1、高一数学暑假作业一、单选题1. 设集合A=x|-2x4，B=2,3，4，5，则(RA)B=()A. 2B. 4,5C. 3,4D. 2,32. 已知z=2+i，则z(z-i)=()A. 6+2iB. 4-2iC. 6-2iD. 4+2i3. 某工厂12名工人的保底月薪如表所示，第80百分位是() 工人保底月薪工人保底月薪128907285022860831303305092880429401033255275511292062710122950A. 3050B. 2950C. 3130D. 33254. 设D为ABC所在平面内一点，BC=3DC，则()A. AD=-13AB+23ACB. AD
2、=13AB-23ACC. AD=13AB+23ACD. AD=-13AB-23AC5. 甲、乙、丙、丁四位同学的身高各不相同，从这四位同学中随机抽出三人排成一排，则抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置的概率为()A. 23B. 13C. 16D. 1126. 如图所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，则四棱锥A-B1BCC1的体积为()A. 312 B. 66C. 34 D. 367. 古代将圆台称为“圆亭”，九章算术中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长3丈，上底周长2丈，高1丈，则它的体积为()A. 198立方丈B. 191
3、2立方丈C. 198立方丈D. 1912立方丈8. 如图所示，在平面四边形ABCD中，ADCD，AD=CD=6，ACBC，B=60o，现将ACD沿AC边折起，并连接BD，当三棱锥D-ABC的体积最大时，其外接球的表面积为()A. 4B. 8C. 12D. 169. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a+b=2ccosB，若CD是角C的平分线，AD=27，DB=7，求CD的长.()A. 3B. 2C. 22D. 32二、多选题10. 设i为虚数单位，复数z=(a+i)(1+2i)，则下列命题正确的是()A. 若z为纯虚数，则实数a的值为2B. 若z在复平面内对应的点在第三象限，
4、则实数a的取值范围是(-12,2)C. 实数a=-12是z=z-(z-为z的共轭复数)的充要条件D. 若z+|z|=x+5i(xR)，则实数a的值为211. 2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军.中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌.花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，则7个有效评分与9个原始评分相比，变化的数字特征是()A. 中位数B. 平
5、均数C. 方差D. 极差12. 已知角，满足+=，则下列结论正确的是()A. sin(+)=sinB. cos(+)=cosC. sin+2=sin2D. cos+2=sin213. 已知ABC是边长为1的等边三角形，点D是边AC上，且AC=3AD，点E是BC边上任意一点(包含B，C点)，则AEBD的取值可能是()A. -56B. -16C. 0D. 1614. 已知四边形ABCD是等腰梯形(如图1)，AB=3，DC=1，BAD=45，DEAB.将ADE沿DE折起，使得AEEB(如图2)，连结AC，AB，设M是AB的中点.下列结论中正确的是()A. BCADB. 点E到平面AMC的距离为63C
6、. EM/平面ACDD. 四面体ABCE的外接球表面积为5三、单空题15. 某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，12，8.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|的值为_ 16. 在平面直角坐标系xOy中，已知向量m=(22,-22)，n=(sinx,cosx)，x(0,).若m/n，则x= _ .若存在两个不同的x值，使得|n+m|=t|n|恒成立，则实数t的取值范围为_ 17. 已知函数f(x)=x+1，g(x)=2|x+2|+a若对任意x13,4，存在x2-3,1，使f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_ 18. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球
7、O的球面上，点D，E分别是PB，BC的中点，PA=3，PD=DE=2，PE=22,AD=13，AE=17，则球O的表面积为_ 四、解答题19. 从B=4，a=32sinB这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答已知ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC(1)求角A；(2)已知b=6，且_，求sinC的值及ABC的面积20. 如图，在直角ABC中，点D为斜边BC的靠近点B的三等分点，点E为AD的中点，|AB|=3，|AC|=6(1)用AB，AC表示AD和EB；(2)求向量EB与EC夹角的余弦值21. 由袁隆平团队研发的第三
