1、2实际问题中的函数模型课后训练巩固提升1.某工厂6年来生产某种产品的情况是:前三年年产量的增长速度越来越快,后三年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()解析:由于前三年年产量的增长速度越来越快,可用指数函数刻画,后三年年产量保持不变,可用一次函数刻画,故选A.答案:A2.某品牌电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1x4,xN+)之间关系的是()A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=502xD.y=100x
2、解析:当x=4时,A中,y=400;B中,y=700;C中,y=800;D中,y=1004.答案:C3.某商店出售A,B两种价格不同的商品,由于商品A连续两次提价20%,同时商品B连续两次降价20%,结果都以每件23元售出,若商店同时售出这两种商品各一件,则与价格不升不降时的情况比较,商店盈利情况是()A.多赚约6元B.少赚约6元C.多赚约2元D.盈利相同解析:设A,B两种商品的原价分别为a,b,则a(1+20%)2=b(1-20%)2=23,解得a=232536,b=232516,则a+b-466(元).答案:B4.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y=4x,1x10,
3、xN,2x+10,10x10,不合题意;若2x+10=60,则x=25,满足题意;若1.5x=60,则x=400,且b1).由题图知函数的图象经过点(1,2),(2,4),(3,8),分别代入函数解析式,可得a=1,b=2,c=0.函数解析式为y=2x,即底数为2.25=3230,说法正确.指数函数增加速度越来越快,说法不正确.t1=1,t2=log23,t3=log26,说法正确.指数函数增加速度越来越快,说法不正确.答案:B6.下列函数图象分别与其后所列的一个现实情境相匹配:情境A:一份30 min前从冰箱里取出来,然后被放到微波炉里加热,最后放到餐桌上的食物的温度(将0时刻确定为食物从冰
4、箱里被取出来的那一刻);情境B:一个1970年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值(它被一个爱好者收藏,并且被保存得很好);情境C:从你刚开始放水洗澡,到你洗完后把水排掉这段时间浴缸里水的高度;情境D:根据乘客人数,每辆公交车一趟营运的利润.其中情境A,B,C,D对应的图象分别是.解析:对于A,加热时升温快,然后再变凉,易知为;对于B,这时的物品价值先下降,直到收藏后价值才会升值,因此显然为;对于C,由于洗澡一般是间歇性用水,所以易知水高度函数图象有多重折线,因此显然为;对于D,乘客人数越多,利润越大,显然是.答案:7.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(m/s)和燃料的质量M(k
5、g)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关系式是v=2 000ln(1+Mm).当燃料质量是火箭质量的倍时,火箭的最大速度可达12 km/s.解析:当v=12000时,2000ln1+Mm=12000,ln1+Mm=6,Mm=e6-1.答案:e6-18.芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可以美化居室、净化空气,还可以美容保健,因此深受人们欢迎,在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟,为了了解行情,进行市场调研,从4月1日起,芦荟的种植成本Q(单位:元/10 kg)与上市时间t(单位:天)的数据情况如下表:t50110250Q150108150(1)根据上表数据,从下
6、列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=abt,Q=alogbt;(2)利用你选择的函数,求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.解:(1)由所提供的数据可知,刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数,若用函数Q=at+b,Q=abt,Q=alogbt中的任意一个来反映时都应有a0,且上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据不符合,所以应选用二次函数Q=at2+bt+c进行描述.将表格所提供的三组数据分别代入函数Q=at2+bt+c,可得150=2500a+50b+c,108=12100a+110b
7、+c,150=62500a+250b+c,解得a=1200,b=-32,c=4252.所以,刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数解析式为Q=1200t2-32t+4252.(2)当t=-3221200=150(天)时,芦荟种植成本最低,为Q=12001502-32150+4252=100(元/10kg).9.某商场计划投入一笔资金采购一批紧销商品,经过市场调查发现,如果月初出售,可获利15%,并可用本和利再投资其他商品,到月末又可获利10%;如果月末出售,可获利30%,但要付出仓储费用700元,请根据商场情况,分析如何购销获利较多?解:设商场投资x元,在月初出售,到月末可获利y1元,
8、在月末出售,可获利y2元,则y1=15%x+10%(x+15%x)=0.265x,y2=30%x-700=0.3x-700.在同一平面直角坐标系中,画出函数y1=0.265x和y2=0.3x-700的图象如图所示,得两图象的交点坐标为(20000,5300).由图象,知当x20000时,y2y1;当x=20000时,y1=y2;当x20000时,y2y1.当投资小于20000元时,月初出售;当投资等于20000元时,月初、月末出售均可;当投资大于20000元时,月末出售.10.我市某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与市场预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1,B产品的利润与投资的算术
9、平方根成正比,其关系如图2.(注:利润与投资单位:万元)(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数.(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元?(精确到1万元)图1图2解:(1)设投资x万元,A产品的利润为f(x)万元,B产品的利润为g(x)万元.由题设f(x)=k1x,g(x)=k2x(k10,k20),由题图知f(1)=14,k1=14.又g(4)=52,k2=54.从而f(x)=14x(x0),g(x)=54x(x0).(2)设A产品投入x万元,则B产品投入(10-x)万元,企业利润为y万元.则y=f(x)+g(10-x)=x4+5410-x(0x10),令10-x=t,则x=10-t2(0t10),则y=10-t24+54t=-14t-522+6516(0t10),当t=52时,ymax=65164,此时x=10-254=3.75(万元).当A产品投入3.75万元,B产品投入6.25万元时,企业获得最大利润约为4万元.