1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元质量评估(一) (第一章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.如图,在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45,在它的南偏东60的B处测得塔顶的仰角为30,若A,B的距离是20m,则塔高为()A.24mB.20mC.12mD.36m【解析】选B.设塔高CD=xm,来源:学科网ZXXK则AD=xm,DB=xm.在ABD中,ADB=150,根据余弦定理得,(20)2=x2+(x)2-2
2、x2cos150,解得x=20(负值舍去),故塔高为20m.2.(2016鞍山高二检测)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=,A=45,则角B大小为()A.60B.120C.60或120D.15或75【解析】选C.由正弦定理可得:=,由此可得sinB=,因为ba,故B=60或120.3.在ABC中,若a=5,c=13,sinA=,则ABC的面积为()A.B.30C.35D.78【解析】选B.由正弦定理可求得sinC=1,所以三角形为直角三角形,其中c为斜边,所以b=12,则三角形面积S=ab=30,故选B.4.(2016杭州高二检测)在ABC中,若lga-lgc=lg
3、sinB=-lg且B,则ABC的形状是()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【解析】选D.因为lga-lgc=lgsinB=lg()-1,所以即又因为b2=a2+c2-2accosB=a2+2a2-2aa=a2,即a=b,所以ABC为等腰直角三角形.5.已知ABC中,AB=1,BC=2,则角C的取值范围是()A.0CB.0CC.CD.C【解析】选A.因为=,所以=,所以sinC=sinA,因为0sinA1,所以0sinC.因为ABBC,所以CA,所以C为锐角,所以0C.【一题多解】选A.如图所示,以B为圆心,以1为半径画圆,则圆上除了直线BC上的点外,都可作为A点.从
4、点C向圆B作切线,设切点为A1和A2,当A与A1或A2重合时,角C最大,易知此时:BC=2,AB=1,ACAB,所以C=,所以0C.6.在ABC中,AB=2,AC=3,=5,则BC=()A.B.C.2D.【解析】选A.因为=|cos=|cosA=6cosA=5,所以cosA=,由余弦定理可得:BC2=AC2+AB2-2ACABcosA=9+4-223=3,所以BC=.7.(2016黄冈高二检测)设a,b,c为ABC的三边长,若c2=a2+b2,且sinA+cosA=,则角B的大小为()A.B.C.D.【解析】选D.c2=a2+b2C=,sinA+cosA=sin=A+=,所以角B=-=.8.(
5、2016济宁高二检测)在ABC中,若sinAsinBcosAcosB,则ABC一定为()A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【解析】选D.由sinAsinB0,即cos(A+B)0,由于A,B,C为三角形内角,所以cos(A+B)=cos(-C)=-cosC0,cosCb,且B(0,),所以B=,所以A=,所以三角形的面积为S=bcsinA=22sin=22=+1,故选B.10.ABC的三内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,若=,则角B的大小为()A.B.C.D.【解析】选B.由正弦定理得:=c2+a2-b2=-ac所以cosB=-,因为0B,所以B=.11.(201
6、6益阳高二检测)在ABC中,根据下列条件解三角形,则其中有二个解的是()A.b=10,A=45,C=70B.a=20,c=48,B=60C.a=7,b=5,A=98D.a=14,b=16,A=45【解析】选D.A.由A=45,C=70,得到B=65,又b=10,根据正弦定理=得:a,c只有一解;B.由a=20,c=48,B=60,根据余弦定理得:b2=a2+c2- 2accosB=400+2304-960=1744,所以b2=1744,则cosC0,得到C为钝角,故c为最大边,本选项只有一解;C.由a=7,b=5,A=98,根据正弦定理=得,sinB=,由A=98为钝角,即最大角,得到B只能为
7、锐角,故本选项只有一解;D.由a=14,b=16,A=45,根据正弦定理=得:sinB=,由0B135,则B有两解.12.在ABC中,A=,AB=3,AC=3,D在边BC上,且CD=2DB,则AD=()A.B.C.5D.2【解析】选A.在ABC中,利用余弦定理得:BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=27+9-27=9,即BC=3,又D在边BC上,且CD=2DB,故BD=1,CD=2,在ABD中,利用余弦定理得cosADB=,在ADC中,利用余弦定理得cosADC=,又cosADB+cosADC=0,所以+=0,解得AD=.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填
8、在题中的横线上)13.(2016济南高二检测)在相距2千米的A,B两点处测量目标点C,若CAB=75,CBA=60,则A,C两点之间的距离为_千米.【解析】由题意知C=45,由正弦定理得=,所以AC=(千米).答案:14.(2016杭州高二检测)已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边,若a2=b2+c2-bc,=+,则tanB=_.【解析】因为a2=b2+c2-bc,所以cosA=,B+C=,C=-B,由正弦定理得,=来源:Z|xx|k.Com=+=+,所以tanB=.答案:来源:学科网15.(2016郑州高二检测)如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接E
