1、辽宁省本溪满族自治县高级中学2020届高三数学模拟考试试题 文（含解析）第卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出集合M，再比较两个集合之间的关系即可得答案.【详解】解：由，得，所以集合，因为，所以，故选：B【点睛】此题考查两个集间的关系，属于基础题.2. 已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数为纯虚数，列方程求出的值，进而可得复数的虚部.【详解】由已知，解得，故，其虚部为，故选：D.【点睛】本题考查复数的概念，注意纯虚数为
2、实部为0，虚部不为0，是基础题.3. 已知条件，条件，则是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先由条件得到，再根据不等式的性质得到；再由举反例，结论成立，不一定条件成立，即得答案.【详解】因为，所以，所以，充分性成立，若，则，但不满足，必要性不成立因此是的充分不必要条件 故选：【点睛】本题主要考查充分条件、不等式的性质，可以先由条件推结论，看是否成立，再由结论推条件，看是否成立，即证充分性，又要证必要性.4. 已知函数（）的最小正周期为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】可以把绝对值符号里面式
3、子化为一个角的一个三角函数形式，然后计算周期可求得【详解】由已知，故选：A【点睛】本题考查求函数的周期，对于或，的周期是周期的一半，但若，的周期与的周期相同5. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据抛物线定义，到焦点的距离等于其到准线的距离，代入数据即可求解.【详解】由抛物线的方程可得其准线方程为，根据抛物线的定义可得到焦点的距离等于其到准线的距离，故，解得，故选：A.【点睛】本题考查抛物线的定义及应用，属基础题.6. 九章算术中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用算法流程图表示如图，若输入a15，b12
4、，i0，则输出的结果为（ ）A. a4，i4B. a4，i5C. a3，i4D. a3，i5【答案】D【解析】【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前a，b，i的值，即可得到结论【详解】解：模拟执行程序框图，输入a15，b12，i0，i0+11，ab，a15123，i1+12，ab，b1239，i2+13，ab，b936，i3+14，ab，b633，i4+15，ab3，输出a3，i5，故选：D【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步，考查计算能力，属于中等题.7. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析
5、】先求函数的定义域，再判断其奇偶性，然后取特殊值即可得答案.【详解】解：函数的定义域为，因为所以为奇函数，因此排除A,C因为，所以排除B故选：D【点睛】此题考查函数图像的识别，主要利用了函数的奇偶性和取特殊值进行判断，属于基础题.8. 数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比的近似值,黄金分割比还可以表示成,则( ).A. 4B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】把代入中，然后结合同角三角函数基本关系式与倍角公式化简求值.【详解】解：由题可知，所以.则.故选：C.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查同角三角函数基本关系式与倍角公式
6、的应用，是基础题9. 设、为两个不重合的平面，能使/成立的是（ ）A. 内有无数条直线与平行B. 内有两条相交直线与平行C. 内有无数个点到的距离相等D. 、垂直于同一平面【答案】B【解析】【分析】应用几何体特例，如立方体可排除相关选项；而由面面平行的判定可知B正确【详解】应用立方体，如下图所示：选项A：内有无数条直线可平行于l，即有无数条直线与平行，但如上图与可相交于l，故A不一定能使/成立；选项B：由面面平行的判定，可知B正确选项C：在内有一条直线平行于l，则在内有无数个点到的距离相等，但如上图与可相交于l，故C不一定能使/成立；选项D：如图，但与可相交于l，故D不一定能使/成立；故选：B
7、【点睛】本题考查了面面平行的判定，应用特殊与一般的思想排除选项，属于简单题10. 已知为的外接圆的圆心，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意首先结合平面向量数量积的运算法则确定的大小，然后建立平面直角坐标系，结合向量的运算法则求得的值即可确定的值.【详解】由题意可得：，且，AOB=90. 如图所示，建立平面直角坐标系，设，由可知：，则：，则.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，向量垂直的充分必要条件，由平面向量求解角度值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11. 已知双曲线的离心率为，为坐标原点，过右焦点的直线与的两条渐近线的
