1、微专题25数列中常见的求和问题真 题 感 悟(2018江苏卷)已知集合Ax|x2n1,nN*,Bx|x2n,nN*.将AB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列an.记Sn为数列an的前n项和,则使得Sn12an1成立的n的最小值为_.解析所有的正奇数和2n(nN*)按照从小到大的顺序排列构成an,在数列an中,25前面有16个正奇数,即a2125,a3826.当n1时,S1112a224,不符合题意;当n2时,S2312a336,不符合题意;当n3时,S3612a448,不符合题意;当n4时,S41012a560,不符合题意;当n26时,S264416250312a28540,符合题意.故使
2、得Sn12an1成立的n的最小值为27.答案27考 点 整 合数列求和(1)分组转化法:一个数列既不是等差数列,也不是等比数列,若将这个数列适当拆开,重新组合,就会变成几个可以求和的部分,分别求和,然后再合并.(2)错位相减法:主要用于求数列anbn的前n项和,其中an,bn分别是等差数列和等比数列.(3)裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式,然后通过累加抵消中间若干项的方法,裂项相消法适用于形如(其中an是各项均不为零的等差数列,c为常数)的数列.热点一分组转化法求和【例1】 (2019南京高三月考)已知等差数列an的首项a12,前n项和为Sn,等比数列bn的首项b11,且a
3、2b3,S36b2,nN*.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)数列cn满足cnbn(1)nan,记数列cn的前n项和为Tn,求Tn.解(1)设数列an的公差为d,数列bn的公比为q.a12,b11,且a2b3,S36b2,解得an2(n1)22n,bn2n1.(2)由题意:cnbn(1)nan2n1(1)n2n.Tn(1242n1)2468(1)n2n,若n为偶数,则Tn(24)(68)2(n1)2n2n122nn1.若n为奇数,则Tn(24)(68)2(n2)2(n1)2n2n122n2nn2.Tn探究提高1.在处理一般数列求和时,一定要注意运用转化思想,把一般的数列求和转化为等差数列
4、或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时,常常根据需要对项数n进行讨论,最后再验证是否可以合并为一个表达式.2.分组求和的策略:(1)根据等差、等比数列分组;(2)根据正号、负号分组.【训练1】 已知an是等比数列,其前n项和为Sn(nN*),且,S663.(1)求数列an的通项公式;(2)若对任意的nN*,bn是log2an和log2an1的等差中项,求数列(1)nb的前2n项和.解(1)设数列an的公比为q.由已知,有,解得q2或q1.又由S6a163,知q1,所以a163,得a11.所以an2n1,nN*.(2)由题意,得bn(log2anlog2an1)(log22n1log22n)
5、n,即bn是首项为,公差为1的等差数列.设数列(1)nb的前n项和为Tn,则T2n(bb)(bb)(bb)b1b2b3b4b2n1b2nn2n2.热点二裂项相消法求和【例2】 (2019扬州期末)已知各项都是正数的数列an的前n项和为Sn,且2Snaan,数列bn满足b1,2bn1bn.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设数列cn满足cn,求和c1c2cn.解(1)2Snaan,2Sn1aan1,得2an1aaan1an,即(an1an)(an1an1)0.因为an是正数数列,所以an1an10,即an1an1.在2Snaan中,令n1,得a11,所以an是以a11为首项,公差为1的等差
6、数列.所以ann.由2bn1bn得,所以数列是等比数列,其中首项为,公比为,所以,即bn.(2)由(1)得cn,所以cn,所以c1c2cn.探究提高1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项,使这些裂开的项出现有规律的相互抵消,要注意消去了哪些项,保留了哪些项.2.消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.【训练2】 (2015江苏卷)设数列an满足a11,且an1ann1(nN*),则数列前10项的和为_.解析a11,an1ann1,a2a12,a3a23,anan1n(n2),将以上n1个式子相加得ana123n,即an(n2).又n1时,a1也
7、适合上式,故an.令bn,故bn2,故S10b1b2b102.答案热点三错位相减法求和【例3】 已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2b312,b3a42a1,S1111b4.(1)求an和bn的通项公式;(2)求数列a2nbn的前n项和(nN*).解(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,由已知b2b312,得b1(qq2)12,而b12,所以q2q60,又因为q0,故解得q2,所以bn2n.由b3a42a1,可得3da18,由S1111b4,可得a15d16,联立,解得a11,d3,由此可得an3n2.所以an的通项公式为
