1、微专题87 离散型随机变量分布列与数字特征一、基础知识：（一）离散型随机变量分布列：1、随机变量：对于一项随机试验，会有多个可能产生的试验结果，则通过确定一个对应关系，使得每一个试验结果与一个确定的数相对应，在这种对应关系下，数字随着每次试验结果的变化而变化，将这种变化用一个变量进行表示，称这个变量为随机变量（1）事件的量化：将试验中的每个事件用一个数来进行表示，从而用“数”即可表示事件。例如：在扔硬币的试验中，用1表示正面朝上，用0表示反面朝上，则提到1，即代表正面向上的事件。将事件量化后，便可进行该试验的数字分析（计算期望与方差），同时也可以简洁的表示事件（2）量化的事件之间通常互为互斥事
2、件（3）随机变量：如果将事件量化后的数构成一个数集，则可将随机变量理解为这个集合的代表元素。它可以取到数集中每一个数，且每取到一个数时，就代表试验的一个结果。例如：在上面扔硬币的试验中，设向上的结果为，则“”代表“正面向上”，”代表“反面向上”，（4）随机变量的记法：随机变量通常用等表示（5）随机变量的概率：记为取所代表事件发生的概率2、离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量，离散型随机变量的取值集合可以是有限集，也可以是无限集3、分布列：一般地，若离散型随机变量可能取得不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：称该表格为离散型随机变量的分布列，分布列概率具
3、有的性质为：（1）（2），此性质的作用如下： 对于随机变量分布列，概率和为1，有助于检查所求概率是否正确 若在随机变量取值中有一个复杂情况，可以考虑利用概率和为1的特征，求出其他较为简单情况的概率，利用间接法求出该复杂情况的概率（二）常见的分布：1、如何分辨随机变量分布列是否符合特殊分布：（1）随机变量的取值：随机变量的取值要与特殊分布中的取值完全一致.（2）每个特殊的分布都有一个试验背景，在满足（1）的前提下可通过该试验的特征判断是否符合某分布2、常见的分布（1）两点分布：一项试验有两个结果，其中事件发生的概率为，令，则的分布列为：则称符合两点分布（也称伯努利分布），其中称为成功概率（2）超
4、几何分布：在含有个特殊元素的个元素中，不放回的任取件，其中含有特殊元素的个数记为，则有，其中即：则称随机变量服从超几何分布，记为（3）二项分布：在次独立重复试验中，事件发生的概率为，设在次试验中事件发生的次数为随机变量，则有 ，即： 则称随机变量符合二项分布，记为 （三）数字特征期望与方差1、期望：已知离散性随机变量的分布列为：则称的值为的期望，记为 （1）期望反映了随机变量取值的平均水平，换句话说，是做了次这样的试验，每次试验随机变量会取一个值（即结果所对应的数），将这些数进行统计，并计算平均数，当足够大时，平均数无限接近一个确定的数，这个数即为该随机变量的期望。例如：连续投篮三次，设投进篮
5、的次数为随机变量，那么将这种连续三次投篮的试验重复做很多次（比如次），统计每次试验中的取值，则这个值的代数平均数将很接近期望 （2）期望的运算法则：若两个随机变量存在线性对应关系：，则有 是指随机变量取值存在对应关系，且具备对应关系的一组代表事件的概率相同：若的分布列为：则的分布列为： 这个公式体现出通过随机变量的线性关系，可得期望之间的联系。在某些直接求期望的题目中，若所求期望的随机变量不符合特殊分布，但与一个特殊分布的随机变量间存在这样的关系，那么在计算期望时，便可借助这个特殊分布的随机变量计算出期望2、方差：已知离散性随机变量的分布列为：且记随机变量的期望为，用表示的方差，则有：（1）方
6、差体现了随机变量取值的分散程度，与期望的理解类似，是指做了次这样的试验，每次试验随机变量会取一个值（即结果所对应的数），将这些数进行统计。方差大说明这些数分布的比较分散，方差小说明这些数分布的较为集中（集中在期望值周围）（2）在计算方差时，除了可以用定义式之外，还可以用以下等式进行计算：设随机变量为 ，则 （3）方差的运算法则：若两个随机变量存在线性对应关系：，则有：3、常见分布的期望与方差：（1）两点分布：则 （2）二项分布：若，则 （3）超几何分布：若，则注：通常随机变量的期望和方差是通过分布列计算得出，如果题目中跳过求分布列直接问期望（或方差），则可先观察该随机变量是否符合特殊的分布，或
7、是与符合特殊分布的另一随机变量存在线性对应关系。从而跳过分布列中概率的计算，直接利用公式得到期望（或方差）二、典型例题：例1：为加强大学生实践，创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛，竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签的方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲，乙等五支队伍参加决赛（1）求决赛中甲乙两支队伍恰好排在前两位的概率（2）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为，求的分布列和数学期望（1）思路：本题可用古典概型进行解决，设为“五支队伍的比赛顺序”，则，事件为“甲乙排在前两位”，则，从而可计算出解：设事件为“甲乙排在前两位”（2）