8、交点分别为、，且为直角三角形，若，则的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的离心率得出，可得，由为直角三角形可得出直线的方程，求出点的坐标，可得出、，再由可求得、的值，进而可得出双曲线的方程.【详解】由于双曲线的离心率为，可得，设点、分别为直线、上的点，且，则直线的方程为，联立，解得，所以点，则，易知，所以，解得，因此，双曲线的方程为.故选：C.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，要结合题意得出关于、的方程组，考查计算能力，属于中等题.12. 已知函数，过点的直线与的图象有三个不同的交点，则直线斜率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【
9、分析】设直线的斜率为，方程为，由题意可得有三个不等的实根，显然是其中的一个根，则有两个不等的实根，且，由判别式大于，可得所求范围【详解】函数，可得，设直线l的斜率为，方程为，由题意可得有三个不等的实根，显然是其中的一个根，则有两个不等的实根，且，即，由的，可得，解得，则的范围是.故选：B【点睛】本小题主要考查根据方程的根、函数图象的交点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.第卷（非选择题）本卷包括必考题和选考题两部分，第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答，第2223题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：13. 某高校有10000名学生，其中女生3000名，男生7000名为调查爱
10、好体育运动是否与性别有关，用分层抽样的方法抽取120名学生，制成独立性检验的列表如下，则_（用数字作答） 男女合计爱好体育运动9不爱好体育运动28合计120【答案】【解析】【分析】由分层抽样求出抽取的男生和女生的人数后可计算出【详解】由题意抽取的男生人数为，抽取的女生人数是，所以，从而故答案为：29【点睛】本题考查分层抽样，掌握分层抽样的概念是解题关键分层抽样中样本的比例与总体的比例相同14. 已知某不规则几何体三视图如图，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该几何体的侧面积为_【答案】【解析】【分析】首先把三视图转化为直观图，由一个三棱锥体和个圆锥组成的几何体，然后再求几何体的侧面积.【详解】由几何
11、体的三视图转换为直观图为：由一个三棱锥体和个圆锥组成的几何体，如图所示：所以该几何体的侧面积为.故答案为：【点睛】本题考查根据三视图求几何体的侧面积、锥体的侧面积，属于基础题.15. 过点作曲线（）的切线，则切点坐标为_【答案】【解析】【分析】先求出曲线的方程，再根据导数值为切线斜率，求出切点坐标.【详解】由（），则，化简得，则，设切点，显然不在曲线上，则，得，则切点坐标为.故答案为：.【点睛】本题考查了过一点的曲线的切线问题，导数值为切线斜率是解决此类问题的关键，属于基础题.16. 在ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，设ABC的面积为S，若，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】由
12、可得，然后，然后，即可得到答案.【详解】ABC中，所以；所以，当且仅当即时等号成立，因为所以当时取得最大值，故答案为：【点睛】本题考查的是正余弦定理、三角形的面积公式、平面向量的数量积的定义及利用基本不等式求最值，考查了学生的转化能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22-23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：17. 已知数列的前项和（1）求数列的通项公式；（2）已知成等比数列，求值；（3）若，求数列的前项和【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用求数列的通项公式；（2）由成等比数列，得，然后把
13、（1）得到的通项代入可求出的值；（3）将（1）得到的代入可得数列的通项，然后利用裂项相消法可求出.【详解】解：（1）当时， 当时，也满足，故. （2），成等比数列， ，. （2）由（1）可得，.【点睛】此题考查的是由数列的前项和求数列的通项公式，等比中项，裂项相消求和法等知识，属于中档题.18. 某快餐连锁店，每天以每份5元的价格从总店购进早餐，然后以每份10元的价格出售，当天不能出售的早餐立即以1元的价格被总店回收进行环保处理该快餐连锁店记录了100天早餐的销售量（单位：份），整理得如表：日销售量253035404550频数10162824148如果这个早餐店每天购入40份早餐，完成下列问题
14、：（1）写出每天获得利润y与销售早餐份数x（）的函数关系式；（2）估计每天利润不低于150元的概率；（3）估计该快餐店每天的平均利润【答案】（1）；（2）；（3）159.5元.【解析】分析】（1）当时，当天剩余早餐份，利润为元；当时，当天早餐全部售出，利润200元，可得函数解析式；（2）根据（1）中函数关系式和题中的表格，求出每天所获利润，用频率估计概率，即得答案；（3）每天的利润相应的频率的和，即为每天的平均利润【详解】（1），即.（2）根据（1）中函数关系完成如下统计表：日销售量253035404550频数10162824148每天利润65110155200200200所以每天利润不低于1
