1、第七章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列对古典概型的说法中正确的是()试验中所有可能出现的样本点个数是有限的;每个事件出现的可能性相等;每个样本点出现的可能性相等;样本点总数为n,若随机事件A包含k个样本点,则P(A)=kn.A.B.C.D.答案:B2.下列事件:物体在重力作用下会自由下落;方程x2-2x+3=0有两个不相等的实数根;下周日会下雨;某寻呼台某天某一时段内收到传呼的次数少于10次.其中随机事件的个数为()A.1B.2C.3D.4答案:B3.已知定义在(-,0)(0,
2、+)的四个函数y1=x-1,y2=x2,y3=3x,y4=3x,从四个函数中任取两个函数相乘,所得函数为奇函数的概率是()A.12B.13C.35D.34解析:从四个函数中任取两个相乘的所有可能结果为y1y2,y1y3,y1y4,y2y3,y2y4,y3y4,其中是奇函数的有y1y2,y2y4,故所求概率为26=13.答案:B4.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.110B.15C.310D.25解析:如表所示,表中每组数据中的第一个数表示第一次取到的数,第二个数表示第二次取到的数.123451
3、(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)总计有25种情况,满足条件的有10种,所以所求概率为1025=25.答案:D5.设集合P=b,1,Q=c,1,2,PQ,若b,c2,3,4,5,6,7,8,9,则b=c的概率是()A.18B.14C.12D.34解析:因为P=b,1,Q=c,1,2,PQ,所以b=c2或b=2,c2.又b,c2,3,4,5,6,7,8,9,当b=c2时,b,
4、c的取法共有7种,当b=2,c2时,c的取法共有7种.所以集合P,Q的构成共有14种,其中b=c的情况有7种.所以b=c的概率为714=12.答案:C6.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,则摸出黑球的概率是()A.0.42B.0.28C.0.3D.0.7答案:C7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是()A.49B.13C.29D.19解析:若个位数与十位数之和为奇数,则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数,所以可以分两类:(1)当个位为奇数时,有54=20(个)符合条件的两位数.(2)当
5、个位为偶数时,有55=25(个)符合条件的两位数.因此共有20+25=45(个)符合条件的两位数,其中个位数为0的两位数有5个,所以所求概率为P=545=19.答案:D8.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b1,2,3,4,5,6,若|a-b|1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,他们“心有灵犀”的概率为()A.19B.29C.718D.49解析:首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|a-b|1.由于a,b1,2,3,4,5,6,则满足要求的事件可能的结果有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,
6、3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共16种,而依题意得样本空间的样本点总数为36.因此他们“心有灵犀”的概率为1636=49.故选D.答案:D9.有两张卡片,一张的正反面分别画着老鼠和小鸡,另一张的正反面分别画着老鹰和蛇,现在有两个小孩随机地将两张卡片排在一起放在桌面上,不考虑顺序,则向上的图案是老鹰和小鸡的概率是()A.12B.13C.14D.16解析:向上的图案为鼠鹰、鼠蛇、鸡鹰、鸡蛇四种可能情形,其中向上的图案是鸡鹰的概率为14.故选C.答案:C10.若a1,2,b-2,-1,0,1,
7、2,则关于x的方程x2+ax+b=0有实数根的概率为()A.35B.710C.14D.38解析:若方程有实数根,则a2-4b0,即a24b.则满足条件的样本点有(1,0),(1,-1),(1,-2),(2,-1),(2,0),(2,-2),(2,1)共7个,而样本空间的样本点总数为10,故所求概率为710.答案:B11.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是()A.318B.418C.518D.618解析:正方形四个顶点可以确定6条直线,甲、乙各自任选一条共有36个样本点.两条直线相互垂直的情况有5种(4
8、组邻边和1组对角线),所以包含10个样本点.故所求概率为518.答案:C12.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就能获得冠军,乙队需要再赢两局才能获得冠军.若两队赢每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为()A.34B.23C.35D.12解析:甲队获得冠军有两种情形:情形一,第一局甲赢,其概率P1=12;情形二,需比赛2局,第一局甲负,第二局甲赢,其概率P2=1212=14.故甲队获得冠军的概率为P1+P2=34.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)13.口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球,其中红球45个,从口袋中摸出一
9、个球,摸出白球的概率为0.23,则摸出黑球的概率为.解析:摸出红球的概率为45100=0.45,因为摸出红球、白球和黑球是互斥事件,因此摸出黑球的概率为1-0.45-0.23=0.32.答案:0.3214.三张卡片上分别写有字母E,E,B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英语单词BEE的概率是.答案:1315.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为37,乙夺得冠军的概率为14,那么中国队夺得乒乓球单打冠军的概率为.解析:由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以由互斥事件概率
