1、辽宁省抚顺市第一中学2020届高三数学第二次模拟考试试题 文（含解析）一、选择题（共12小题）.1.复平面内表示复数的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除法运算化简为（，R）的形式，则答案可求【详解】，在复平面对应的点在第一象限.故选A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，及复数的几何意义，属于基础题2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先利用定义域的求法，求得集合的范围，然后求两个集合的交集.【详解】因为 ,，所以 .故选D.【点睛】本题考查集合交集运算，考查运算求解能力，属于
2、基础题.3.函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于轴对称，排除；根据时，排除，从而得到正确选项.【详解】定义域，且为偶函数，关于轴对称，排除；当时，可知，排除.本题正确选项：【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排除.4.已知等比数列满足，则公比（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】利用以及等比数列的通项公式，化简得到，由此求得的值.【详解】由及，可得.故选A.【点睛】本题考查等比数列的性质，考查化归与转化的思想.属于基础题.5.设，满足约束条件，则的最小
3、值是（ ）A. B. C. 0D. 2【答案】C【解析】【分析】先画出线性约束条件的可行域，再将目标函数的函数值看做目标函数对应直线的纵截距，平移目标函数，数形结合找到最优解，即可求出结果【详解】依题意x，y满足约束条件，如图所示，当z0时，设直线：x+y0，当直线平移并过A点时，目标函数zx+y有最小值，此时最优解就是A点，由得A（2，2），所以目标函数zx+y的最小值是0故选C【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题6.若，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别出的取值范围，由此比较出三者的大小.【详解】, ， ，故 .
4、故选B.【点睛】本题考查指数、对数的运算，考查运算求解能力.属于基础题.7.在中，为上一点，是的中点，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将利用平面向量的加法和减法运算，转化为以和为基底表示出来，根据是的中点列方程，求得的值.【详解】，因为是的中点， 所以，解得 ，.故选B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算和平面向量的基本定理，考查推理论证的能力.属于中档题8.“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在九章算术注中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416
5、这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（ ）（参考数据：）A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413【答案】A【解析】【分析】先设圆的半径为，表示出圆的面积和正六边形的面积，再由题中所给概率，即可得出结果.【详解】设圆的半径为，则圆的面积为，正六边形的面积为，因而所求该实验的概率为，则.故选A【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.9.已知函数的
6、最小正周期为，且对，恒成立，若函数在上单调递减，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由最小正周期，求出，再由对，恒成立，得到，进而可得，求出其单调递减区间，即可得出结果.【详解】因为函数的最小正周期为，所以，又对任意的，都使得，所以函数在上取得最小值，则，即，所以，令，解得 ，则函数在上单调递减，故的最大值是.故选B【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.10.在四棱锥中，所有侧棱都为，底面是边长为的正方形，是在平面内的射影，是的中点，则异面直线与所成角为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】C【解析】【分析】先取为的中点，得
7、到，则是异面直线与所成的角，根据题意，求出，解三角形，即可得出结果.【详解】由题可知是正方形的中心，取为的中点，所以，则是异面直线与所成的角.因为平面，所以平面，因为在四棱锥中，所有侧棱都为，底面是边长为的正方形，所以，所以，因此，又在中，所以，即，所以，则异面直线与所成的角为.故选C【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，熟记几何法作出异面直线所成的角，再求解即可，属于常考题型.11.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A. x21B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由向量的加减运算和数量积的性质