8、思路：一共五支队伍，所以甲乙之间间隔的队伍数能取得值为，同样适用于古典概型。可先将甲，乙占上位置，然后再解决“甲乙”的顺序与其他三支队伍间的顺序问题。解：可取得值为 的分布列为：例2：为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从红塔区某学校推荐的10名教师中任选3人去参加支教活动。这10名教师中，语文教师3人，数学教师4人，英语教师3人求：（1）选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率；（2）选出的3人中，语文教师人数的分布列和数学期望（1）思路：本题可用古典概型来解，事件为“10名教师中抽取3人”，则，事件为“语文教师人数多于数学教师人数”，则分为“1语0数”，“2语1数”，“2语0数”，“3
9、语”四种情况，分别求出对应的情况的种数，加在一起即为，则即可求出。为了更好的用数学符号表示事件，可使用“字母+数字角标”的形式分别设出“3人中有名语文教师”和“3人中有名数学教师”。 设事件为“3人中有名语文教师”，为“3人中有名数学教师”，事件为“语文教师人数多于数学教师人数” （2）思路：本题可将语文老师视为特殊元素，则问题转化为“10个元素中不放回的抽取3个元素，特殊元素个数的分布列”，即符合超几何分布。随机变量的取值为，按超几何分布的概率计算公式即可求出分布列及期望 语文教师人数可取的值为，依题意可得： 的分布列为例3：某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲，乙两个田径队的所有跳高运动
10、员进行了测试，用茎叶图表示出甲，乙两队运动员本次测试的成绩（单位：cm，且均为整数），同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图，跳高成绩在185cm以上（包括185cm）定义为“优秀”，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在190cm以上（包括190cm）的只有两个人，且均在甲队（1）求甲，乙两队运动员的总人数及乙队中成绩在 （单位：cm）内的运动员人数 （2）在甲，乙两队所有成绩在180cm以上的运动员中随机选取2人，已知至少有1人成绩为“优秀”，求两人成绩均“优秀”的概率（3）在甲，乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取2人参加省中学生运动会正式比赛，
11、求所选取运动员中来自甲队的人数的分布列及期望（1）思路：本小问抓好入手点的关键是明确两个统计图的作用，茎叶图所给的数据为甲，乙两队的成绩，但乙队有残缺，所以很难从茎叶图上得到全体运动员的人数。在频率分布直方图中，所呈现的是所有运动员成绩的分布（但不区分甲，乙队），由此可明确要确定全体运动员的人数，需要通过直方图，要确定各队的情况，则需要茎叶图。要补齐乙队的数据，则两个图要结合着看。在第（1）问中，可以以190cm以上的人数为突破口，通过频率直方图可知190cm以上所占的频率为，而190cm以上只有2人，从而得到全体人数，然后再根据频率直方图得到的人数，减去甲队的人数即为 解：由频率直方图可知：
12、成绩在以190cm以上的运动员的频率为所以全体运动馆总人数（人） 成绩位于中运动员的频率为，人数为 由茎叶图可知：甲队成绩在的运动员有3名（人）（2）思路：通过频率直方图可知180cm以上运动员总数为：（人），结合茎叶图可知乙在180cm以上不缺数据。题目所求的是条件概率，所以可想到公式，分别求出“至少有1人成绩为优秀”和“两人成绩均优秀”的概率，然后再代入计算即可解：由频率直方图可得：180cm以上运动员总数为：由茎叶图可得，甲乙队180cm以上人数恰好10人，且优秀的人数为6人 乙在这部分数据不缺失设事件为“至少有1人成绩优秀”，事件为“两人成绩均优秀” （3）思路：由（2）及茎叶图可得：
13、在优秀的6名运动员中，甲占了4名，乙占了2名，依题意可知的取值为，且符合超几何分布，进而可按公式进行概率的计算解：由（2）可得：甲有4名优秀队员，乙有2名优秀队员可取的值为 的分布列为： 例4：现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望
14、.（1）思路：按题意要求可知去参加甲游戏的概率为，参加乙游戏的概率为，4个人扔骰子相互独立，所以属于独立重复试验模型，利用该模型求出概率即可。解：依题意可得：参加甲游戏的概率为，参加乙游戏的概率为设事件为“有个人参加甲游戏” （2）思路：若甲游戏人数大于乙游戏人数，即为事件，又因为互斥，所以根据加法公式可得：，进而可计算出概率解：设事件为“甲游戏人数大于乙游戏人数” （3）思路：表示两个游戏人数的差，所以可取的值为。时对应的情况为，时对应的情况为，时对应的情况为，从而可计算出对应的概率，得到分布列解：可取的值为例5：某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯
15、的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是分钟（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望，方差解：（1）思路：条件中说明各路口遇到红灯的情况相互独立，。在第三个路口首次遇到红灯，即前两次没有遇到，第三次遇到红灯。使用概率乘法即可计算解：设事件为“在第个路口遇到红灯”，则， 设事件为“第三个路口首次遇到红灯”即 （2）思路：在上学途中遇到一次红灯就需要停留2分钟，一共四个路口，所以要停留的时间可取的值为，依题意可知的取值对应的遇到红灯次数为，且该模型属于独立重复试验模型，所以可用形如二项分布的公式计算遇到红灯次数的概率，即为