10、的加法公式得,中国队夺得女子乒乓球冠军的概率为37+14=1928.答案:192816.甲、乙两人玩“剪刀、石头、布”游戏,随机出手一次,则甲不输的概率是.解析:画出树形图,如图所示.从树形图可以看出,所有可能的结果共有9种,这些结果出现的可能性相等,P(甲获胜)=13;P(平局)=13,则玩一局甲不输的概率是13+13=23.答案:23三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)对一批U盘进行抽检,结果如下表:抽取件数a50100200250400500次品件数b345589次品率ba(1)计算表中各次品率;(2)从这批U盘中任取一个是次品的
11、概率约是多少?解:(1)表中次品率从左到右依次为0.06,0.04,0.025,0.02,0.02,0.018.(2)由(1)计算得到的次品率知,当抽取件数a越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.18.(12分)随机地排列数字1,5,6得到一个三位数,计算下列事件的概率:(1)所得的三位数大于400;(2)所得的三位数是偶数.解:随机排列数字1,5,6可得三位数:156,165,516,561,615,651,共6个.设“所得的三位数大于400”为事件A,“所得的三位数是偶数”为事件B.由古典概型的概率公式可得(1)P(A)=46=23
12、.(2)P(B)=26=13.19.(12分)已知关于x的一元二次方程x2-2(a-2)x-b2+16=0,若a,b是一枚骰子连续抛掷两次所得到的点数,求方程有两个不相等的正实根的概率.解:样本空间的样本点共有36个,且a,b1,2,3,4,5,6.方程有两个不相等的正实数根等价于a-20,16-b20,0,即a2,-4b16.设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A,则事件A所包含的样本点为(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),共4个.故所求概率为P(A)=436=19.20.(12分)甲、乙两人玩一种游戏,每次甲、乙各出1到5根手指,若和为偶数,则甲赢,否则乙赢.(1)若以A表示
13、和为6的事件,求P(A);(2)现连玩三次,若以B表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至少赢两次的事件,试问事件B与C是否为互斥事件?为什么?(3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.解:(1)样本空间与点集S=(x,y)|xN+,yN+,1x5,1y5中的元素一一对应,因为S中点的总数为55=25(个),所以样本空间的样本点总数n=25.事件A包含的样本点共5个:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),所以P(A)=525=15.(2)B与C不是互斥事件,因为事件B与C可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次.(3)这种游戏规则不公平.由(1)知,事件“和为偶数”包含的样本点有13个,
14、所以甲赢的概率为132512,乙赢的概率为122512.因此,这种游戏规则不公平.21.(12分)如图是两个可以自由转动的转盘,甲转盘被等分成3个扇形,乙转盘被等分成4个扇形,每一个扇形上都标有相应的数字.小明和小红利用它们做游戏,游戏规则是:同时转动两个转盘,当转盘停止后,指针所指区域内的数字之和小于9,小明获胜;指针所指区域内的数字之和等于9,为平局;指针所指区域内的数字之和大于9,小红获胜(如果指针恰好指在分割线上,那么再转一次,直到指针指向一个数字为止).(1)请你通过画树状图或列表法求小明获胜的概率;(2)你认为该游戏规则是否公平?若游戏规则公平,请说明理由;若游戏规则不公平,请你设
15、计一种公平的游戏规则.解:(1)列表法:甲乙5678167892789103891011或树状图:根据列表或树状图可知,共有12种等可能的结果,其中和小于9的可能结果有6种,故小明获胜的概率为P1=612=12.(2)这个游戏不公平.因为小明获胜的概率为P1=12,小红获胜的概率为P2=312=14,显然1214,所以,这个游戏规则对小红不公平.设计一种公平的游戏规则:当指针所指区域内的数字之和小于9时,小明获胜;当指针所指区域内的数字之和不小于9时,小红获胜.22.(12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:62
16、73819295857464537678869566977888827689B地区:7383625191465373648293486581745654766579根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意设事件C表示“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求事件C的概率.解:设事件CA1表示:“A地区的用户满意度为满意或非常满意”;事件CA2表示:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;事件CB1表示:“B地区用户的满意度等级为不满意”;事件CB2表示:“B地区用户的满意度等级为满意”,则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,C=CB1CA1CB2CA2.P(C)=P(CB1CA1CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2).由所给数据,得CA1,CA2,CB1,CB2发生的频率分别为1620,420,1020,820,所以P(CA1)=1620,P(CA2)=420,P(CB1)=1020,P(CB2)=820.所以P(C)=10201620+820420=0.48.