8、，可得，由双曲线的定义可得，再由三角形的余弦定理，可得，即可判断出所求双曲线的可能方程【详解】解：由题可知，若，即为，可得，即有，由双曲线的定义可知，可得，由于过F2的直线斜率为，所以在等腰三角形中，则，由余弦定理得：，化简得：，即，可得，所以此双曲线的标准方程可能为：.故选：D【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题12.已知函数，若关于的方程无实数解，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求导，得函数在上单调递增，在上单调递减，从而得的图象；由题意得直线与曲线相切时求出，再结合图象求出的范
9、围.【详解】由求导得，令，解得，可知函数在上单调递增，在上单调递减.，且.所以函数的图象如图所示，因为直线恒过点.所以当直线与曲线相切时，设切点其中，即直线与曲线在上相切，此时，解得关于的方程无实数解，结合图象可知，此时.故选A【点睛】本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，以及转化和数形结合思想，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.某公司对2019年14月份的获利情况进行了数据统计，如表所示：利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y关于x的线性回归方程为_【答案】【解析】【分析】由已知求得样本点的中心的
10、坐标，结合已知列关于与的方程组，求解即可得到y关于x的线性回归方程.【详解】解：由已知表格中的数据可得，又，联立解得：，.y关于x的线性回归方程为.故答案为：.【点睛】本题考查线性回归方程，直接利用公司计算即可，属于基础题14.一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的负半轴上，则该圆的标准方程为_.【答案】【解析】【分析】由椭圆的方程求出顶点坐标，然后设出圆心坐标，进一步求出圆的半径可得圆的方程【详解】因为圆心在轴的负半轴上，且圆经过椭圆的三个顶点，所以该圆过椭圆的左顶点，右顶点和下顶点.设圆心坐标为， ，半径为，所以 ，所以圆的标准方程为.故答案为【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程
11、的求法，考查计算能力，属于中档题15.若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_.【答案】.【解析】【分析】作出圆柱与其外接球的轴截面，结合题中数据，求出外接球半径，再由球的表面积公式，即可得出结果.【详解】作出圆柱与其外接球的轴截面如下：设圆柱的底面圆半径为，则，所以轴截面的面积为，解得，因此，该圆柱的外接球的半径，所以球的表面积为.故答案为【点睛】本题主要考查圆柱外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型.16.已知正项数列的前项和为，满足，则_.【答案】【解析】【分析】由题意化简得，当n1时，当时，化简得，再利用等差数列的通项公式和前n项和公式，求出，再用裂项相
12、消法求和即可得出【详解】已知正项数列的前项和为，满足，化简得，当时，解得；当时，相减可得，可得，所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列；，即，所以.故答案为【点睛】本题考查了递推数列的通项公式、等差数列的通项公式和前n项和公式，裂项相消法求和，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，角，所对的边分别为，.（1）求的大小；（2）若，求的面积.【答案】(1) .(2) 【解析】【分析】（1）先由正弦定理，将化为，结合余弦定理
13、，即可求出角；（2）先求出，再由正弦定理求出，根据三角形面积公式，即可得出结果.【详解】（1）因为，由正弦定理可得：，即，再由余弦定理可得，即,所以；（2）因为，所以，由正弦定理，可得.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理、余弦定理即可，属于常考题型.18.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，A1D与AD1交于点E，AA1AD2AB4.（1）证明：AE平面ECD.（2）求点C1到平面AEC的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）证明CD平面ADD1A1可得CDAE，根据AA1AD可得AEDE，故而AE平面EDC；（2）根据V列方程计算C1
14、到平面AEC的距离.【详解】（1）证明：四边形ABCD是矩形，CDAD，AA1平面ABCD，CD平面ABCD，AA1CD，又AA1ADA，CD平面ADD1A1，CDAE，四边形ADD1A1是平行四边形，E是A1D的中点，AA1AD，AEDE，又CDDED，AE平面ECD.（2）连接CD1，则点C1到平面AEC的距离即为点C1到平面ACD1的距离.在ACD1中，AC2，AD14，CD12，CEAD1，且CE2，S4，设C1到平面ACD1的距离为h，则V.又V，4h16，即h.点C1到平面AEC的距离为.【点睛】本题考查线面垂直判定定理、等积法求点到面的距离，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、
