1、第七章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a,bR,则“a=b”是“(a-b)+(a+b)i为纯虚数”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:(a-b)+(a+b)i为纯虚数的充要条件是实数a,b满足a-b=0,a+b0,即a=b,且a-b,也就是a=b0.结合题意知充分性不成立,必要性成立,故选C.答案:C2.若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,bR,i是虚数单位),则a,b的值分别等于()A.3,-2B.3,2C.3,-3D.-
2、1,4答案:A3.1+2i1-2i=()A.-45-35iB.-45+35iC.-35-45iD.-35+45i解析:1+2i1-2i=(1+2i)25=-3+4i5,故选D.答案:D4.已知(x+i)(1-i)=y,则实数x,y分别为()A.x=-1,y=1B.x=-1,y=2C.x=1,y=1D.x=1,y=2解析:(x+i)(1-i)=(x+1)+(1-x)i,(x+1)+(1-x)i=y.x+1=y,1-x=0,x=1,y=2.答案:D5.已知z1=1+2i,z2=m+(m-1)i,且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数,则实数m的值为()A.1B.34C.43D.-34解析:
3、z1=1+2i,z2=m+(m-1)i,z1z2=(1+2i)m+(m-1)i=m+2mi+(m-1)i+2(m-1)i2=(m-2m+2)+(2m+m-1)i=(2-m)+(3m-1)i.根据题意知2-m=3m-1,得m=34.答案:B6.若z=1+i(i是虚数单位),则2z+z2等于()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i解析:z=1+i,2z+z2=21+i+(1+i)2=(1-i)+(1+i)2=(1-i)+(1+2i-1)=1+i.故选D.答案:D7.已知在复平面内,向量AB,BC,AD对应的复数分别为-2+i,3-i,1+5i,则CD对应的复数是()A.-6iB.6iC.5
4、iD.-5i解析:CD=CB+BA+AD=-BC-AB+AD,CD对应的复数为-(3-i)-(-2+i)+1+5i=5i.答案:C8.复数z=-1+i1+i-1,在复平面内z所对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:z=(-1+i)i(1+i)i-1=(-1+i)i-1+i-1=-1+i.答案:B9.若z=cos +isin(i为虚数单位),则使z2=-1的值可能是()A.6B.4C.3D.2解析:z2=(cos+isin)2=cos2+isin2=-1,sin2=0,cos2=-1,2=2k+(kZ).=k+2(kZ),令k=0知选D.答案:D10.已知i为虚数单
5、位,a为实数,若复数z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为M,则“a12”是“点M在第四象限”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:z=(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i,所以复数z在复平面内对应的点M的坐标为(a+2,1-2a).所以点M在第四象限的充要条件是a+20,且1-2a12,故选C.答案:C11.复数z=1+cos -isin(2)的模为()A.2cos 2B.-2cos 2C.2sin 2D.-2sin 2解析:(方法一)|z|=(1+cos)2+sin2=2+2cos=4cos22=2cos2.2,22,cos2
6、0,2cos2=-2cos2.(方法二)z=1+cos-isin=2cos22-2isin2cos2=2cos2cos2-isin2.2,22,cos20,8(a-2)0,解得2a6.实数a的取值范围是(2,6).21.(本小题满分12分)已知复数z满足|z|=2,z2的虚部是2.(1)求复数z;(2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求ABC的面积.解:(1)设z=a+bi(a,bR),由已知条件得,a2+b2=2,又z2=a2-b2+2abi,2ab=2.由解得a=b=1或a=b=-1,即z=1+i或z=-1-i.(2)当z=1+i时,z2=(1+i)2=2i,z-z
7、2=1-i,点A(1,1),B(0,2),C(1,-1),SABC=12|AC|1=1221=1.当z=-1-i时,z2=(-1-i)2=2i,z-z2=-1-3i.点A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),SABC=12|AC|1=1221=1.故ABC的面积为1.22.(本小题满分12分)已知复数z1=cos +isin,z2=cos -isin,且z1+1z2=12+32i,求复数z1,z2的值.解:由z1+1z2=12+32i,得cos+isin+1cos-isin=12+32i,cos+isin+cos+isin=12+32i,即(cos+cos)+i(sin+sin)=12+32i.cos+cos=12,sin+sin=32.cos=12-cos,sin=32-sin.cos2+sin2=12-cos2+32-sin2=1,整理,得cos=1-3sin,代入sin2+cos2=1,可解得sin=0或sin=32.当sin=0时,cos=1,cos=-12,sin=32.当sin=32时,cos=-12,cos=1,sin=0.z1=-12+32i,z2=1或z1=1,z2=-12-32i.