1、模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线kx-y-1=0与直线x+2y-2=0的交点在第四象限,则实数k的取值范围为()A.-12,12B.-12,0C.12,+D.-,-12答案A解析联立kx-y-1=0,x+2y-2=0,解得x=41+2k,y=2k-11+2k,41+2k0且2k-11+2k0,-12k0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.233答案A解析双曲线的渐近线方程为bxay=0,圆心(2,0)到渐近
2、线距离为d=22-12=3,则点(2,0)到直线bx+ay=0的距离为d=|2b+a0|a2+b2=2bc=3,即4(c2-a2)c2=3,整理可得c2=4a2,双曲线的离心率e=c2a2=4=2.5.已知圆C1:x2+(y+m)2=2与圆C2:(x-m)2+y2=8恰有两条公切线,则实数m的取值范围是()A.(1,3)B.(-1,1)C.(3,+)D.(-3,-1)(1,3)答案D解析圆C1:x2+(y+m)2=2与圆C2:(x-m)2+y2=8恰有两条公切线,两圆相交.又C1圆心为(0,-m),半径为2,C2圆心为(m,0),半径为22,22|m|32,即1|m|3,解得-3m-1或1m0
3、,b0)的左、右焦点,A为双曲线的左顶点,以F1,F2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M,N两点(M在x轴上方,N在x轴下方),c为双曲线的半焦距,O为坐标原点.则下列说法正确的是()A.点N的坐标为(a,b)B.MAN90C.若MAN=120,则双曲线C的离心率为213D.若MAN=120,且AMN的面积为23,则双曲线C的方程为x23-y24=1答案BCD解析令渐近线方程为y=bax,代入圆x2+y2=c2=a2+b2,解得M(a,b),N(-a,-b),故A错误;由于A(-a,0),M(a,b),N(-a,-b),AM=(2a,b),AN=(0,-b),AMAN=-b290,故B正确;若
4、MAN=120,由余弦定理得4c2=(a+a)2+b2+b2-2(a+a)2+b2bcos120,化简得7a2=3c2,即e=ca=213,故C正确;由AMN的面积为23,得12ab2=23,再由a2+b2=c2,7a2=3c2,解得a=3,b=2,即有双曲线C的方程为x23-y24=1,故D正确.11.过抛物线y2=2px(p0)焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,作AC,BD垂直抛物线的准线l于C,D两点,其中O为坐标原点,则下列结论正确的是()A.AC+CD=BD-BAB.存在R,使得AD=AO成立C.FCFD=0D.准线l上任意一点M,都使得AMBM0答案ABC解析AC+CD=AD=B
5、D-BA,故A正确;设A(x1,y1),B(x2,y2),可得C-p2,y1,D-p2,y2,又直线OA的斜率kOA=y1x1=2py1,直线AD的斜率kAD=y1-y2x1+p2,设直线AB方程为x=my+p2,代入抛物线的方程,可得y2-2pmy-p2=0,可得y1y2=-p2,即有y1(y1-y2)=y12-y1y2=2px1+p2,则kOA=kAD,即存在R,使得AD=AO成立,故B正确;FCFD=(-p,y1)(-p,y2)=y1y2+p2=0,故C正确;由抛物线的定义可得|AB|=|AC|+|BD|,可得以AB为直径的圆的半径与梯形ACDB的中位线长相等,即该圆与CD相切,设切点为
6、M,即AMBM,则AMBM=0,故D不正确.12.(2021江苏海安检测)双纽线像数字“8”,不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美,同时也具有特殊的有价值的艺术美,是形成其他一些常见的漂亮图案的基石,也是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线C:(x2+y2)2=4(x2-y2)是双纽线,则下列结论正确的是()A.曲线C经过5个整点(横、纵坐标均为整数的点)B.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2C.曲线C关于直线y=x对称的曲线方程为(x2+y2)2=4(y2-x2)D.若直线y=kx与曲线C只有一个交点,则实数k的取值范围为(-,-11,+)答案BCD解析当y=0时,x4=4
7、x2,解得x=0或2或-2,即曲线过整点(0,0),(2,0),(-2,0),结合图像可知-2x2,令x=1,得y2=23-3,不是整点,曲线C共经过3个整点,故A错误;x2+y2=4(x2-y2)x2+y24,曲线C上任取一点P(x,y)到原点的距离d=x2+y22,故B正确;曲线C上任取一点M关于y=x的对称点为N,设N(x,y),则M(y,x),M在曲线C上,(x2+y2)2=4(y2-x2),故C正确;y=kx与曲线C一定有公共点(0,0),y=kx与曲线C只有一个公共点,则x4(1+k2)=4x2(1-k2),1-k20,k1或k-1,故D正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,