9、C,ED,则sinCED=_.【解析】记CEB=,则CED=-,在RtCEB中,BC=1,BE=2,由勾股定理有CE=,所以sin=,cos=,由两角差的正弦公式有sinCED=sin=(cos-sin)=.答案:16.(2015全国卷)在平面四边形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范围为_.【解析】如图所示,延长BA,CD交于点E,可知在ADE中,DAE=105,ADE=45,E=30.设AD=x,则AE=x,DE=x.设CD=m,由BC=2,得sin15=1,得x+m=+,所以0x4.而AB=x+m-x=x+m=+-x,所以AB的取值范围是(-,+).答案:(-,+)三、
10、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2015山东高考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cosB=,sin(A+B)=,ac=2.求sinA和c的值.【解题指南】先判断A+B,再将其看作一个整体,利用两角和与差的三角公式,结合正弦定理求解.【解析】在ABC中,cosB=,则sinB=.因为sin(A+B)=,所以A+B为钝角,cos(A+B)=-,所以sinA=sin(A+B-B)=sin(A+B)cosB-cos(A+B)sinB=-=.即sinA=.因为sinC=sin(A+B)=,sinA=,ac=2,由
11、正弦定理=,得ac=c2=c2=2,所以c=1.18.(12分)某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处,观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶.公路的走向是M站的北偏东40.开始时,汽车到A的距离为31千米,汽车前进20千米后,到A的距离缩短了10千米.问汽车还需行驶多远,才能到达M汽车站?【解析】如图,设汽车前进20千米后到达B处.在ABC中,AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理的推论得,cosC=,则sin2C=1-cos2C=,sinC=,所以sinMAC=sin(120-C)=sin 120cosC-cos 120sinC=.在MAC中,由正弦定理得:MC=35,从而有MB
12、= MC-BC=15.所以汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站.19.(12分)(2016重庆高二检测)在ABC中,内角A,B,C满足2sinAsinB来源:学科网=5sinC且cosB=.(1)求角A的大小.(2)若内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=14,求边BC上的中线AD的长.【解析】(1)在ABC中,因为cosB=,所以sinB=.代入2sinAsinB=5sinC,化简可得3sinA=7sinC.因为A+B+C=,所以sinC=sin(-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以3sinA=7sinAcosB+7cosAsinB,化简得tanA=
13、-.因为0A,所以A=.(2)因为A=,所以sinA=,sinC=.在ABC中,由正弦定理=且a=14,得c=6,b=10,在ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2ABBDcosB=36+49-267=19,所以AD=.20.(12分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ab, c=,cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.(1)求角C的大小.(2)若sinA=,求ABC的面积.【解析】(1)因为ABC中,ab,c=,cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.所以-=sin2A-sin2B,即cos2A-cos2B=sin2A
14、-sin2B,即-2sin(A+B)sin(A-B)=2cos(A+B)sin(A-B).因为ab,所以AB,sin(A-B)0,所以tan(A+B)=-,所以A+B=,所以C=.(2)因为sinA=,C=,所以A(舍去),所以cosA=.由正弦定理可得,=,即=,所以a=.所以sinB=sin(A+B)-A=sin(A+B)cosA-cos(A+B)sinA=-=,所以ABC的面积为acsinB=.21.(12分)(2016潍坊高二检测)如图,在ABC中,BC边上的中线AD长为3,且cosB=,cosADC=-.(1)求sinBAD的值.(2)求AC边的长.【解析】(1)因为cosB=,所以
15、sinB=.又cosADC=-,所以sinADC=,所以sinBAD=sin(ADC-B)=sinADCcosB-cosADCsinB=-=.(2)在ABD中,由=得:=,解得BD=2.故DC=2,从而在ADC中,由AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC=32+22-232=16,得AC=4.22.(12分)(2016成都高二检测)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对边的边长,且C=,a+b=c(其中1).(1)若=时,证明:ABC为直角三角形.(2)若=2,且c=3,求的值.【解题指南】(1)当=时,根据正弦定理及两角和与差的正弦公式确定相应角的值,从而确定ABC的形状.(2)由=2求出ab,然后与a+b=c联立结合余弦定理求出的值.【解析】(1)因为=,所以a+b=c,由正弦定理得sinA+sinB=sinC,因为C=,所以sinB+sin=,sinB+cosB+sinB=,所以sinB+cosB=,来源:Zxxk.Com则sin=,从而B+=或B+=,B=或B=.若B=,则A=,ABC为直角三角形;若B=,ABC亦为直角三角形.(2)若=2,则ab=2,所以ab=2.又a+b=3,由余弦定理知a2+b2-c2=2abcosC,即a2+b2-ab=c2=9,即(a+b)2-3ab=9,故92-2=9,2=9,2=4,即=2.关闭Word文档返回原板块