8、代杂交水稻于2019年10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3公斤，第三代杂交水稻的综合优势可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展.某企业引进一条先进的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工，创建一个新产品，已知该产品的质量以某项指标值k(70k100)为衡量标准，质量指标的等级划分如表： 质量指标值k90k10085k9080k8575k8070k16，nN*，5nk0,02)，f(x)的图象相邻两条对称轴的距离为2，_(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)=f(x)cos2x在-12,6上的取值范围24. 如图，
9、在半圆柱W中，AB为上底面直径，DC为下底面直径，AD为母线，AB=AD=2，点F在AB上，点G在DC上，BF=DG=1，P为DC的中点(1)求三棱锥A-DGP的体积；(2)求直线AP与直线BF所成角的余弦值；(3)求二面角A-GC-D的正切值25. 已知函数f(x)=log2(x-1)(1)求函数f(x)的定义域；(2)设g(x)=f(x)+a，若函数g(x)在(2,3)上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围；(3)设h(x)=f(x)+mf(x)，是否存在正实数m，使得函数y=h(x)在3,9内的最小值为4？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由答案和解析1.【答案】B【解析】解：A=x
10、|-2x4，RA=x|x-2或x4，B=2,3，4，5，(RA)B=4,5，故选：B先求出集合A的补集，再根据集合的基本运算即可求(RA)B本题主要考查集合的基本运算，属于基础题2.【答案】C【解析】解：z=2+i，z(z-i)=(2+i)(2-2i)=4-4i+2i+2=6-2i，故选：C直接利用复数代数形式的四则运算即可求解本题考查复数代数形式的四则运算，属于基础题3.【答案】A【解析】解：这组数据从小到大排列为：2710，2755，2850，2860，2880，2890，2920，2940，2950，3050，3130，3325；由1280%=9.6，所以这组数据的第80百分位是第10个
11、数据，为3050故选：A把这组数据从小到大排列，由1280%=9.6，得出这组数据的第80百分位是第10个数据本题考查了百分位数的计算问题，是基础题4.【答案】C【解析】解：BC=3DC，D为线段BC靠近C点的三等分点BD=23BC=23AC-23AB，AD=AB+BD=13AB+23AC故选：C由题意可得D为BC的三等分点，用AB,AC表示出AD即可本题考查了平面向量的基本定理，向量线性运算的几何意义，属于基础题5.【答案】B【解析】解法一：甲、乙、丙、丁四位同学的身高各不相同，从这四位同学中随机抽出三人排成一排，基本事件总数n=C43A33=24，抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置
12、包含的基本事件个数m=C43C11A22=8，则抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置的概率为p=mn=824=13故选：B解法二：甲、乙、丙、丁四位同学的身高各不相同，假设从高到底为甲、乙、丙、丁，从这四位同学中随机抽出三人排成一排，基本事件总数有24个，分别为：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，甲乙丁，甲丁乙，乙甲丁，乙丁甲，丁甲乙，丁乙甲，甲丙丁，甲丁丙，丙甲丁，丙丁甲，丁甲丙，丁丙甲，乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丙丁乙，丁乙丙，抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置包含的基本事件有8个，分别为：乙甲丙，丙甲乙，乙甲丁，丁甲乙，丙甲丁，丁甲丙，丙乙丁，丁乙丙，则
13、抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置的概率为p=824=13故选：B基本事件总数n=C43A33=24，抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置包含的基本事件个数m=C43C11A22=8，由此能求出抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置的概率本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6.【答案】D【解析】解：如图取BC中点O，连接AO，三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，AOBC，又正三角形ABC的边长为1，AO=32而平面BAC平面B1BCC1，且平面BAC平面B1BCC1=BC，AO平面B1BCC1，又四边形B1BCC1是边长为1的正方
