1、12.1分式（1）教学目标【知识与能力】1.使学生了解分式的概念,明确整式和分式的区别,能用分式表示现实情境中的数量关系.2.明确分式中分母不能为0是分式成立的条件.3.使学生能求出分式有意义的条件.4.使学生初步掌握分式的基本性质,并能用它进行分式的约分.【过程与方法】启发学生学会观察、分析、寻找解题的途径,提高分析问题、解决问题的能力.【情感态度价值观】1.通过丰富的数学活动,获得成功的经验,体验数学活动充满着探索和创新,体会分式的模型思想.2.通过分数与分式的比较,培养学生良好的类比习惯和思想方法,并培养学生严谨的科学态度.教学重难点【教学重点】1.分式的概念,分式有意义的条件.2.分式
2、的基本性质.【教学难点】 分式有意义的条件,分式的值为0的条件及分式的基本性质.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:某种商品,原来每盒售价为p元,现在每盒的售价降低了2元.用500元钱购买这种商品,现在比原来可多买多少盒?怎样用代数式表示现在比原来可多买多少盒?500p-2-500p盒.设计意图通过教材章前图,引导学生列出分式,感知分式的特点,为学习本课时做认知准备.导入二:如果在一条公路上,同向行驶且前后相邻的两辆车的车头与车头之间的平均距离为d(米/辆),车辆的平均速度为v(m/s),那么vd(辆/秒)叫做这条公路的同向行驶的车流量.问题:如果知道vd中两个字母所代表的数量,你
3、能求出此时的车流量吗?设计意图通过教材中习题的车流量的情境,帮助学生感受用“分式”表示生活中数量关系的方便性和准确性.导入三:面对日益严重的土地沙化问题,某县决定分期分批固沙造林,一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前4个月完成原计划任务.原计划每月固沙造林多少公顷?如果设原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成一期工程需要个月,实际完成一期工程用了个月.让学生讨论并填空:生:原计划完成一期工程需要2400x个月,实际完成一期工程用了2400x+30个月.设计意图通过土地沙化问题,进一步丰富问题的实际背景,激发学生的求知欲望,让学生探索
4、问题中的数量关系,并且体会保护人类生存环境的重要性.二、新知构建：活动一:做一做感知分式过渡语(针对导入一)刚才我们列出的式子是不是整式呢?接下来我们就一起探究这个问题.(一)出示教材第2页做一做1.一项工程,甲施工队5天可以完成.甲施工队每天完成的工程量是多少?3天完成的工程量又是多少?如果乙施工队a天可以完成这项工程,那么乙施工队每天完成的工程量是多少?b(ba)天完成的工程量又是多少?2.已知甲、乙两地之间的路程为mkm.如果A车的速度为nkm/h,B车比A车每小时多行20km,那么从甲地到乙地,A车和B车所用的时间各为多少?(二)尝试对所列代数式分类师:同学们能列出这两个问题中的相关代
5、数式吗?生:(列代数式、老师随时板书)15,35;1a,ba;mn,mn+20.师:刚才同学们列出的代数式有什么共同特点?你能把它们分成两类吗?预设:生1:都是分数.生2:按照分母是否含有字母分两类.生3:按照分子是否含有字母分两类.设计意图通过分类活动,让学生积极参与到课堂思考活动当中,在分类中发现分母含有字母这个重要特征,为总结和理解分式的概念奠定基础.活动二:大家谈谈总结分式定义过渡语大家按照分母是否含有字母把这些式子分成两类,我们给这些分母中含有字母的式子下个定义吧!思路一问题:1.以上代数式中哪些是整式?哪些不是整式?2.不是整式的代数式有哪些共同特征?教师向学生指出,类比和归纳是探
6、索新概念的重要方法.在学生观察、归纳的基础上,教师板书分式定义:一般地,把形如AB的代数式叫做分式,其中,A,B都是整式,且B含有字母.A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.类比分数剖析分式概念:形式:与分数一样,分式也是由分子、分母和分数线组成.内容:分数的分子、分母都是整数,分式的分子、分母都是整式.要求:分式的分母中必须含字母;分子中可以含字母,也可以不含字母.思路二师:下面请同学们看一下这四个式子,看它们有什么相同点和不同点?107,sa,20033,sv.学生根据自己的观察,说出:107,20033是分数,是整式.师:而另两个式子,看它们有什么特点?请同学们自己总结一下.学生思考后说:
7、分母中有字母.引导学生归纳:一般地,把形如AB的代数式叫做分式,其中,A,B都是整式,且B含有字母.A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.活动三:例题讲解深化对分式的认识指出下列各式中,哪些是整式,哪些是分式.x-2,x+35,5x2,x-33x+2,abx-y,14,2x.思考:1.含有分母的式子就是分式吗?(不是,分式的分母中必须含有字母)2.分式和整式有什么关系?(分式可以看成两个整式相除的商,除式中要含有字母)学生分析,得出结论.解:x-2,x+35,5x2,14都是整式;因为x-33x+2,abx-y,2x的分母中都含有字母,所以它们都是分式.设计意图通过观察、归纳、总结出整式与分式的
