1、3.2.2奇偶性课后篇巩固提升合格考达标练1.下列函数是奇函数的是()A.y=x(x-1)x-1B.y=-3x2C.y=-|x|D.y=x3-35x答案D解析先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-,1)(1,+),不关于原点对称,所以排除A;选项B,C中函数的定义域均是R,且函数均是偶函数;选项D中函数的定义域是R,且f(-x)=-f(x),则此函数是奇函数.2.下列说法中,正确的是()A.偶函数的图象一定与y轴相交B.若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0C.既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0,xRD.图象过原
2、点的增函数(或减函数)一定是奇函数答案B解析y=1x2是偶函数,但函数与y轴没有交点,故A错误;若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则由f(-x)=-f(x)得f(-0)=-f(0),即f(0)=0,故B正确;若函数f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),若函数f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x),则-f(x)=f(x),则f(x)=0,此时只要定义域关于原点对称即可,故C错误;函数的单调性和奇偶性没有关系,故过原点的增函数(或减函数)不一定是奇函数,故D错误.故选B.3.(2021四川乐山外国语学校高一期中)函数f(x)=x4-|x|x2-2的图象关于()A.x轴对称B.y轴对称C
3、.坐标原点对称D.直线y=x对称答案B解析函数f(x)=x4-|x|x2-2,定义域为x|x2,定义域关于原点对称,且f(-x)=(-x)4-|-x|(-x)2-2=x4-|x|x2-2=f(x),函数f(x)=x4-|x|x2-2为偶函数,图象关于y轴对称,故选B.4.(多选题)(2021山东新泰一中高一期中)已知定义在区间-7,7上的一个偶函数,它在0,7上的图象如图,则下列说法正确的是()A.这个函数有2个单调递增区间B.这个函数有3个单调递减区间C.这个函数在其定义域内有最大值7D.这个函数在其定义域内有最小值-7答案BC解析根据偶函数的图象关于y轴对称,可得它在定义域-7,7上的图象
4、,如图所示,因此这个函数有3个单调递增区间,3个单调递减区间,在其定义域内有最大值7,最小值不能确定,故选BC.5.已知函数g(x)=f(x)-x,其中y=g(x)是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=()A.-1B.1C.-3D.3答案C解析g(x)=f(x)-x,f(2)=1,g(2)=f(2)-2=1-2=-1.y=g(x)是偶函数,g(-2)=f(-2)+2=-1,f(-2)=-3.故选C.6.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=.答案-26解析令h(x)=x5+ax3+bx,易知h(x)为奇函数.因为f(x)=h(x)-8,h(x)=f(x)+8,
5、所以h(-2)=f(-2)+8=18.h(2)=-h(-2)=-18,所以f(2)=h(2)-8=-18-8=-26.7.(2021浙江金华曙光学校高二期中)若函数f(x)=|x|(x-a),aR是奇函数,则a=,f(2)=.答案04解析因为函数f(x)=|x|(x-a),aR是奇函数,即f(x)+f(-x)=0,令x=1,则f(1)+f(-1)=0,即1-a+(-1-a)=0,解得a=0,故f(x)=x|x|,则f(2)=4.8.(2021江苏苏州高一期中)已知函数f(x)=-x2-4x,x0,x2+ax,x0为奇函数.(1)求f(2)和实数a的值;(2)求方程f(x)=f(2)的解.解(1
6、)设x0,则-x0,x2-4x=-4或x0,-x2-4x=-4,解得x=2或x=-2-22.等级考提升练9.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是()A.1B.2C.3D.4答案B解析f(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12),由f(-x)=f(x),得m-2=0,即m=2.10.(2021河北邯郸高三期末)已知g(x)是定义在R上的奇函数,f(x)=g(x)+x2,若f(a)=2,f(-a)=2a+2,则a=()A.2B.-1C.2或-1D.2或1答案C解析g(x
7、)是奇函数,g(x)+g(-x)=0,f(x)+f(-x)=2x2,而f(a)=2,f(-a)=2a+2,则4+2a=2a2,解得a=2或-1,故选C.11.(2021陕西西安长安一中高一月考)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案C解析f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),故f(x)g(x)是奇函数,故A错误;|f(-x)
