1、第一章直线与圆2圆与圆的方程2.1圆的标准方程课后篇巩固提升合格考达标练1.圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心与半径分别为()A.(-1,2),2B.(1,-2),2C.(-1,2),4D.(1,-2),4答案A2.圆心为(3,1),半径为5的圆的标准方程是()A.(x+3)2+(y+1)2=5B.(x+3)2+(y+1)2=25C.(x-3)2+(y-1)2=5D.(x-3)2+(y-1)2=25答案D3.若圆C的圆心坐标为(0,0),且圆C经过点M(3,4),则圆C的半径为()A.5B.6C.7D.8答案A解析圆C的半径为32+42=5.4.已知一圆的圆心为点A(2,-3),一条直径的
2、端点分别在x轴和y轴上,则圆的标准方程为()A.(x+2)2+(y-3)2=13B.(x-2)2+(y+3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=52答案B解析如图,结合圆的性质可知,原点在圆上,圆的半径为r=(2-0)2+(-3-0)2=13.故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13.5.若点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则实数a的取值范围是()A.|a|1B.a13C.|a|15D.|a|113答案D解析依题意有(5a)2+144a21,所以169a21,所以a21169,即|a|113,故选D.6.已知直线l过圆x
3、2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程为()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0答案D解析圆x2+(y-3)2=4的圆心坐标为(0,3).因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1.由点斜式得直线l的方程是y-3=x-0,化简得x-y+3=0.7.若点P(-1,3)在圆x2+y2=m2上,则实数m=.答案2解析点P在圆x2+y2=m2上,(-1)2+(3)2=4=m2,m=2.8.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为455,则圆C的方程为.答案(x-2)2+y2=
4、99.求以A(2,2),B(5,3),C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.解设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则有(2-a)2+(2-b)2=r2,(5-a)2+(3-b)2=r2,(3-a)2+(-1-b)2=r2,解得a=4,b=1,r2=5,即ABC的外接圆的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=5.等级考提升练10.已知A(3,-2),B(-5,4),则以AB为直径的圆的方程是()A.(x-1)2+(y+1)2=25B.(x+1)2+(y-1)2=25C.(x-1)2+(y+1)2=100D.(x+1)2+(y-1)2=100答案B解析由题意可得圆心为(
5、-1,1),半径为r=5,所以圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=25,故选B.11.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,5为半径的圆的方程为()A.(x-1)2+(y+2)2=5B.(x+1)2+(y+2)2=5C.(x+1)2+(y-2)2=5D.(x-1)2+(y-2)2=5答案C解析直线方程变为(x+1)a-x-y+1=0.由x+1=0,-x-y+1=0,得x=-1,y=2,C(-1,2),所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.12.(2020北京,5)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.
6、6D.7答案A解析设圆心C(x,y),则(x-3)2+(y-4)2=1,化简得(x-3)2+(y-4)2=1,所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心,1为半径的圆,所以|OC|OM|-1=32+42-1=4,当且仅当C在线段OM上时取等号,故选A.13.(多选题)下列各点中,不在圆(x-1)2+(y+2)2=25的外部的是()A.(0,2)B.(3,3)C.(-2,2)D.(4,1)答案ACD解析由(0-1)2+(2+2)225知(3,3)在圆外;由(-2-1)2+(2+2)2=25知(-2,2)在圆上,由(4-1)2+(1+2)20,且OC2,故a2,故选CD.15.圆(x-3)2+(y+1
7、)2=1关于直线x+y-3=0对称的圆的标准方程是.答案(x-4)2+y2=1解析设圆心A(3,-1)关于直线x+y-3=0对称的点B的坐标为(a,b),则b+1a-3(-1)=-1,a+32+b-12-3=0,解得a=4,b=0,故所求圆的标准方程为(x-4)2+y2=1.16.已知圆C:x2+y2=1,则圆上的点到点(3,4)距离的最大值为.答案6解析因为圆C的方程为x2+y2=1,所以圆心坐标为(0,0),半径r=1.又圆心(0,0)到点(3,4)的距离为32+42=5,所以圆上的点到点(3,4)的距离的最大值为5+1=6.17.已知点A(-1,2)和B(3,4).求:(1)线段AB的垂
8、直平分线l的方程;(2)以线段AB为直径的圆的标准方程.解(1)由题意得线段AB的中点C的坐标为(1,3).A(-1,2),B(3,4),直线AB的斜率kAB=4-23-(-1)=12.直线l垂直于直线AB,直线l的斜率k=-1kAB=-2,直线l的方程为y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.(2)A(-1,2),B(3,4),|AB|=(3+1)2+(4-2)2=20=25,以线段AB为直径的圆的半径r=12|AB|=5.又圆心为C(1,3),所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=5.新情境创新练18.如图,已知点A(-1,0)与点B(1,0),C是圆x2+y2=1上异于A,B两点的动点,连接BC并延长至D,使得|CD|=|BC|,求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.解设动点P(x,y),由题意可知P是ABD的重心.由A(-1,0),B(1,0),令动点C(x0,y0),则D(2x0-1,2y0),由重心坐标公式得x=-1+1+2x0-13,y=2y03,则x0=3x+12,y0=3y2(y00),代入x2+y2=1,整理得x+132+y2=49(y0),故所求轨迹方程为x+132+y2=49(y0).