16、对应取值的概率，从而列出分布列，在计算期望与方差时，如果借用分布列计算，虽然可得到答案，但过程比较复杂（尤其是方差），考虑到符合二项分布，其期望与方差可通过公式迅速得到，且与之间存在联系：。所以先利用二项分布求出的期望与方差，再利用运算公式得到的期望方差即可解：可取的值为，设遇到红灯的次数为，则对应的值为 的分布列为： 小炼有话说：本题的亮点在于求的期望方差时，并不是生硬套用公式计算，而是寻找一个有特殊分布的随机变量，通过两随机变量的联系（线性关系）和的期望方差来得到所求。例6：甲，乙去某公司应聘面试，该公司的面试方案为:应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.
17、已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响（1) 分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望；（2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？（1）思路：依题意可知对于甲而言，只要在抽题的过程中，抽中甲会答的题目，则甲一定能够答对，所以甲完成面试题数的关键在于抽题，即从6道题目中抽取3道，抽到甲会的4道题的数量，可知符合超几何分布；对于乙而言，抽的题目是无差别的，答对的概率相同，所以乙正确完成面试题数符合二项分布。从而利用超几何分布与二项分布的概率公式即可得到分布列和方差解：（1）设为甲正确完成面试题的数量
18、，为乙正确完成面试题的数量，依题意可得：，可取的值为 的分布列为： 的分布列为：（2）思路：由（1）可知，说明甲，乙两个人的平均水平相同，所以考虑甲，乙发挥的稳定性，即再计算，比较它们的大小即可解：甲发挥的稳定性更强，则甲胜出的概率较大小炼有话说：（1）第（2）问在决策时，用到了期望和方差的意义，即期望表明随机变量取值的平均情况，而方差体现了随机变量取值是相对分散（不稳定）还是集中（稳定），了解它们的含义有助于解决此类问题（2）当随机变量符合特殊分布时，其方差也有公式以方便运算： 二项分布：若，则 超几何分布：若，则例7：某个海边旅游景点，有小型游艇出租供游客出海游玩，收费标准如下：租用时间不
19、超过2小时收费100，超过2小时的部分按每小时100收取（不足一小时按一小时计算）现甲、乙两人独立来该景点租用小型游艇，各租一次设甲、乙租用不超过两小时的概率分别为，租用2小时以上且不超过3小时的概率分别为，两人租用的时间都不超过4小时（1）求甲、乙两人所付费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望解：（1）设事件为“甲，乙租用时间均不超过2小时” 事件为“甲，乙租用时间均在2小时至3小时之间” 事件为“甲，乙租用时间均在3小时至4小时之间” 故所求事件的概率（2）的取值可以为则 故的分布列为：例8：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器上方的入口处，小球
20、自由下落，在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入袋或袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左，右两边下落的概率分别是 （1）分别求出小球落入袋和袋中的概率（2）在容器入口处依次放入4个小球，记为落入袋中的小球个数，求的分布列和数学期望（1）思路：本题的关键要抓住小球下落的特点，通过观察图形可得：小球要经历三层障碍物，且在经历每层障碍物时，只有一直向左边或者一直向右边下落，才有可能落到袋中，其余的情况均落入袋，所以以袋为突破口即可求出概率解：设事件为“小球落入袋”，事件为“小球落入袋”，可知 依题意可得： （2）思路：每个小球下落的过程是彼此独立的，所以属于独立重复试验模型，由（1）可得：在
21、每次试验中，落入袋发生的概率为，所以服从二项分布，即，运用二项分布概率计算公式即可得到答案解：可取的值为，可知 的分布列为： 例9“已知正方形的边长为，分别是边的中点（1）在正方形内部随机取一点，求满足的概率；（2）从这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为，求随机变量的分布列与数学期望（1）思路：首先明确本题应该利用几何概型求解（基本事件位等可能事件，且基本事件个数为无限多个）。为“正方形内部的点”，所以，设事件为“”，则点位于以为圆心，为半径的圆内，所以为正方形与圆的公共部分面积，计算可得：，从而算出解：设事件为“”（2）思路：八个点中任取两点，由正方形性质可知两点距离可取的值为
