1、教学设计 1.3.1 单调性与最大(小)值第 1 课时整体设计教学目标1使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法2通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力3通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程重点难点教学重点：函数单调性的概念、判断及证明教学难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性教学方法教师启发讲授，学生探究学习教学手段
2、计算机、投影仪教学过程创设情境，引入课题课前布置任务：(1)由于某种原因，2008 年北京奥运会开幕式时间由原定的 7 月 25 日推迟到 8 月 8 日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到 8 月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大型国际体育赛事下图是北京市某年 8 月 8 日一天 24 小时内气温随时间变化的曲线图图 1引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考问题：观察图形，能得到什么信息？预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到
3、；(2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小【设计意图】由生活情境引入新课，激发兴趣归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中时同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义1借助图象，直观感知问题 1：分别作出函数 yx2，yx2，yx2，y1x的图象，并且观察自变量变化时，函数值有
4、什么变化规律？图 2预案：(1)函数 yx2 在整个定义域内 y 随 x 的增大而增大；函数 yx2 在整个定义域内 y 随 x 的增大而减小(2)函数 yx2 在上为增函数若函数 f(x)在区间(1,2和(2,3)上均为增函数，则函数 f(x)在区间(1,3)上为增函数因为函数 f(x)1x在区间(，0)和(0，)上都是减函数，所以 f(x)1x在(，0)(0，)上是减函数通过判断题，强调三点：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)函数
5、在定义域内的两个区间 A，B 上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在 AB 上是增(或减)函数思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？【设计意图】让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识掌握证法，适当延展【例】证明函数 f(x)x2x在(2，)上是增函数1分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流证明：任取 x1，x2(2，)，且 x1x2，设元f(x1)f(x2)x12x1 x22x2 求差(x1x2)2x12x2(x1x2)2(x2x1)x1x2(x1x2)1 2x1x2(x1x2)x1x22
6、x1x2，变形 2x1x2，x1x20，x1x22，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，断号函数 f(x)x2x在(2，)上是增函数定论2归纳解题步骤引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论练习：证明函数 f(x)x在(1)使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用(2)启发学生学会分析问题、认识问题和创造性地解决问题2过程与方法(1)通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育(2)探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确3情感、态度与价值观理性描述生活中的最大(小)、最多(少)等现象重点难点教学重点：函数最大(小)值
7、的定义和求法教学难点：如何求一个具体函数的最值教学过程导入新课思路 1某工厂为了扩大生产规模，计划重新建造一个面积为 10 000 m2 的矩形新厂址，新厂址的长为 x m，则宽为10 000 xm，所建围墙 y m，假如你是这个工厂的厂长，你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地，使得新厂址的围墙 y 最短？学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数 y2x10 000 x，x0 的最小值引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的那么什么是函数的最值呢？这就是我们今天学习的课题用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求
