1、数学试卷（文史类）第卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A B C D2.已知，且为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3. 的三个内角所对的边分别为，则是的（ ）A充分不必要条件 B充分必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件4.方程的实数根叫作函数的“新驻点”，如果函数的“新驻点”为，那么满足（ ）A B C D5.已知是圆上异于坐标原点的任意一点，直线的倾斜角为若，则函数的大致图象是（ ）ABCD6.一个几何体的三
2、视图如图所示，则它的体积为（ ）A B C40 D207.若函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则正数的最小值为（ ）A B C D8.已知的三边长，为边上任意一点，则的最大值为（ ）A0 B36 C48 D609.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，则与的面积之比（ ）A B C D10.已知函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A B C D第卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分，将答案填在答题纸上11.对任意非零实数，若的运算原理如图所示，则_12.已知双曲线的焦距是实轴长的2倍
3、，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为_13.正四棱锥的五个顶点在同一球面上，若正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则此球的表面积为 _14.若满足约束条件，目标函数仅在点处取得最小值，则实数的取值范围是_15.已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示-10451221下列关于函数的命题：函数是周期函数；函数在上是减函数；如果当时，的最大值是2，那么的最大值为5；当时，函数有4个零点其中所有真命题的序号为_三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本题满分12分）已知数列的前项和是，且（1）求数列的通项公
4、式；（2）设，求17.（本题满分12分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数依次为1，2，3，4，5现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：123450.20.45（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求的值；（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为，等级系数为5的2件日用品为现从这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率18.（本题满分12分）已知向量 ，函数（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）已知分别
5、为内角的对边，且是函数在上的最大值，求的面积19.（本题满分12分）如图，四棱锥中，底面是矩形，底面，点是的中点，点在边上移动（1）当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；（2）证明：无论点在边的何处，都有；（3）求三棱锥体积的最大值20.（本题满分13分）设椭圆的右焦点到直线的距离为3，且过点（1）求的方程；（2）设椭圆的左顶点是，直线与椭圆相交于不同的两点均与不重合），且以为直径的圆过点，试判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标21.（本题满分14分）已知函数（1）求在上是增函数，求实数的取值范围；（2）关于的方程是否存在实根？若存在，请指出有几个实根；若不存在，请说明
6、理由；（3）求证：当时；参考答案一、选择题题号12345678910答案ACBDDAABCD二、填空题11. -3 12. 13. 14. 15. 三、解答题16.解：（1）当时， ，由得：2分是以为首项，为公比的等比数列故6分（2）由，得故，因此12分17.解：（1）由频率分布表得，即因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以，等级系数为5的恰有2件，所以，从而，所以6分（2）从日用品中任取两件，所有可能的结果为：设事件表示“从日用品中任取两件，其等级系数相等”，则包含的基本事件为：，共4个又基本事件的总数为10，故所求的概率12分18解：（1）因为，所以4分由得：，故所求单调递
7、增区间为6分（2）由（1）知，又，当，即时，取得最大值3，由得：9分由余弦定理：，可得：，从而12分19（1）解：当点为的中点时，与平面平行，在中，分别为的中点，又平面，而平面，平面4分（2）证明：平面平面，又平面，平面又平面，又，点是的中点，7分又平面，平面8分平面，9分（3）解：，而底面面积为定值要使三棱锥体积最大，只需点到底面的距离最大即点与点重合时，当点位于点时，三棱锥体积取得最大值为12分20解：（1）设右焦点为，则由点到直线的距离公式，得：，将点，代入椭圆方程可得：，故椭圆的方程为4分（2）由，得：，把它代入椭圆的方程得：，设，则，故，7分因为以为直径的圆过点，所以，所以 10分又
8、因为均与不重合，所以，所以，故直线的方程是，直线过定点，由于点在椭圆内部，所以满足判别式大于0，所以直线过定点13分21解：（1），由题意在上恒成立，当时，恒成立，即满足条件 ，当时，要使，而恒成立，故只需在上恒成立，即，解得：，综上，的取值范围为4分（2）由方程得：，令，则，由于，可知当时，；当时，故函数在上单调递减，在上单调递增，故，（随着的增长，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢，又当且无限接近于0时，趋向于正无穷大）故当时，方程有两个不同的实根；当时，方程有且仅有一个实根；当时，方程没有实根，9分（3）当时，要证明成立，只需证，即证，令，得，整理得：，时，结合，得，在上是增函数，故，从而式得证，在时，要使成立，只需证，即证，令，得，而在时为增函数，故，从而，在时为减函数，则，从而式得证，综上所述，原不等式，即在时恒成立14分