的取值范围是-57,-34；(3)由已知，|f(x)|5在0,+)上恒成立，即-5f(x)5，化简得-62x-(12)xa42x-(12)x在0,+)上恒成立，所以-62x-(12)xmaxa42x-(12)xmin，设t=2x，因为x0,+)，即得t1，记F(t)=-6t-1t,G(t)
23、=4t-1t，易得G(t)=4t-1t在1,+)上单调递增，所以Gmin(t)=G(1)=4-1=3，设1t10所以F(t)在1,+)上单调递减，故Fmax(t)=F(1)=-7，因此实数a的取值范围是-7,3【解析】本题主要考查函数的奇偶性、函数的最值，函数的零点与方程根的关系以及不等式的恒成立问题，属于中档题(1)利用g(x)为奇函数，得到1+ax-x-1=x-11-ax，检验得知a=-1；(2)由(1)，令t=(12)x将f(x)化为h(t)=t2-t+1，利用二次函数知识求得f(x)的值域，再利用函数的零点与方程根的关系可求得实数m的取值范围；(3)利用题设条件，得到-5f(x)5，化
24、简得到关于a的不等式组-62x-(12)xmaxa42x-(12)xmin，令t=2x，构造函数F(t)=-6t-1t,G(t)=4t-1t，利用函数单调性，可求得实数a的取值范围18.【答案】解：(1)因为g(x)=2sin(x-4)=2sinx22-2cosx22=sinx-cosx所以y=f2(x)-1+af(x)g(x)=sinx+cosx2-1+asinx+cosxsinx-cosx=1+2sinxcosx-1+a(sin2x-cos2x)=sin2x-acos2x=1+a2sin(2x-)，其中tan=a，由题意得：2-8-=2+k，kZ，解得=4，即a=1(2)因为cfC-gC=
25、acosB+bcosA，所以，即c2cosC=acosB+bcosA，即sinC2cosC=sinAcosB+sinBcosA，即sinC2cosC=sin(A+B)=sinC，又sinC0，所以cosC=12，所以sinC=32;由余弦定理得，17=a2+b2-ab，又S=12absinC=332，所以ab=6，由解得a+b=35，则周长C=a+b+c=35+17【解析】本题主要考查三角函数的化简，同角三角函数基本关系式，二倍角公式及辅助角公式的应用，余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题(1)先化简函数得y=1+a2sin2x-再根据题意得2-8-=2+k，kZ，解得=4，即a=1；(
26、2)将已知条件化简得cosC=12，由余弦定理得到17=a2+b2-ab，由三角形面积公式得ab=6进而得a+b=35，即可得周长19.【答案】解：(1)因为三点A，B，C在一条直线上，所以AB/BC，又AB=OB-OA=(n+3,2-m),BC=OC-OB=(7-n,1)，所以n+3=(7-n)(2-m)，因为OAOB，所以-3n+3(m+1)=0，即n=m+1，由、解得m=8n=9或m=1n=2(2)因为OG=23OB，所以B为AC的中点，所以m=1，n=2，所以OA=(-3,2)，OC=(7,4)，因此【解析】本题考查向量平行与垂直的判定，考查向量的坐标运算，考查向量夹角的求解，注意向量
27、数量积的运算与性质，属于中档题(1)根据三点A，B，C在一条直线上，可得AB/BC，结合OAOB，根据向量平行与垂直的条件分别建立关于m，n的方程，联立解得结果；(2)根据OG=23OB，可得m=1，n=2，进而可知OA=(-3,2)，将cosAOC转化为向量所成角的余弦值求得结果20.【答案】(1)证明：取EC中点N，连结MN，BN，在EDC中，M，N分别为ED，EC的中点，所以MN/CD，且MN=12CD，由已知AB/CD，AB=12CD，所以MN/AB，且MN=AB，所以四边形ABNM为平行四边形，所以BN/AM，又因为BN平面BEC，且AM平面BEC，所以AM/平面BEC(2)证明：在
28、正方形ADEF中，EDAD，因为EDDC，ADDC=D，AD，DC平面ABCD，所以ED平面ABCD，BC平面ABCD，所以EDBC又在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，BDC=45，所以BC=2，在BCD中，BD=BC=2，CD=2，所以BD2+BC2=CD2，所以BCBD，因为EDBD=D，ED，BD平面BDE，所以BC平面BDE因为BC平面BCD，所以平面BCD平面BDE(3)解：设点D到平面BCE的距离为h，由(2)BC平面BDE，可知BCBE，因为DE=1，AB=AD=12CD=1，所以BD=2，BC=2，BE=3，所以SBDC=1222=1，SBEC=1232=62，根