8、函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题思路 2画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？f(x)x3；f(x)x3，x；f(x)x22x1；f(x)x22x1，x学生回答后，教师引出课题：函数的最值推进新课新知探究 提出问题 (1)如图 4 所示是函数 yx22x、y2x1，x上的最大值和最小值活动：先思考或讨论，再到黑板上书写当学生没有解题思路时，才提示：图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值利用变换法画出函数 y 2x1的图象
9、，只取在区间上的部分观察可得函数的图象是上升的解：设 2x1x26，则有f(x1)f(x2)2x112x212(x21)(x11)(x11)(x21)2(x2x1)(x11)(x21).2x1x26，x2x10，(x11)(x21)0.f(x1)f(x2)，即函数 y 2x1在区间上是减函数当 x2 时，函数 y 2x1在区间上取得最大值 f(2)2；当 x6 时，函数 y 2x1在区间上取得最小值 f(6)25.变式训练1求函数 yx22x(x)的最大值和最小值解：最大值是 f(3)15，最小值是 f(1)1.2函数 f(x)x42x21 的最小值是_解析：(换元法)转化为求二次函数的最小值
10、设 x2t，yt22t1(t0)，又当 t0 时，函数 yt22t1 是增函数，则当 t0 时，函数 yt22t1(t0)取最小值1.所以函数 f(x)x42x21 的最小值是1.答案：13画出函数 yx22|x|3 的图象，指出函数的单调区间和最大值分析：函数的图象关于 y 轴对称，先画出 y 轴右侧的图象，再对称到 y 轴左侧合起来得函数的图象；借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间解：函数图象如图 6 所示图 6由图象得，函数的图象在区间(，1)和上是上升的，在和(1，)上是下降的，最高点是(1,4)，故函数在(，1)，上是增函数；函数在，(1，)上是减函数，最大值是4.点评：本题主
11、要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法求函数的最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种方法适用于做解答题单调法求函数最值：先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：如果函数 yf(x)在区间(a，b上单调递增，在区间上单调递减，在区间b，c)上单调递增，则函数 yf(x)在 xb 处有最小值 f(b).例 2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂如果烟花距地面的高度 h m 与时间 t s 之间的关系为 h(t)4.9t214.7t18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多
12、少？(精确到 1 m)活动：可以指定一位学生到黑板上书写，教师在下面巡视，并及时帮助做错的学生改错并对学生的板书及时评价将实际问题最终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值“烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当 t 取什么值时函数h(t)4.9t214.7t18 取得最大值；“这时距地面的高度是多少(精确到 1 m)”就是函数 h(t)4.9t214.7t18 的最大值；转化为求函数 h(t)4.9t214.7t18 的最大值及此时自变量t 的值解：作出函数 h(t)4.9t214.7t18 的图象，如图 7 所示，图 7显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，
13、顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度由二次函数的知识，对于函数 h(t)4.9t214.7t18，我们有：当 t14.72(4.9)1.5 时，函数有最大值 h4(4.9)1814.724(4.9)29.即烟花冲出后 1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是 29 m.点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力解应用题的步骤是：审清题意读懂题；将实际问题转化为数学问题来解决；归纳结论注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合变式训练1把长为 12 厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个
14、正三角形面积之和的最小值是()A32 3cm2 B4 cm2 C3 2cm2 D2 3cm2解析：设一个三角形的边长为 x cm，则另一个三角形的边长为(4x)cm，两个三角形的面积和为 S，则 S 34 x2 34(4x)2 32(x2)22 32 3.当 x2 时，S 取最小值 2 3cm2.故选 D.答案：D2某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为 8 元的商品按 10 元一件的价格出售时，每天可销售 60 件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨 1 元，其销售量就要减少 10 件，问该商品售价定为多少时才能赚取最大利润，并求出最大利润分析：设未知