8、共20分.13.设向量a=(1,2,),b=(2,2,-1),若cos=49,则实数的值为.答案-1227或2解析因为向量a=(1,2,),b=(2,2,-1),所以ab=2+4-=6-,|a|=1+4+2=5+2,|b|=4+4+1=3.若cos=49,则ab|a|b|=6-5+23=49,化简得72+108-244=0,解得=-1227或=2,则实数的值为-1227或2.14.(2020浙江宁波期末)如图,在空间四边形OABC中,E,F分别是AB,BC的中点,H是EF上一点,且EH=14EF,记OH=xOA+yOB+zOC,则(x,y,z)=;若OAOB,OAOC,BOC=60,且|OA|
9、=|OB|=|OC|=1,则|OH|=.答案38,12,18308解析OH=OE+EH=OA+AE+14EF=OA+12AB+14(OF-OE)=OA+12(OB-OA)+1412(OB+OC-OA-OB)=38OA+12OB+18OC,(x,y,z)=38,12,18.OAOB,OAOC,BOC=60,且|OA|=|OB|=|OC|=1,OH2=38OA+12OB+18OC2=964|OA|2+14|OB|2+164|OC|2+21218cos60=964+14+164+116=3064,|OH|=308.15.(2021河北邢台检测)在ABC中,A,B分别是椭圆x2a2+y2b2=1(ab
10、0)的左、右焦点,点C在椭圆上,且ABC=30,(AB+AC)BC=0,则该椭圆的离心率为.答案3-12解析如图,作平行四边形ABEC,由(AB+AC)BC=0,得AEBC,故|AC|=|AB|=2c.又ABC=30,|BC|=22csin60=23c.由椭圆的定义知2a=|AC|+|BC|=2(1+3)c,故a=(3+1)c,离心率e=ca=13+1=3-12.16.(2020山东临沂期末)如图,光线从P(a,0)(a0)出发,经过直线l:x-3y=0反射到Q(b,0),该光线又在Q点被x轴反射,若反射光线恰与直线l平行,且b13,则实数a的最小值是.答案5解析设点P关于直线l的对称点P(m
11、,n),直线l的斜截式方程y=13x,所以0+n2=13a+m2,n-0m-a13=-1,解得m=45a,n=35a,所以点P45a,35a.根据两点式得到直线PQ的方程为y-035a-0=x-b45a-b,整理可得3ax-(4a-5b)y-3ab=0.因为反射光线恰与直线l平行,所以3a4a-5b=-13,所以a=513b.又因为b13,所以a5,则a的最小值是5.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2020安徽黄山期末)圆心为C的圆经过点A(-4,1),B(-3,2),且圆心C在直线l:x-y-2=0上.(1)求圆C的标准方程;(2
12、)过点P(3,-1)作直线m交圆C于M,N两点且|MN|=8,求直线m的方程.解(1)由已知直线AB的斜率kAB=1,AB中点坐标为-72,32,所以AB垂直平分线的方程为x+y+2=0.则由x+y+2=0,x-y-2=0,解得x=0,y=-2,所以圆心C(0,-2),因此半径r=|AC|=5,所以圆C的标准方程为x2+(y+2)2=25.(2)由|MN|=8可得圆心C到直线m的距离d=52-42=3,所以当直线m斜率不存在时,其方程为x=3,即x-3=0;当直线m斜率存在时,设其方程为y+1=k(x-3),则d=|-3k+1|k2+1=3,解得k=-43,此时其方程为4x+3y-9=0.所以
13、直线m的方程为x-3=0或4x+3y-9=0.18.(12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点.(1)借助向量证明平面A1BD平面B1CD1;(2)借助向量证明MN平面A1BD.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),B1(2,2,2),C(0,2,0),D1(0,0,2),设平面A1BD的法向量为m=(x,y,z),DA1=(2,0,2),DB=(2,2,0),DA1m=0,DBm=0,即2x+2z=0,2x+2y=0,令x=-1,则平面A1BD的一个法向量m=(-1,1,
14、1).同理平面B1CD1的一个法向量为n=(-1,1,1),mn,平面A1BD平面B1CD1.(2)M,N分别为AB,B1C的中点,M(2,1,0),N(1,2,1),MN=(-1,1,1),MNm,MN平面A1BD.19.(12分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=6,点E,F分别在AD,BC上,且AE=1,BF=4,沿EF将四边形AEFB折成四边形AEFB,使点B在平面CDEF上的射影H在直线DE上.(1)求证:平面BCD平面BHD;(2)求证:AD平面BFC;(3)求直线HC与平面AED所成角的正弦值.(1)证明在矩形ABCD中,CDDE,点B在平面CDEF上的射影为H,则BH平面
