1、习题课 基本不等式的应用 课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021 江苏南京高一期末)设实数 x 满足 x0,函数 y=2+3x+4+1的最小值为()A.43-1B.43+2C.42+1D.6答案 A解析x0,x+10,y=2+3x+4+1=2+3(x+1)-3+4+1=3(x+1)+4+1-123(+1)4+1-1=43-1,当且仅当 3(x+1)=4+1,即 x=233-10 时,等号成立,函数 y=2+3x+4+1的最小值为 43-1.故选 A.2.(2020 辽宁凤城高一期中)已知 a0,b0,a+b=-2,则 y=1+1的最大值为()A.-1B.-32C.-4D.-2答案 D解析 a
2、0,b0,b0,且 a2+b2=1,则()A.a+b2B.a+b12C.a+b2D.12+124答案 AD解析因为(a+b)2=a2+b2+2ab=1+2ab1+(a2+b2)=2(当且仅当 a=b 时,等号成立),又 a0,b0,则 a+b2,故 A 正确;12+12=2+22+2+22=1+22+22+12+222 22=2+2=4,当且仅当22=22,即 a=b 时,等号成立,故 D 正确.故选 AD.4.一批救灾物资随 51 辆汽车从某市以 v km/h 的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长 400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于2800 km,那么这批物资全部到达灾区最少
3、需要 h.答案 10解析当最后一辆汽车出发,第一辆汽车行驶50 2800=16h,最后一辆车驶完全程共需要400 h,所以一共需要400+16 h,由基本不等式,得400+162400 16=10,故最少需要 10h.5.已知 a,b 都是正数,满足 2a+b=3,则+2 的最小值为 .答案 3解析a,b 都是正数,满足 2a+b=3,则+2=1+2=13(2a+b)2+1=13 5+2+213(5+4)=3,当且仅当2=2 且 2a+b=3,即 a=b=1 时,+2 取得最小值 3.6.已知正数 a,b,x,y 满足 a+b=10,+=1,x+y 的最小值为 18,求 a,b 的值.解 x+
4、y=(x+y)(+)=a+b=10+.因为 x,y0,a,b0,所以 x+y10+2=18,即=4.当且仅当=时,等号成立.又 a+b=10,所以=2,=8 或 =8,=2.7.运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米,按交通法规限制 50 x100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升 6 元,而汽车每小时耗油 2+2360 升,司机的工资是每小时 14 元.(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式;(2)当 x 为何值时,这次行车的总费用最低?并求出最低费用的值.解(1)设所用时间为 t=130 小时,则 y=130 6(2+2360)+14130,50 x100.所
5、以,这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是 y=3380+136 x,50 x100.(2)y=3380+136 x263 390,当且仅当3380=136 x,即 x=2390时,等号成立.又 23900,b0,且 2a+b=1,若不等式2+1m 恒成立,则 m 的最大值等于()A.10B.9C.8D.7答案 B解析2+1=2+1(2a+b)=5+2+2 5+22 2=9,当且仅当2=2,即 a=b=13时,等号成立.所以2+1的最小值为 9,又因为2+1m 恒成立,所以 m9,即 m 的最大值为 9.9.(2021 浙江温州高一期末)已知正数 a,b 满足 a+b=1,则41-+1-的最
6、小值是()A.1B.2C.4D.8答案 C解析因为正数 a,b 满足 a+b=1,则41-+1-=4+24=4,当且仅当4=,即 b=2a=23时,等号成立.故41-+1-的最小值是 4,故选 C.10.(2021 云南师大附中高三期末)如果两个正方形的边长之和为 1,那么它们的面积之和的最小值是()A.14B.12C.1D.2答案 B解析设两个正方形的边长分别为 x,y,则 x0,y0,且 x+y=1,由基本不等式可得 x2+y22xy,所以 2(x2+y2)x2+y2+2xy=(x+y)2=1,所以 x2+y212,当且仅当 x=y=12时,等号成立,因此,两个正方形的面积之和 x2+y2
7、的最小值为12.故选 B.11.(多选题)(2021 浙江湖州高一期末)已知 a0,b0.若 4a+b=1,则()A.14+1的最小值为 9B.1+1的最小值为 9C.(4a+1)(b+1)的最大值为94D.(a+1)(b+1)的最大值为94答案 BC解析由题得,14+1=(14+1)(4a+b)=2+4+4 2+2 4 4=4,当4=4,即 b=4a 且 4a+b=1 时,等号成立,故14+1的最小值是 4,故 A 不正确;1+1=(1+1)(4a+b)=5+4 5+2 4=9,当=4,即 b=2a 且 4a+b=1 时,等号成立,1+1的最小值为 9,故 B 正确;(4a+1)(b+1)(
8、4+1)+(+1)22=94,当 4a+1=b+1,即 b=4a=12时,等号成立,故 C 正确;(a+1)(b+1)=14(4a+4)(b+1)14(4+4)+(+1)22=94,当且仅当 4a+4=b+1 时,等号成立,又因为4a+b=1,因此当 a=-14,b=2 时,等号成立,但 a0,所以等号不能成立,故 D 不正确.故选 BC.12.设函数 y=x+(a0).(1)若 a=1,求当 x0 时,函数 y 的最小值为 ;(2)当 x2 时,该函数存在最小值,则满足条件的一个 a 的值为 .答案(1)2(2)5(答案不唯一,只要 a4 即可)解析(1)当 a=1 时,由基本不等式得 x+
9、121=2,当且仅当 x=1,即 x=1 时等号成立,故最小值为 2.(2)由基本不等式得 x+2=2,当且仅当 x=,x=时等号成立,故2,即 a4.填 a4的任意一个 a 都符合题意.13.对任意 m,n 为正实数,都有 m2-amn+2n20,则实数 a 的最大值为 .答案 22解析m,n 为正实数,都有 m2-amn+2n20,m2+2n2amn,即 a2+22=+2恒成立.+22 2=22,a22,即最大值为 22.14.经观测,某公路段在某时段内的车流量 y(单位:千辆/时)与汽车的平均速度 v(单位:千米/时)之间有如下关系:y=9202+3+1600(v0).在该时段内,当汽车
10、的平均速度 v 为 时车流量 y 最大,最大车流量为 千辆/时(精确到 0.01).答案 40 11.08解析 y=9202+3+1600=920+1600+392021600+3=92083 11.08.当 v=1600,即 v=40 千米/时,车流量最大,最大值为 11.08 千辆/时.新情境创新练15.中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措,作为中欧铁路在东北地区的始发站,沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为 3 米,底面积为 12 平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无需建造费用,
11、因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米 400 元,左右两面新建墙体报价为每平方米 150 元,屋顶和地面以及其他报价共计 7 200 元.设屋子的左右两侧墙的长度均为 x 米(2x6).(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为900(1+)元(a0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求 a 的取值范围.解(1)设甲工程队的总造价为 y 元,则 y=3 1502x+40012+7200=900 x+16+7200(2x6),900 x+16+7200900216+7200=14400.当且仅当 x=16,即 x=4 时,等号成立.即当左右两面墙的长度为 4米时,甲工程队的报价最低为 14400 元.(2)由题意可得,当 2x6 时,900 x+16+7200900(1+)恒成立,即(+4)2(1+),a(+4)2+1=(x+1)+9+1+6,又 x+1+9+1+62(+1)9+1+6=12,当且仅当 x+1=9+1,即 x=2 时,等号成立.a 的取值范围为a|0a12.