8、|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),故|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误;f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,故f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,故|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.故选C.12.(多选题)(2021广东湛江二中高一期末)已知函数f(x)是R上的奇函数,且当x0时,f(x)=x2+x+a-2,则()A.a=2B.f(2)=2C.f(x)是增函数D.f(-3)=-12答案ACD解析因为f(x)是R上的奇函数,故f(0)=a-2=0,得a=2,故A正确;若x=2,则f(2)=4+2
9、=6,故B错误;当x0时,f(x)=x2+x在0,+)上单调递增,利用奇函数的对称性可知,f(x)在(-,0上单调递增,故f(x)是R上的增函数,故C正确;f(-3)=-f(3)=-9-3=-12,故D正确.故选ACD.13.已知函数f(x)为R上的奇函数,且当x0时,f(x)=-x2+1x+1+t,则t=,f(-2)=.答案-1143解析因为函数f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,即-02+10+1+t=0,解得t=-1.所以f(x)=-x2+1x+1-1.所以f(2)=-22+12+1-1=-143.又函数f(x)为R上的奇函数,所以f(-2)=-f(2)=143.14.(2021山
10、东临沂高一期中)已知函数y=f(x),y=g(x)的定义域为R,且y=f(x)+g(x)为偶函数,y=f(x)-g(x)为奇函数,若f(2)=2,则g(-2)=.答案2解析因为y=f(x)+g(x)为偶函数,y=f(x)-g(x)为奇函数,所以f(-2)+g(-2)=f(2)+g(2),f(-2)-g(-2)=g(2)-f(2),两式相减可得f(2)=g(-2),若f(2)=2,则g(-2)=2.15.(2021山西运城高一期中)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=-x2+2x.(1)求函数f(x)在R上的解析式;(2)若f(x)在-2,b)上有最大值,求实数b的取值范围.
11、解(1)根据题意,f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,若x0,则f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,又由f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)=x2+2x,综上可得,f(x)=x2+2x,x0,-x2+2x,x0.(2)由(1)知f(x)=x2+2x,x0,-x2+2x,x0,作出函数图象如图,若f(x)在-2,b)上有最大值,即函数图象在区间-2,b)上有最高点,必有-21,故b的取值范围为(-2,0(1,+).新情境创新练16.(多选题)(2021辽宁沈阳二中高一期中)已知f(x)在定义域R上为奇函数,满足f(x)=f(2-x),若f(1)=1,则下列判断正确
12、的是()A.f(-1)=-1B.f(3)=1C.f(x)=f(x+4)D.f(18)+f(19)+f(20)=-1答案ACD解析f(x)在定义域R上为奇函数,满足f(x)=f(2-x),即f(x)=f(2-x)=-f(-x),变形可得f(x+2)=-f(x),则有f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)=f(x+4),因此C正确;若f(1)=1,则f(3)=f(-1)=-f(1)=-1,故A正确,B错误;f(x)是定义域为R的奇函数,则f(0)=0,又f(x)=f(2-x),令x=0,可得f(2)=f(0)=0.因为f(x)=f(x+4),所以f(18)=f(2)=0,同理,f(19
13、)=f(3)=-1,f(20)=f(0)=0,则f(18)+f(19)+f(20)=-1,D正确.故选ACD.17.(2021江苏无锡高一期末)我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.则函数f(x)=x3+3x2图象的对称中心为()A.(-1,2)B.(-1,-2)C.(1,2)D.(1,-2)答案A解析设(a,b)为f(x)=x3+3x2图象的对称中心,则有y=f(x+a)-b=(x+a)3+3(x+a)2-b为奇函数.设g(x)=(x+a)3+3(x+a)2-b,则g(x)为奇函数;g(x)=x3+3(a+1)x2+3(a2+2a)x+a3+3a2-b,又g(-x)+g(x)=0,可得3(a+1)x2+a3+3a2-b=0,所以a+1=0,a3+3a2-b=0,解得a=-1,b=2.所以函数f(x)=x3+3x2图象的对称中心的坐标为(-1,2).故选A.