15、CDEF,且CD平面CDEF,BHCD.又BHDE=H,CD平面BHD.又CD平面BCD,平面BCD平面BHD.(2)证明AEBF,AE平面BFC,BF平面BFC,AE平面BFC.由DEFC,同理可得DE平面BFC.又AEDE=E,平面AED平面BFC,AD平面BFC.(3)解如图所示,过点E作ERDC,过点E作ES平面EFCD,分别以ER,ED,ES为x,y,z轴建立空间直角坐标系.B在平面CDEF上的射影H在直线DE上,设B(0,y,z)(y0,z0).F(3,3,0),且BE=10,BF=4,y2+z2=10,9+(y-3)2+z2=16,解得y=2,z=6,B(0,2,6),FB=(-
16、3,-1,6),EA=14FB=-34,-14,64.又ED=(0,5,0),设平面ADE的法向量为n=(a,b,c),则有nEA=0,nED=0,即-3a-b+6c=0,5b=0,解得b=0,令a=1,得平面ADE的一个法向量为n=1,0,62.又C(3,5,0),H(0,2,0),CH=(-3,-3,0),直线HC与平面AED所成角的正弦值为sin=|cos|=|CHn|CH|n|=|-3+0+0|1+0+649+9+0=55.20.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在抛物线C上,点A(-2p,0).若当MFx轴时,MAF的面积为5.(1)求抛物线C的方程;(2)
17、若MFA+2MAF=,求点M的坐标.解(1)当MFx轴时,点Mp2,p,Fp2,0,则|AF|=p2+2p=5p2,|MF|=p,SMAF=12|AF|MF|=125p2p=5,解得p=2,抛物线方程为y2=4x.(2)设M(x0,y0),由(1)可知A(-4,0),F(1,0),|AF|=5.MFA+2MAF=,在FAM中,有MFA+MAF+AMF=,MAF=AMF,|FA|=|FM|.又|MF|=x0+p2=x0+1,x0+1=5,x0=4,y0=4.故点M的坐标为(4,4)或(4,-4).21.(12分)(2021江苏南通模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是等腰梯形,AB
18、DC,BC=CD=2,AB=4.M,N分别是AB,AD的中点,且PDNC,平面PAD平面ABCD.(1)证明:PD平面ABCD;(2)已知三棱锥D-PAB的体积为23,求平面PNC与平面PNM的夹角的大小.(1)证明连接DM,则DCBM且DC=BM,所以四边形BCDM为平行四边形,所以DMBC且DM=BC,所以AMD是等边三角形,所以MNAD.因为平面PAD平面ABCD,且平面PAD平面ABCD=AD,所以MN平面PAD.因为PD平面PAD,所以PDMN.又因为PDNC,且MNNC=N,MN平面ABCD,NC平面ABCD,所以PD平面ABCD.(2)解连接BD,则BDMN,所以BDAD,BDP
19、D.在RtDAB中,DA2+DB2=AB2,又AD=2,AB=4,所以DB=23,故DAB的面积为SDAB=12DADB=23.由等体积法可得VD-PAB=VP-DAB=13PDSDAB=13PD23=23,所以PD=33.建立空间直角坐标系如图所示,则D(0,0,0),N(1,0,0),C(-1,3,0),M(1,3,0),P0,0,33,所以PN=1,0,-33,NC=(-2,3,0),NM=(0,3,0).设平面PNC的法向量为n=(x,y,z),则有PNn=0,NCn=0,即x-33z=0,-2x+3y=0,令x=1,则y=233,z=3,所以平面PNC的一个法向量n=1,233,3.
20、设平面PNM的法向量为m=(a,b,c),则有PNm=0,NMm=0,即a-33c=0,3b=0,解得b=0,令a=1,则c=3,所以平面PNM的一个法向量m=(1,0,3).所以nm=1+3=4,|n|=433,|m|=2,所以|cos|=|nm|n|m|=44332=32,则平面PNC与平面PNM的夹角的大小为30.22.(12分)(2020江苏镇江期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点P(2,1),且离心率为32,直线l与椭圆交于A,B两点,线段AB的中点为M.(1)求椭圆C的方程;(2)若APB的角平分线与x轴垂直,求PM长度的最小值.解(1)因为椭圆经过点P,且离心
21、率为32,所以22a2+12b2=1,ca=32,其中a2=b2+c2,解得a2=8,b2=2,所以椭圆的方程为x28+y22=1.(2)因为APB的角平分线与x轴垂直,所以直线PA的斜率与直线PB的斜率互为相反数.设直线PA的斜率为k(k0),则直线PA的方程为y=k(x-2)+1,设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=k(x-2)+1,x28+y22=1,得(1+4k2)x2+8k(1-2k)x+16k2-16k-4=0,所以2x1=16k2-16k-41+4k2,即x1=8k2-8k-21+4k2,y1=k8k2-8k-21+4k2-2+1=-4k2-4k+11+4k2,即A8k2-8k-21+4k2,-4k2-4k+11+4k2,同理可得B8k2+8k-21+4k2,-4k2+4k+11+4k2,则M在直线x+2y=0上,所以PM的最小值为P到直线x+2y=0的距离,即d=|2+2|5=455,此时M65,-35在椭圆内,所以PM的最小值为455.