15、50元的概率为.（3），所以该快餐店每天的平均利润为159.5元.【点睛】本题考查概率与统计，属于中档题.19. 如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，（1）证明：平面平面；（2）若，求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由平面得，从而结合已知证得线面垂直后可得面面垂直；（2）由是中点，得，从而可求得的长，取中点，连结，可证平面，这样由可得体积【详解】解：（1）在长方体中，因为平面，平面，所以，又，且平面，平面，所以平面； 又因为平面，所以平面平面. （2）设长方体侧棱长为，则，由（1）可得；所以，即，又，所以，即，解得. 取中点，连结，因为，则，所以平面， 所以
16、.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查求棱锥的体积，掌握面面垂直、线面垂直、线线垂直间的转化是解题关键20. 已知椭圆，四点，中恰有三个点在椭圆上，左、右焦点分别为、（1）求椭圆的方程；（2）过左焦点且不与坐标轴平行的直线交椭圆于、两点，若线段的垂直平分线交轴于点，求的最小值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用椭圆的对称性确定在椭圆上的三点，由椭圆的上顶点可求出a，点或的坐标代入椭圆求出b，即可写出椭圆的方程；（2）联立直线的方程与椭圆方程得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之和与两根之积，即可利用弦长公式求出，求出点N的坐标即可写出直线的垂直平分线的方程，令求出，代入得到
17、关于k的分式，利用基本不等式可求得最小值.【详解】（1）易知，关于轴对称，一定都在椭圆上，所以一定不在椭圆上，根据题意也在椭圆上，则，将代入椭圆方程得，所以椭圆方程为.（2）由知椭圆的左焦点,设直线的方程为（），的中点为.联立，可得，则，所以，点，垂直平分线方程为：，令，求得，则，所以，当且仅当即时取等号，因此，当，取最小值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与椭圆的综合应用，涉及弦长公式、基本不等式求和的最小值，属于较难题.21. 已知函数（1）讨论的单调区间与极值；（2）已知函数的图象与直线相交于，两点（），证明：【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）证明见解析【解析】【分
18、析】（1）求出导函数，利用确定增区间，确定减区间，从而可得极值；（2）由（1）知只有在且即时，函数的图象与直线才有两个交点，由得，可得，同时由消去参数，并设，都可用表示，要证不等式，只要证，即，只要证，引入新函数利用导数的知识可证【详解】解：（1）， 当时，此时在上单调递增，无极值； 当时，由，得.所以时，单调递减；时，单调递增. 此时函数有极小值为，无极大值. （2）由题设可得，所以， 且由（1）可知，.，同理，由，可知，所以.由，得， 作差得设（），由，得，所以，即，所以， 要证，只要证，即，只要证.设（）， 则.所以在单调递增，. 所以.【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间和极值，证明
19、与方程根有关的不等式考查转化与化归思想对于与方程的解有关的不等式问题，关键是引入新参数，如，象本题，此时的范围是确定的，如、等等，接着关键是把用表示（可用消参法建立关系），要证的不等式就变为关于的不等式，引入新函数后应用导数知识证明【选修44坐标系与参数方程】22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为sin2（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）曲线C2上两点与点B（2，），求OAB面积的最大值【答案】（1）x2+（y1）21（y0）（2）【解析】【分析】（1）设出的极坐标，然后由题
20、意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为;（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为.【详解】解：（1）设P的极坐标为（，）（0），M的极坐标为（0，）（00）由题设知|PO|，由4，得，所以C2极坐标方程2sin（0），因此C2的直角坐标方程为x2+（y1）21（y0）（2）依题意：，|OB|22sin于是OAB面积：S当时，S取得最大值所以OAB面积的最大值为【点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解
21、，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.【选修45：不等式选讲】23. 已知a，b，c均为正数，设函数f（x）|xb|x+c|+a，xR（1）若a2b2c2，求不等式f（x）3的解集；（2）若函数f（x）的最大值为1，证明：【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据a2b2c2时，将不等式f（x）3化为|x1|x+1|1，然后利用零点分段法解不等式即可；（2）根据条件利用绝对值三角不等式，可得a+b+c1，然后利用柯西不等式，即可证明【详解】（1）当a2b2c2时，a2，bc1不等式f（x）3化为|x1|x+1|1，当x1时，原不等式化为1x+1+x1，解集为；当1x1时，原不等式化为1xx11，解得；当x1时，原不等式化为x1x11，解得x1，不等式f（x）3的解集为（2）又a，b，c0， 当且仅当，即时等号成立，【点睛】本题主要考查绝对值不等式的求解，柯西不等式的应用，属于中档题.