29、据VD-BCE=VE-BCD，即13SBECh=13SBCDDE，1362h=1311，解得h=63，即点D到平面BCE的距离为63【解析】本题考查简单多面体及其结构特征，线面平行的判定与性质，面面垂直的判定，利用三棱锥的体积求空间中点到平面的距离，是中档题(1)取EC的中点N，连结MN，BN，则有MN/CD，结合已知可得四边形ABNM为平行四边形，则BN/AM，根据线面平行的判定定理可得AM/平面BEC；(2)由已知可证得ED平面ABCD，即可得EDBC，求解直角三角形可得BCBD，再由线面垂直的判定得到BC平面BDE.，再根据面面垂直的判定定理即可得证(3)设点D到平面BCE的距离为h，由
30、已知条件得到以BD，BC，BE的值，即可得到SBDC，SBEC，再根据三棱锥的体积公式，结合VD-BCE=VE-BCD，即可求解点D到平面BCE的距离21.【答案】解：(1)甲、乙进入抢答环节的概率均为(12)3=18，丙未进入抢答环节的概率为1-(12)3=78，故甲、乙进入抢答环节，且丙未进入抢答环节的概率为181878=7512(2)记“在一次抢答中，甲抢到题目并答对”的事件为A，“在一次抢答中，乙抢到题目并答错”事件为B，“在一次抢答中，丙抢到题目并答错”的事件为C“在一次抢答中，甲得100分”的事件为D，则D=A+B+C，所以P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=1313+13(1
31、-13)+13(1-13)=59;由知，在一次抢答中，丙抢到题目并且得100分的概率为19;在一次抢答中，丙没有抢到题目并且得100分的概率为49，丙得300分有四种情况：1、丙没有抢到题目且得300分，概率为(49)3=64729;2、丙抢到一道题目且得300分，概率为C3119(49)2=48729;3、丙抢到两道题目且得300分，概率为C32(19)249=12729;4、丙抢到三道题目且得300分，概率为C33(19)3=1729;因此丙以满分获得一等奖的概率为64729+48729+12729+1729=125729【解析】本题主要考查独立事件、互斥事件、对立事件的概率，考查数据分析
32、、逻辑推理、数学运算等核心素养(1)由题意，求出甲、乙进入抢答环节的概率，则可得丙未进入抢答环节的概率，进而可得所求概率；(2)根据相互独立事件同时发生的概率公式求解即可；由知，在一次抢答中，丙抢到题目并且得100分的概率为19;在一次抢答中，丙没有抢到题目并且得100分的概率为49，进而看求得丙以满分获得一等奖的概率22.【答案】解：(1)当10t20时，s(t)=500当2t10时，s(t)=500-k(10-t)2，s(2)=372，372=500-k(10-2)2，解得k=2s(t)=500-2(10-t)2s(t)=500-2(10-t)2,2t10500,10t20,s(5)=50
33、0-252=450人(2)当10t20时，s(t)=500Q=8500-2656t-60=1344t-60134410-60=74.4可得Qmax=74.4当2t10时，s(t)=500-2(10-t)2Q=4000-16(10-t)2-2656t-60=-16(t+16t)+260，函数y=t+16t在t2,4上为减函数，在t4,10上为增函数，当t=4时，Qmax=132当列车发车时问间隔为4时，该线路每分钟的净收益最大为132元【解析】本题考查了分段函数的性质、反比例函数的单调性、对勾函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题(1)当10t20时，s(t)=500，当2t10时，s(t)=500-k(10-t)2，由s(2)=372，解得k，即可得出s(t)；(2)当10t20时，s(t)=500，可得Q=1344t-60，利用反比例函数的单调性即可得出Qmax，当2t10时，s(t)=500-2(10-t)2，可得Q=-16(t+16t)+260132，利用对勾函数的性质即可得出