22、，概率的计算可用古典概型完成。为“八个点中任取两点”，则，当时，两点为边上相邻两点，共8组；当时，该两点与中点相关有4组；当时，除了正方形四条边，还有，所以由6组；当时，该两点为顶点与对边中点，共8组；当时，只能是正方形对角线，有2组，根据每种情况的个数即可计算出概率，完成分布列解： 可取的值为 的分布列为：例10：一种电脑屏幕保护画面，只有符号和随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现和之一，其中出现的概率为，出现的概率为，若第次出现，则记；出现，则记，令（1）当时，求的分布列及数学期望（2）当时，求且的概率（1）思路：依题意可知表示试验进行了三次，可能的情况为3，12，21，3。且符
23、合独立重复试验模型。根据题目要求可知对应的取值为，分别计算出概率即可列出分布列解：的取值为 的分布列为：（2）思路：由可知在8次试验中出现5次，3次。而可知在前四次中，出现的次数要大于出现的次数，可根据前四次出现的个数进行分类讨论，并根据安排和出现的顺序解：设为“前四次试验中出现个，且， 三、历年好题精选1、已知箱装有编号为的五个小球（小球除编号不同之外，其他完全相同），箱装有编号为的两个小球（小球除编号不同之外，其他完全相同）,甲从A箱中任取一个小球，乙从B箱中任取一个小球，用分别表示甲，乙两人取得的小球上的数字.来源:学科网（1）求概率；（2）设随机变量，求的分布列及数学期望.2、春节期间
24、，某商场决定从3种服装，2种家电，3种日用品中，选出3种商品进行促销活动（1）试求出选出的3种商品中至少有一种是家电的概率（2）商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高100元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖机会：若中一次奖，则获得数额为元的奖金；若中两次奖，则共获得数额为元的奖金，若中3次奖，则共获得数额为元的奖金，假设顾客每次抽奖中奖的概率都是，请问：商场将奖金数额最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利3、为了搞好某次大型会议的接待工作，组委会在某校招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图（单位：cm）若身高在175
25、cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，切只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”（1）求12名男志愿者的中位数（2）如果用分层抽样的方法从所有“高个子”，“非高个子”中共抽取5人，再从这5个人中选2人，那么至少有一个是“高个子”的概率是多少？（3）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列并求出期望4、如图所示：机器人海宝按照以下程序运行： 从A出发到达点B或C或D，到达点B,C,D之一就停止 每次只向右或向下按路线运行 在每个路口向下的概率为 到达P时只向下，到达Q点只向右（1）
26、求海宝从点A经过M到点B的概率和从A经过N到点C的概率（2）记海宝到B,C,D的事件分别记为，求随机变量的分布列及期望5、如图，一个小球从处投入，通过管道自上而下落至或或，已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的，某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入到小球落到，则分别设为一、二、三等奖（1）已知获得一、二、三、等奖的折扣率分别为，记随机变量为获得等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望（2）若由3人参加促销活动，记随机变量为获得一等奖或二等奖的人数，求 6、某地区一个季节下雨天的概率是0.3，气象台预报天气的准确率为0.8，某场生产的产品当天怕雨，若下雨而不作处理，每天会损失300
27、0元，若对当天产品作防雨处理，可使产品不受损失，费用是每天500元（1）若该厂任其自然不作防雨处理，写出每天损失的概率分布，并求其平均值（2）若该厂完全按气象预报作防雨处理，以表示每天的损失，写出的概率分布，计算的平均值，并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择7、正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，从正四棱柱的12条棱中任取两条，设为随机变量，当两条棱相交时，记；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，记（1）求概率（2）求的分布列，并求其数学期望8、投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能
28、通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用。设稿件能通过各初审专家评审的概率均为，复审的稿件能通过评审的概率为（1）求投到该杂志的一篇稿件被录用的概率（2）记表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求的分布列及期望9、（2016，湖南师大附中月考）师大附中高一研究性学习小组，在某一高速公路服务区，从小型汽车中按进服务区的先后，以每间隔10辆就抽取一辆的抽样方法抽取20名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（）分成六段：统计后得到如下图的频率分布直方图（1）此研究性学习小组在采集中，用到的是什么抽样方法？并求这20辆小型汽车车速的