14、形，四棱锥A-B1BCC1的体积为V=131132=36故选：D取BC中点O，连接AO，求得AO并证明AO平面B1BCC1，再由棱锥体积公式求解本题考查正三棱柱的结构特征，考查棱锥体积的求法，考查计算能力，是中档题7.【答案】B【解析】解：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则2r=2，2R=3，得r=1，R=32又圆台的高为1，圆台的体积V=131(12+132+942)=1912立方丈故选：B设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，由已知周长求得r与R，代入圆台体积公式求解本题考查圆的周长公式、圆台体积公式，考查计算能力，是基础题8.【答案】D【解析】解：由题意，当平面ACD平面ABC
15、时，三棱锥的高最大，此时体积最大，AD=CD=6，ADCD，ACD的高为3，D是投影在AC的中点平面ACD平面ABC，三棱锥的高为3，AC=23，BC=2，AB=4又ACBC，B=60o，平面ABC外接圆半径r=AB2=2，设球心O到圆心O的距离为d，可得R2=r2+d2R2=(12BC)2+(3-d)2由解得R=2外接球的表面积S=4R2=16；故选：D由题意ACD沿AC边折起，当平面ACD平面ABC时，三棱锥的高最大，此时体积最大，然后求出外接球的半径，再求出外接球的表面积；本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养9.【答案】B【解析】解：由余弦定理知c
16、osB=a2+c2-b22ac，2a+b=2ccosB，2a+b=2ca2+c2-b22ac，即a2+b2-c2=-ab，由余弦定理知，cosC=a2+b2-c22ab=-ab2ab=-12，C(0,)，C=23由角分线定理知ACBC=ADBD=277=2，设BC=x，则AC=2x，在ABC中，由余弦定理知，AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB，(37)2=4x2+x2-22xx(-12)，解得x=3，a=BC=3，b=AC=6，cosB=2a+b2c=23+6237=277，在BCD中，由余弦定理知，CD2=BD2+BC2-2BDBCcosB=7+9-273277=4，CD=2故选
17、：B结合余弦定理和已知条件，可得a2+b2-c2=-ab，再利用余弦定理，即可得解C的值，由角分线定理知ACBC=ADBD=2，在ABC中，由余弦定理，可求得BC的长，进而知AC与cosB的值，再在BCD中，由余弦定理，得解本题考查解三角形在平面几何中的应用，熟练掌握角分线定理、余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题10.【答案】ACD【解析】解：复数z=(a+i)(1+2i)=(a-2)+(2a+1)i；对于A：当a=2时，z为纯虚数，故A正确；对于B：z在复平面内对应的点在第三象限，可得a-202a+10，解得a0，所以1-t2+1+2(22sinx-22cosx)=
18、0，即t2-2=2sin(x-4)，若存在两个不同的x值，使得|n+m|=t|n|恒成立，则函数y=t2-2与y=2sin(x-4)有两个不同的交点，又x(0,)，所以x-4(-4,34)，当x-4(4,2)(2,34)时，可以满足题意，此时2sin(x-4)(2,2)，所以t2-2(2,2)，因为t0，所以t(2+2,2)故答案为：34；(2+2,2)由平面向量的平行条件可得22cosx+22sinx=0，再结合辅助角公式以及x(0,)，即可得解；易知，|m|=1，|n|=1.由|n+m|=t|n|，得|n|2+|m|2+2mn=t2|n|2，且t0，利用平面向量数量积的坐标运算以及所得数据
19、，可推出t2-2=2sin(x-4)，原问题可转化为函数y=t2-2与y=2sin(x-4)有两个不同的交点，最后结合正弦函数的图象与性质即可得解本题考查平面向量与三角函数的综合应用，包含平面向量的数量积运算与平行的条件、辅助角公式和正弦函数的图象与性质，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题17.【答案】(-,3【解析】解：若对任意x13,4，存在x2-3,1，使f(x1)g(x2)，可得f(x)ming(x)min，由f(x)=x+1在3,4递增，可得f(x)的最小值为f(1)=4，g(x)=2|x+2|+a在-3,-2上递减，在-2,1递增，可得g(x)的最小值为g(