15、运算求解能力.19.某度假酒店为了解会员对酒店的满意度，从中抽取50名会员进行调查，把会员对酒店的“住宿满意度”与“餐饮满意度”都分为五个评分标准：1分（很不满意）；2分（不满意）；3分（一般）；4分（满意）；5分（很满意）.其统计结果如下表（住宿满意度为，餐饮满意度为）.（1）求“住宿满意度”分数的平均数；（2）求“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的方差；（3）为提高对酒店的满意度，现从且的会员中随机抽取2人征求意见，求至少有1人的“住宿满意度”为2的概率.【答案】(1)3.16(2)2(3) .【解析】【分析】（1）求出“住宿满意度”分数的总分，然后除以总人数，求得平均数.（2
16、）利用方差的计算公式，计算出所求的方差.（3）符合条件的所有会员共人，其中“住宿满意度”为的有人，“住宿满意度”为的有人，利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】（1） （2）当“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的平均数为，其方差为 （3）符合条件的所有会员共6人，其中“住宿满意度”为2的3人分别记为 ，“住宿满意度”为3的3人分别记为 .从这6人中抽取2人有如下情况， ，共15种情况.所以至少有1人的“住宿满意度”为2的概率.【点睛】本小题主要考查平均数的计算，考查方差的计算，考查利用列举法求古典概型问题，属于中档题.20.已知曲线G上点到点的距离比它到直线的
17、距离小2.（1）求曲线G的方程.（2）是否存在过F的直线l，使得l与曲线G相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A，且ABF的面积等于4？若存在，求出此时直线l的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在；直线l的方程为【解析】【分析】（1）设S（x，y）为曲线G上任意一点，判断曲线G是以为焦点，直线为准线的抛物线，求出曲线G的方程.（2）设直线l的方程为，与抛物线C的方程联立，消去x，设，通过韦达定理以及三角形的面积，转化求解m即可.【详解】解：（1）设S（x，y）为曲线G上任意一点，依题意，点S到的距离与它到直线的距离相等，所以曲线G是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线G
18、的方程为.（2）设直线l的方程为，与抛物线C的方程联立，得，消去x，得，设，则，解得，所以存在直线l使得ABF的面积等于4，此时直线l的方程为.【点睛】本题考查抛物线标准方程及定义、抛物线中的面积问题和直线方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意韦达定理的运用.21.已知函数，.（1）当为何值时，直线是曲线的切线；（2）若不等式在上恒成立，求取值范围.【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】（1）先令，求其导数，设切点为，由直线是曲线的切线，得到，用导数的方法研究函数的单调性，即可求出结果；（2）先令，对其求导，分别讨论和两种情况，结合题意，即可
19、得到结果.【详解】（1）令，设切点为，则，则.令，则函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以.（2）令，则，当时，所以函数在上单调递减，所以，所以满足题意.当时，令，得，所以当时， ，当时，.所以函数在上单调递增，在上单调递减.（）当，即时，在上单调递增，所以，所以，此时无解.（）当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减.所以 .设 ，则，所以在上单调递增, ，不满足题意.（）当，即时，在上单调递减，所以，所以 满足题意.综上所述：的取值范围为.【点睛】本题主要考查由切线方程求参数，以及导数的应用，熟记导数的几何意义，以及导数的方法研究函数的单调性、极值等，灵活运用分类讨论的思想求解即可，属于
20、常考题型.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，且直线与的斜率之积为，求.【答案】（1）:，：；（2）.【解析】【分析】（1）利用直角坐标与极坐标换算公式直接可得；（2）联立直线与曲线的极坐标方程，得，设，则，解得即可.【详解】（1）将，代入的方程中，所以直线的极坐标方程为.在曲线的参数方程中，消去，可得，将，代入的方程中，所以曲线的极坐标方
21、程为.（2）直线与曲线的公共点的极坐标满足方程组，由方程组得，两边同除，可化为，即，设，则，解得.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，普通方程之间的换算关系考查了直线与椭圆极坐标方程的应用属于中档题选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若，使得恒成立，求的取值范围.【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】（1）先由题意得，再分别讨论，三种情况，即可得出结果；（2）先由含绝对值不等式性质，得到，再由题意，可得，求解，即可得出结果.【详解】（1）不等式 可化为，当时， ，所以无解；当时， 所以；当时， ，所以，综上，不等式的解集是.（2）因为 又，使得 恒成立，则，解得.所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.