29、众数和中位数的估计值；（2）若从车速在的车辆中做任意抽取3辆，求车速在和内都有车辆的概率；（3）若从车速在的车辆中任意抽取3辆，求车速在的车辆数的数学期望10、已知暗箱中开始有3个红球，2个白球（所有的球除颜色外其它均相同），现每次从暗箱中取出一个球后，再将此球以及与它同色的5个球（共6个球）一起放回箱中（1）求第二次取出红球的概率（2）求第三次取出白球的概率（3）设取出白球得5分，取出红球得8分，求连续取球3次得分的分布列和数学期望11、某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满200元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红色球，1个黄色球，1个蓝色球和
30、1个黑色球，顾客不放回的每次摸出1个球，直至摸到黑色球停止摸奖，规定摸到红色球奖励10元，摸到黄色球或蓝色球奖励5元，摸到黑色球无奖励（1）求一名顾客摸球3次停止摸奖的概率（2）记为一名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布列和数学期望12、某技术部门对工程师进行达标等级考核，需要进行两轮测试，每轮测试的成绩在9.5分及以上的定为该轮测试通过，只有通过第一轮测试的人员才能进行第二轮测试，两轮测试的过程相互独立，并规定： 两轮测试均通过的定为一级工程师 仅通过第一轮测试，而第二轮测试没通过的定为二级工程师 第一轮测试没通过的不予定级已知甲，乙，丙三位工程师通过第一轮测试的概率分别为；通过第二轮
31、测试的概率均为（1）求经过本次考核，甲被定为一级工程师，乙被定为二级工程师的概率（2）求经过本次考核，甲，乙，丙三位工程师中恰有两位被定为一级工程师的概率（3）设甲，乙，丙三位工程师中被定为一级工程师的人数为随机变量，求的分布列和数学期望13、（2015，广东）已知随机变量服从二项分布，若，则_14、（2015，安徽）已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果.（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品
32、时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和均值15、（2015，福建）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为，求的分布列和数学期望16、（2015，天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名
33、，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（1）设为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件发生的概率；（2）设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望.17、（2015，山东）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分
34、.（1）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（2）若甲参加活动，求甲得分的分布列和数学期望18、（2014，四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得200分)设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相
35、关知识分析分数减少的原因19、（2016，唐山一中）设不等式确定的平面区域为，确定的平面区域为.（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域内的概率；（2）在区域内任取3个点，记这3个点在区域内的个数为，求的分布列和数学期望.20、（2016，天一大联考）某猜数字游戏规则如下：主持人给出8个数字，其中有一个是幸运数字，甲，乙，丙三人依次来猜这个幸运数字，有人猜中或者三人都未猜中游戏结束。甲先猜一个数，如果甲猜中，则甲获得10元奖金，如果甲没有猜中，则主持人去掉四个非幸运数字（包括甲猜的）；乙从剩下的四个数中猜一个，如果乙猜中，则甲，乙均获得5元
36、奖金，如果乙没有猜中，则主持人再去掉两个非幸运数字（包括乙猜的）；丙从剩下的两个数中猜一个，如果丙猜中，则甲，乙，丙均获得2元奖金。如果丙没有猜中，则三个人均没有奖金（1）求甲至少获得5元奖金的概率（2）记乙获得的奖金为元，求的分布列及数学期望21、（2016，广东省四校第二次联考）为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表分数（分数段）频数（人数）频率60，70）970，80）0.3880，90）1