20、-2)=1+a，所以41+a，解得a3即a的取值范围是(-,3故答案为：(-,3由题意可得f(x)ming(x)min，由一次函数和函数绝对值函数、指数函数的单调性求得最值，解不等式可得所求范围本题考查函数的恒成立和存在性问题解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题18.【答案】41【解析】解：由PA=3，PD=2，PE=22，AD=13，AE=17，得PA2+PD2=AD2，PA2+PE2=AE2，可得PAPB，PAPE，又PBPE=P，PA平面PBC，D，E分别是PB，BC的中点，且PD=DE=2，PC=4，PB=4，又PE=22，BC=2BE=42，有PB2+PC2=BC2，得PBPC，
21、将三棱锥放在长方体中，外接球的直径等于长方体的对角线，设外接球的半径为R，则(2R)2=32+42+42=41，外接球的表面积S=4R2=41故答案为：41由已知求解三角形可得PA、PB、PC两两互相垂直，然后利用分割补形法求解本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，训练了分割补形法，是中档题19.【答案】解：(1)因为sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC，由正弦定理可得a2=b2+c2+bc，可得cosA=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12，因为0A，所以A=23(2)选择时，A=23，B=4，故sinC=sin(A+B)=sinAco
22、sB+cosAsinB=6-24，根据正弦定理asinA=bsinB，可得a=3，可得S=12absinC=9-334选择时，a=32sinB，根据正弦定理asinA=bsinB，可得32sinB32=6sinB，解得sinB=22，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=6-24，根据正弦定理asinA=bsinB，可得a=3，可得S=12absinC=9-334【解析】(1)由已知利用正弦定理可得a2=b2+c2+bc，根据余弦定理可求cosA=-12，结合范围0A，可求A的值(2)选择时，由A=23，B=4，利用两角和的正弦函数公式可求sinC，根据正弦定理asi
23、nA=bsinB，可得a=3，利用三角形的面积公式即可计算得解；选择时，a=32sinB，根据正弦定理解得sinB=22，利用两角和的正弦函数公式可求sinC，根据正弦定理可得a=3，利用三角形的面积公式即可计算得解本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题20.【答案】解：(1)以A为原点，AC、AB所在直线分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0,3)，C(6,0)，D(2,2)，E(1,1)AB=(0,3)，AC=(6,0)，AD=(2,2)，EB=(-1,2)，设AD=m
24、AB+nAC，则(2,2)=(6n,3m)，解得m=23，n=13，AD=23AB+13AC设EB=AB+AC，则(-1,2)=(6,3)，解得=23，=-16，EB=23AB-16AC(2)由(1)知，EB=(-1,2)，EC=(5,-1)cos=EBEC|EB|EC|=-5-2526=-7130130故向量EB与EC夹角的余弦值为-7130130【解析】(1)以A为原点，AC、AB所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，逐一写出A、B、C、D、E的坐标；设AD=mAB+nAC，EB=AB+AC，可列出关于m、n、和的方程，解之即可；(2)由(1)知，EB=(-1,2)，EC=(5,-1)
25、，再根据平面向量数量积的坐标运算即可得解本题考查平面向量的基本定理和数量积运算，遇到规则图形建立坐标系，借助平面向量的坐标运算可简化试题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题21.【答案】解：(1)根据题意，k70,100)，按组距为5可分成6个小区间，分别是70,75)，75,80)，80,85)，85,90)，90,95)，95,100)因为70k100，由5nk5(n+1)，nN*，所以n=14，15，16，17，18，19，每个小区间对应的频率值分别是5Y=3n-3960,n=14,15,165a220-n,n=17,18,19.所以3(14+15+16-39)60+5a(8+
26、4+2)=1，解得a=1100(2)由(1)中的数据，得k85,90)的频率为1100220-175=0.4；k90,95)的频率为1100220-185=0.2；k95,100】的频率为1100220-195=0.1，利用按比列分配分层随机抽样抽取的7件产品中，k85,90)的有4件，分别记作A1，A2，A3，A4；k90,100)的有3件，分别记作B1，B2，B3，从抽取的7件产品中任取2件产品，则样本空间=A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A1B3,A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A2B3,A3A4,A3B1,A3B2,A3B3,A4B1,A4B2,A4B3,B1