8、an3n2,bn的通项公式为bn2n.(2)设数列a2nbn的前n项和为Tn,由a2n6n2,bn2n,有Tn 4210221623(6n2)2n,2Tn42210231624(6n8)2n(6n2)2n1,上述两式相减,得Tn4262262362n(6n2)2n1,4(6n2)2n1(3n4)2n216.所以Tn(3n4)2n216.所以数列a2nbn的前n项和为(3n4)2n216.探究提高1.一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比,然后作差求解.2.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注
9、意将两式“错项对齐”,以便下一步准确地写出“SnqSn”的表达式.【训练3】 (2018浙江卷)已知等比数列an的公比q1,且a3a4a528,a42是a3,a5的等差中项.数列bn满足b11,数列(bn1bn)an的前n项和为2n2n.(1)求q的值;(2)求数列bn的通项公式.解(1)由a42是a3,a5的等差中项得a3a52a44,所以a3a4a53a4428,解得a48.由a3a520得820,解得q2或q,因为q1,所以q2.(2)设cn(bn1bn)an,数列cn前n项和为Sn.由cn解得cn4n1.由(1)可知an2n1,所以bn1bn(4n1),故bnbn1(4n5),n2,b
10、nb1(bnbn1)(bn1bn2)(b3b2)(b2b1)(4n5)(4n9)73.设Tn3711(4n5),n2,则Tn37(4n9)(4n5),所以Tn344441(4n5)7(4n3),因此Tn14(4n3),n2,又b11,所以bn15(4n3),n2,又b11也适合上式,所以bn15(4n3)(nN*).【新题感悟】 (2019天津卷)设an是等差数列,bn是等比数列.已知a14,b16,b22a22,b32a34.(1)求an和bn的通项公式;(2)设数列cn满足c11,cn其中kN*.求数列a2n(c2n1)的通项公式;求1aici(nN*).解(1)设等差数列an的公差为d,
11、等比数列bn的公比为q.依题意得解得故an4(n1)33n1,bn62n132n.所以an的通项公式为an3n1,bn的通项公式为bn32n.(2)a2n(c2n1)a2n(bn1)(32n1)(32n1)94n1.所以数列a2n(c2n1)的通项公式为a2n(c2n1)94n1.1aiciaiai(ci1)aia2i(c2i1) (94i1)(322n152n1)9n2722n152n1n12(nN*).一、填空题1.已知数列1,3,5,7,则其前n项和Sn为_.解析an(2n1),Snn21.答案n212.(2019如皋市高三模拟)已知数列an的前n项和为Sn,a11,且满足Snan1,则
12、数列Sn的前10项的和为_.解析由Snan1,得Sn1an(n2).两式相减得anan1an,an12an(n2),又a2S1a11,anSn2n1,则数列Sn的前10项的和为1 023.答案1 0233.若数列an是首项为a13,公比q1的等比数列,Sn是其前n项和,且a5是4a1与2a3的等差中项,则S19_.解析由题意得2a54a12a3,所以6q4126q2,即(q2)2q220,解得q21(舍去负值),又因为q1,所以q1,所以S1919a157.答案574.等差数列an的前n项和为Sn,a33,S410,则 _.解析设an首项为a1,公差为d,则由得Sn, 22.答案5.(2019
13、无锡模拟)数列an满足anan1(nN*),且a11,Sn是数列an的前n项和,则S21_.解析由anan1an1an2,an2an,则a1a3a5a21,a2a4a6a20,S21a1(a2a3)(a4a5)(a20a21)1106.答案66.在等差数列an中,a10,a10a110,a10a110可知d0,a110,故q2.由a12a25得a12a1q5,所以a11,故数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)及bn1bnan得bn1bn2n1,故b2b120,b3b221,bnbn12n2(n2),以上n1个等式相加得bnb11212n22n11,又b12,所以bn2n11(n2).
14、又当n1时,b12也适合上式,所以bn2n11.(3)cn,所以Tnc1c2cn.10.(2017山东卷)已知an是各项均为正数的等比数列,且a1a26,a1a2a3.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn,且S2n1bnbn1,求数列的前n项和Tn.解(1)设数列an的公比为q,由题意知a1(1q)6,aqa1q2,又an0,解得a12,q2,所以an2n.(2)由题意知S2n1(2n1)bn1,又S2n1bnbn1,bn10,所以bn2n1.令cn,则cn,因此Tnc1c2cn,Tn,两式相减得Tn,所以Tn5.11.(2018天津卷)设an是等差数
15、列,其前n项和为Sn(nN*);bn是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn(nN*).已知b11,b3b22,b4a3a5,b5a42a6.(1)求Sn和Tn;(2)若Sn(T1T2Tn)an4bn,求正整数n的值.解(1)设等比数列bn的公比为q(q0).由b11,b3b22,可得q2q20.因为q0,可得q2,故bn2n1.所以Tn2n1.设等差数列an的公差为d.由b4a3a5,可得a13d4.由b5a42a6,可得3a113d16,从而a11,d1,故ann.所以Sn.(2)由(1),有T1T2Tn(21222n)nn2n1n2.由Sn(T1T2Tn)an4bn可得2n1n2n2n1,整理得n23n40,解得n1(舍),或n4.所以n的值为4.