37、60.3290，100）合 计1（1）求出上表中的的值；（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序已知高一二班有甲、乙两名同学取得决赛资格 求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率； 记高一二班在决赛中进入前三名的人数为，求的分布列和数学期望22、（2016，唐山一模）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满200元减50元：方案二：每满200元可抽奖一次具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优
38、惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）（1）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；（2）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？习题答案：1、解析：（1）设事件为“取出号球”，设事件为“取出号球”，则（2）的取值为 的分布列为：2、解析：(1)设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A，从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品，一共有种不同的选法，选出的3种商品中，没有家电的选法有种所以，选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为（2）设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量，其所有可能的取值为 3、解析：（1）由茎叶图可得：男志愿者
39、身高数据为： 所以中位数为： （2）由茎叶图可得：“高个子”12人，“非高个子”18人所以这5个人中，有2个高个子，3个“非高个子”设事件为：“至少有一个是高个子” （3）由茎叶图可得高个子中能担任礼仪小姐的有4人则可取的值为 的分布列为： 4、解析：（1）依题意可得每个路口向下的概率为，向右的概率为 设事件为“点A经过M到点B” 设事件为“从A经过N到点C”（2） 的分布列为： 5、解析：（1）可取的值为 的分布列为： （2）由（1）可知：获得一等奖或二等奖的概率为，且 6、解析：（1）可取的值为，依题意可得： （2）可取的值为 的分布列为： ，所以按天气预报作防雨处理是正确的选择 7、解：
40、（1）（2）可取的值为 的分布列为：8、解：（1）设事件为“一篇稿件被录用”（2）可取的值为，可知 的分布列为： 9、解析：（1）此研究性学习小组在采样中，用到的抽样方法是系统抽样这40辆小型汽车车速众数的估计值为87.5，中位数的估计值为87.5（2）车速在的车辆有辆，其中速度在和内的车辆分别有4辆和6辆设事件为“内有辆车”，事件为“内有辆车”，事件为“车速在和内都有车辆”（3）车速在的车辆共有7辆，车速在和的车辆分别有5辆和2辆，若从车速在的车辆中任意抽取3辆，设车速在的车辆数为，则的可能取值为1、2、3，故分布列为123车速在的车辆数的数学期望为10、解析：（1）设事件为“第二次取出红球
41、”可得（2）设事件为“第三次取出白球”，则包含白白白，白红白，红白白，红红白 （3）可取的值为的分布列为：11、解：（1）设事件为“一名顾客摸球3次停止摸奖”则（2）的取值为 的分布列为：12、解：（1）设事件为“甲被定为一级工程师，乙被定为二级工程师”所以（2）设甲，乙，丙被定为一级工程师的事件分别为，事件表示所求事件 （3）可取的值为 的分布列为：13、答案： 解析：因为，所以，从而，可得 14、解析：（1）设事件为“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品” （2）的可能取值为 的分布列为： 15、解析：（1）设事件为“当天小王的该银行卡被锁定” （2）依题意得，所有可能的取值是1，2
42、，3 的分布列为： 16、解析：（1） （2）所有可能的取值是1，2，3，4，可知符合超几何分布所以随机变量的分布列为所以随机变量的数学期望17、解：（1） （2）所有可能的取值是 的分布列为：X0-11P18、解析：（1）所有可能的取值是 X1020100200P的分布列为：（2）设“第盘没有出现音乐”为事件 所以 设事件为“玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐” （3）由（1）知， 这表明，获得的分数的均值为负值所以多次游戏之后分数减少的可能性更大19、解析：（1）依题意可得中整点为：共13个，中整点为，设事件为“整点中恰有2个整点在区域内”（2）平面区域的面积为，平面区域的面积为可取的值为可知 的分布列为：20、解析：（1）设事件为“甲至少获得5元奖金”（2）依题意可知可取的值为 的分布列为：21、解析：（1）由题意知，由上的数据，所以，同理可得：（2） 由（1）可得，参加决赛的选手共人设事件为“甲不在第一位、乙不在第六位” 随机变量的可能取值为 所以的分布列为：22、解析：（1）设事件为“顾客获得半价”，则所以两位顾客至少一人获得半价的概率为：（2）若选择方案一，则付款金额为若选择方案二，记付款金额为元，则可取的值为 所以方案二更为划算