27、B2,B1B3,B2B3，所以n()=21事件A=“随机抽取的2件产品中至少有一件A级品“，则A=A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,A3B1,A3B2,A3B3,A4B1,A4B2,A4B3,B1B2,B1B3,B2B3，所以n(A)=15，由古典概型公式，得P(A)=n()n(A)=1521=57(3)k70,75)的概率为314-3960=120，k75,80)的概率为315-3960=110，k80,85)的概率为316-3960=320，k85,90)的概率为0.4，k90,95)的概率为0.2，k95,100)的概率为0.1，k-=72.5120+77.51
28、10+82.5320+87.50.4+92.50.2+97.50.1=87【解析】(1)根据题意，k70,100)，按组距为5可分成6个小区间，根据题意可得n=14，15，16，17，18，19，分别算出每一组的频率，按照频率之和为1，再计算a的值(2)分别计算出k85,90)，k90,95)的频率，k95,100】的频率，利用按比列分配分层随机抽样抽取的7件产品中，k85,90)的有4件，分别记作A1，A2，A3，A4；k90,100)的有3件，分别记作B1，B2，B3，再利用列举法得从抽取的7件产品中任取2件产品，样本空间的个数，事件A=“随机抽取的2件产品中至少有一件A级品“个数，再由古
29、典概型公式，计算出P(A)(3)分别算出每一组的概率乘以各自组中值之和，即可得出答案本题考查统计与概率，解题中注意分层抽样，古典概型的应用，属于中档题22.【答案】解：()证明：P-ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，PD平面ABC，又AB平面ABC，则PDAB，又E为D在平面PAB内的正投影，DE平面PAB，又AB平面PAB，则DEAB，PDDE=D，PD、DE平面PDE，AB平面PDE，又PG平面PDE，则ABPG，又PA=PB，G是AB的中点；()在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PBP
30、A，PBPC，又EF/PB，所以EFPA，EFPC，又PAPC=P，PA、PC平面PAC，因此EF平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心由()知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=23CG由题设可得PC平面PAB，DE平面PAB，所以DE/PC，因此PE=23PG，DE=13PC由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=32，PE=22在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2所以四面体PDEF的体积V=13DESPEF=1321222=43【解析】本题考查几何体的体积计算以及线面垂直
31、的性质、判定，属于中档题()根据题意分析可得PD平面ABC，进而可得PDAB，同理可得DEAB，结合两者分析可得AB平面PDE，进而分析可得ABPG，又由PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明；()由线面垂直的判定方法可得EF平面PAC，可得F为E在平面PAC内的正投影由棱锥的体积公式计算可得答案23.【答案】解：(1)补充函数y=f(x-12)的图象关于原点对称，f(x)的图象相邻两条对称轴的距离为2，T2=2，即T=，=2T=2=2，f(x)=4sin(2x+)，f(x-12)=4sin2(x-12)+=4sin(2x+-6)，又函数y=f(x-12)的图象关于原点对称，-6=k,kZ，即
32、=6+k，又02，=6，f(x)的图象解析式为f(x)=4sin(2x+6)补充函数y=f(x)的图象关于直线x=23对称，f(x)的图象相邻两条对称轴的距离为2，T2=2，即T=，=2T=2=2，f(x)=4sin(2x+)，函数y=f(x)的图象关于直线x=23对称，sin(223+)=1，43+=2+k,kZ，=-56+k,kZ，又00，即x1函数f(x)的定义域为x|x1；(2)函数g(x)=f(x)+a，函数g(x)在(2,3)上有且仅有一个零点可得函数f(x)与函数y=-a在(2,3)上有且仅有一个交点；x(2,3)上，那么0f(x)1，又f(x)=log2(x-1)是单调递增函数，0-a1，故得实数a的取值范围-1a0，可得定义域；(2)由题意可得函数y=f(x)与函数y=-a在(2,3)上有且仅有一个交点可得实数a的取值范围；(3)函数y=h(x)在3,9内的最小值为4，利用换元法结合基本不等式即可求解m的值；本题考查了对数函数定义域的求解，基本不等式的性质以及函数零点的问题转化为交点问题属于基础题