1、第6讲离散型随机变量的均值与方差基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2013广东卷改编)已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)_.解析E(X)123.答案2(2014陕西卷改编)设样本数据x1，x2，x10的均值和方差分别为1和4，若yixia(a为非零常数，i1，2，10)，则y1，y2，y10的均值和方差分别为_解析将每个数据都加上a后均值也增加a，方差不变答案1a,43某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为_解析记“不发芽的种子数为Y”，则YB(1 000,0.
2、1)，所以E(Y)1 0000.1100，而X2Y，故E(X)E(2Y)2E(Y)200.答案2004(2014浙江卷)随机变量X的取值为0,1,2.若P(X0)，E(X)1，则V(X)_.解析由题意设P(X1)p，X的分布列如下X012Ppp由E(X)1，可得p，所以V(X)120212.答案5已知随机变量X服从二项分布，且E(X)2.4，V(X)1.44，则二项分布的参数n，p的值分别为_解析由二项分布XB(n，p)及E(X)np，V(X)np(1p)得2.4np，且1.44np(1p)，解得n6，p0.4.答案6,0.46口袋中有5只球，编号分别为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X
3、表示取出的球的最大号码，则X的期望E(X)的值是_解析当X3时，P1；当X4时，P2；当X5时，P3，所以E(X)3454.5.答案4.57某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的记X为该毕业生得到面试的公司个数若P(X0)，则随机变量X的数学期望E(X)_.解析P(X0)(1p)2，p，随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X0)，P(X1)22，P(X2)222，P(X3)2，因此E(X)123.答案8某保险公司新开设一项保险业务，规定该份保单在一年内如果事件
4、E发生，则该公司要赔偿a元，在一年内如果事件E发生的概率为p，为使该公司收益期望值等于，公司应要求该保单的顾客缴纳的保险金为_元解析设随机变量X表示公司此项业务的收益额，x表示顾客交纳的保险金，则X的所有可能值为x，xa，且P(Xx)1p，P(Xxa)p，所以E(X)x(1p)(xa)p，得x.答案二、解答题9(2015南京、盐城模拟)某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的(1)求恰有2人申请A大学的概率；(2)求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)解(1)记“恰有2人申请A大学”为事件A，P(A).即恰有2
5、人申请A大学的概率为.(2)X的所有可能值为1,2,3.P(X1)，P(X2)，P(X3).X的概率分布列为X123P所以X的数学期望E(X)123.10(2014湖南卷)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元求该企业可获利润的分布列和数学期望解记E甲组研发新产品成功，F乙组研发新产品成功，由题设知P(E)，P()，P(F)，P()，且事件E与F，E与，与F，与都相
6、互独立(1)记H“至少有一种新产品研发成功”，则，于是P()P()P()，故所求的概率为P(H)1P()1.(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0,100,120,220，因为P(X0)P()，P(X100)P(F)，P(X120)P(E)，P(X220)P(EF).故所求的分布列为X0100120220P数学期望为E(X)0100120220140.能力提升题组(建议用时：25分钟)1一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的期望值为_解析X的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为X3210P0.60.240.0
7、960.064E(X)30.620.2410.09600.0642.376.答案2.3762掷骰子游戏：规定掷出1点，甲盒中放一球，掷出2点或3点，乙盒中放一球，掷出4,5或6，丙盒中放一球，共掷6次，用x，y，z分别表示掷完6次后甲，乙，丙盒中球的个数令Xxy，则E(X)_.解析由题意知zB，E(z)3，又xyz6，Xxy6z，E(X)E(6z)6E(z)633.答案33随机变量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(X)，则V(X)的值是_解析由已知条件可得解得V(X)222.答案4(2014安徽卷)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未
8、出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)解用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，则P(Ak)，P(Bk)，k1,2,3,4,5.(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4)P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)222.(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)，P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)，P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)，P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4).故X的分布列为X2345PE(X)2345.