8、异同,类比分数,合理联想,获得分式概念,通过问题分析加深学生对分式概念的理解,从而揭示分式概念的本质.活动四:大家谈谈分式的字母可以任意取值吗在什么情况下,下列各分式无意义?2x,x-33x+2,abx-y.问题:1.分数在什么情况下无意义?2.分式中分母的字母可以任意取值吗?3.在什么情况下上面的三个分式无意义?处理方式学生交流、老师总结强调.(1)分式有意义,需要分母不为0,需要解一个带“”的不等式;反之,当分式无意义时,则分母为0.(2)分式的值为0,既要分子等于0,也要分母不为0.可以用方程和不等式组成条件组表示上述条件.设计意图由学生自己发现问题、解决问题并找出关键所在,既能激发学生
9、的求知欲望,又能有效深化知识.同时通过形象比喻“分数线是路面,分母是陷阱”使学生品味数学的趣味性.(补充例题)当x取什么值时,下列分式有意义?(1)x-14x+1;(2)x1-x;(3)1x+3-1x-2.解析只有当分母不为零时,分式才有意义.解:(1)要使x-14x+1有意义,必须使4x+10,即x-14.所以当x-14时,x-14x+1有意义.(2)要使x1-x有意义,必须使1-x0,即x1,所以当x1时,x1-x有意义.(3)要使1x+3-1x-2有意义,必须使x+30且x-20,即x-3且x2.所以当x-3且x2时,1x+3-1x-2有意义.强调:在解答分式有意义、无意义、值为零的题型
10、时,一定要紧扣分式的概念.如分式AB有意义时,必须满足B0;无意义时,必须满足B=0;值为零时,必须满足A=0且B0.其中值为零已经隐含了分式有意义,只是值为零而已,注意区别.知识拓展对于分式的定义和成立的条件要注意以下几点:1.分式的形式与分数类似,但它们是有区别的,分数是整式,不是分式,分式是两个整式相除的商式,其根本区别如下表:分式分数整式区别分母中含有字母分子、分母中都不含有字母分母中不含有字母2.分式与分数是相互联系的,由于分式中的字母可以表示不同的数,所以分式比分数更具有一般性;分数是分式中字母取特殊值后的特殊情况.3.注意分母含的代数式容易判断错误,如:52不是分式,因为不是字母
11、,而是常数.4.注意分式的值为0时,容易忽略分母不为0的条件.活动五:分式的基本性质过渡语刚才我们研究了分式有意义的条件,小学我们学过分数.请同学们思考:你觉得13,26和412三个数相等吗?下面我们来看看分式是否具有类似的性质?1.请看下面的问题:填空:23=223()10100=1010100()学生独立思考,根据分数的基本性质,23的分子、分母同乘2,可得46,10100的分子、分母同除以10,得110.思考:分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值会怎样?归纳:分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.用式子表示为:AB=AMBM,AB=AMBM
12、(M是不等于0的整式).【注意】因为0不能作除数,所以分式的分子、分母同乘(或除以)的这个整式不能等于0.2.“做一做”.分式a-ba(a-b)与bab相等吗?还有与它们相等的分式吗?如果有,请你写出两个这样的分式.引导学生得到:把a-ba(a-b)的分子、分母同除以(a-b)得到1a;把bab的分子、分母同除以b得到1a,所以两个分式相等.学生举出具有同样特点的两个分式.知识拓展理解分式的基本性质应注意以下几点:分式的基本性质与分数的基本性质类似,要特别注意“不等于0”“同乘(或除以)”这些关键词.“同乘(或除以)”说明分子与分母都乘或都除以,并且分子与分母乘或除以的整式是相同的;“不等于0
13、”是对分子与分母乘或除以的整式的限制条件.若原分式的分子(或分母)是多项式,运用分式的基本性质时,要先把分式的分子(或分母)用括号括上,再乘(或除以)非零整式.三、课堂小结：知识总结知识方法要点关键总结注意事项分式的概念一般地,把形如AB的代数式叫做分式,其中A,B是整式,且B中含有字母,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.分母含的代数式容易判断错误.分式有意义或无意义或分式值为0的条件(1)分式有意义:分母不为0;(2)分式无意义:分母为0;(3)分式值为0:分子为0且分母不为0.判断分式的值为0时,容易忽略分母不为0的条件.分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.规律方法总结1.判断分式的依据是看分母中是否含有字母,分母中含有字母的代数式是分式.2.(1)分式的基本性质的作用:分式进行变形的依据.(2)在运用分式基本性质时,必须注意乘或除以的是同一个整式,且不为0.(3)分式基本性质的研究方法:从分数分式;从特殊一般.