15、数，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答利润(售价进价)销售量解：设商品售价定为 x 元时，利润为 y 元，则 y(x8)1010(x12)2160(10 x16)，当且仅当 x12时，y 有最大值 160 元，即售价定为 12 元时可获最大利润 160 元.知能训练课本本节练习 5.【补充练习】某厂 2013 年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与去年促销费 m(万元)(m0)满足 x32m1.已知 2013 年生产的固定投入为 8 万元，每生产1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格
16、定为每件产品平均成本的 1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将 2013 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费 m(万元)的函数；(2)求 2013 年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？分析：(1)年利润销售价格年销售量固定投入促销费再投入，销售价格1.5每件产品平均成本；(2)利用单调法求函数的最大值解：(1)每件产品的成本为816xx元，故 2013 年的利润为y1.5816xxx(816xm)48xm4832m1 m28 16m1m(万元)(m0)(2)可以证明当 0m3 时，函数 y28 16m1m 是增函数，当 m3 时，函数 y2816m1m 是减函数
17、，所以当 m3 时，函数 y28 16m1m 取最大值 21 万元拓展提升问题：求函数 y1x2x1的最大值解：(方法一)利用计算机软件画出函数的图象，如图 8 所示，故图象最高点是12，43.图 8则函数 y1x2x1的最大值是43.(方法二)函数的定义域是 R，可以证明当 x12时，函数 y1x2x1是增函数；当 x12时，函数 y1x2x1是减函数则当 x12时，函数 y1x2x1取最大值43，即函数 y1x2x1的最大值是43.(方法三)函数的定义域是 R，由 y1x2x1，得 yx2yxy10.xR，关于 x 的方程 yx2yxy10 必有实数根当 y0 时，关于 x 的方程 yx2
18、yxy10 无实数根，即 y0 不属于函数的值域当 y0 时，则关于 x 的方程 yx2yxy10 是一元二次方程，则有(y)24y(y1)0.0y43.函数 y1x2x1的最大值是43.点评：方法三称为判别式法，形如函数 yax2bxcdx2exf(d0)，当函数的定义域是 R(此时e24df0)时，常用判别式法求最值，其步骤是：把 y 看成常数，将函数解析式整理为关于x 的方程的形式 mx2nxk0；分类讨论 m0 是否符合题意；当 m0 时，关于 x 的方程 mx2nxk0 中有 xR，则此一元二次方程必有实数根，得 n24mk0，得关于 y 的不等式，解不等式组n24mk0，m0.此不
19、等式组的解集与中 y 的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值课堂小结本节课学习了：(1)函数的最值；(2)求函数最值的方法：图象法，单调法，判别式法；(3)求函数最值时，要注意函数的定义域作业课本习题 1.3A 组 5,6.设计感想为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下措施：1在探索概念阶段，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对函数最值定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入2在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用图象和单调法求函数最值的方法和步骤备课资料基本初等函数的最值1正比例函数：ykx(k0)在定义域
20、R 上不存在最值在闭区间上存在最值，当 k0时，函数 ykx 的最大值为 f(b)kb，最小值为 f(a)ka；当 k0 时，函数 ykx 的最大值为f(a)ka，最小值为 f(b)kb.2反比例函数：ykx(k0)在定义域(，0)(0，)上不存在最值在闭区间(ab0)上存在最值，当 k0 时，函数 ykx的最大值为 f(a)ka，最小值为 f(b)kb；当 k0 时，函数 ykx的最大值为 f(b)kb，最小值为 f(a)ka.3一次函数：ykxb(k0)在定义域 R 上不存在最值在闭区间上存在最值，当 k0时，函数 ykxb 的最大值为 f(n)knb，最小值为 f(m)kmb；当 k0
21、时，函数 ykxb 的最大值为 f(m)kmb，最小值为 f(n)knb.4二次函数：yax2bxc(a0)：当 a0 时，函数 yax2bxc 在定义域 R 上有最小值 f b2a b24ac4a，无最大值；当 a0 时，函数 yax2bxc 在定义域 R 上有最大值 f b2a b24ac4a，无最小值二次函数在闭区间上的最值问题是高考考查的重点和热点内容之一二次函数 f(x)ax2bxc(a0)在闭区间上的最值可能出现以下三种情况：(1)若 b2ap，则 f(x)在区间上是增函数，则 f(x)minf(p)，f(x)maxf(q)(2)若 p b2aq，则 f(x)minf b2a，此时 f(x)的最大值视对称轴与区间端点的远近而定：当 p b2apq2 时，则 f(x)maxf(q)；当pq2 b2a时，则 f(x)maxf(p)f(q)；当pq2 b2aq 时，则 f(x)maxf(p)(3)若 b2aq，则 f(x)在区间上是减函数，则 f(x)minf(q)，f(x)maxf(p)由此可见，当 b2a时，二次函数 f(x)ax2bxc(a0)在闭区间上的最大值是 f(p)和 f(q)中的最大值，最小值是 f b2a；当 b2a时，二次函数 f(x)ax2bxc(a0)在闭区间上的最大值是 f(p)和 f(q)中的最大值，最小值是 f(p)和 f(q)中的最小值