1、陕西省西安市蓝田县2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 一元二次不等式的解集为（ ）A. 或B. 或C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.【详解】二次方程根是和1，故一元二次不等式的解集是.故选：C.2. 在等差数列中，若为其前项和，则的值是（ ）A. 60B. 11C. 50D. 55【答案】D【解析】【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果.【详解】因为在等差数列中，若为其前项和，所以.故选：D.3. 设，则有（ ）A
2、. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据作差法比较大小即可得答案.【详解】解： , .故选：A.4. 在中，角，的对边分别为，若，则此三角形解的情况为（ ）A. 无解B. 只有一解C. 有两解D. 解的个数不确定【答案】B【解析】【分析】由正弦定理可得，进而判断解的情况.【详解】因为，所以由正弦定理可得，所以或，当时，满足题意；当时，不能构成三角形，舍去.综上，即三角形的解只有一个.故选：B5. 已知数列的前项和，则（ ）A. 20B. 17C. 18D. 19【答案】C【解析】【分析】根据题中条件，由，即可得出结果【详解】因为数列的前项和，所以故选：C6. 若且，则下列不等式中一
3、定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质即可判断.【详解】对于A，若，则不等式不成立；对于B，若，则不等式不成立；对于C，若均为负值，则不等式不成立；对于D，不等号的两边同乘负值，不等号的方向改变，故正确；故选：D【点睛】本题主要考查不等式的性质，需熟练掌握性质，属于基础题.7. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题中条件，得到恒成立，分别讨论和两种情况，即可得出结果.【详解】因为关于的不等式的解集为，所以不等式恒成立，若，则不等式可化为，显然恒成立；若，又恒成立，只需，解得，综上，实
4、数的取值范围是.故选：C.8. 周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为：（ ）A. 15.5尺B. 12.5尺C. 9.5尺D. 6.5尺【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出立夏的影子长即可.【详解】因为从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，故可设该等差数列为，小寒、大寒、立
5、春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种的日影子长分别计为， ，公差为，由题可得： ，即，解之得：，所以立夏日影子长为：（尺）.故选：D.【点睛】本题考查等差数列的应用，考查等差数列基本量的计算，考查逻辑分析能力和运算求解能力，属于常考题.9. 在中，角，的对边分别为，且，则的形状为（ ）A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形【答案】B【解析】【分析】先由正弦定理，以及题中条件，将原式化为，得出，即可判断出结果.【详解】又得，根据正弦定理，得到，则，所以，即，则，又角，为三角形内角，所以，因此，即为直角三角形.故选：B.10. 已知数列的首项为2，且数列满
6、足，数列的前项和为，则为( )A 504B. 588C. D. 【答案】C【解析】【分析】算出数列前项，则可发现为周期数列，故可求【详解】，数列的周期为4，且，故选C.【点睛】对于数列，我们考虑其单调性和周期性，所谓周期性，就是存在不为零的正整数，是的对任意的恒成立，而数列为增数列，则指任意的，总有11. 在各项均为正数的等比数列中，则的最大值是（ ）A. 25B. C. 5D. 【答案】B【解析】【分析】由等比数列的性质，求得，再结合基本不等式，即可求得的最大值，得到答案.【详解】由等比数列的性质，可得，又因为，所以，所以，当且仅当时取等号故选：B.12. 数列满足，对，都有，则（ ）A.
7、B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意知，利用累加法可求得，所以，根据列项相消法求得和.【详解】因为对，都有且，所以，则， 所以.故选：D【点睛】本题考查累加法求数列通项公式，列项相消法求数列前n项和，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题）13. 不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，进行求解即可【详解】不等式等价为，即，即，则不等式的解集为，故答案为【点睛】本题主要考查分式不等式的求解，将其转化为一元二次不等式是解决本题的关键，注意分母不为014. 若，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先计算，再利用同向可加性求的取值范围即可.【详解
8、】由得，即，又，所以.故答案为：.15. 若，满足约束条件，则的最大值为_【答案】6【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由，可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线在y轴截距最大时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目
9、标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.16. 如图所示，为了测量、两岛屿的距离，小明在处观测到、分别在处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶10海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西60方向，则、两岛屿的距离为_海里.【答案】【解析】【分析】中利用正弦定理求出，中求得，再在中利用余弦定理即得结果.【详解】连接AB，依题意， 中，故由正弦定理得，即，得.中，故.中，故由余弦定理得.故答案为：.三、解答题（
10、本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 在中,角,所对的边分别为,且.（1）求；（2）若,的面积为,求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用正弦定理边角互化,结合两角和的正弦公式化简求解即可.(2)根据三角形的面积公式可得,再代入余弦定理求解即可.【详解】解：（1）由正弦定理得,所以,则,又因为,所以,所以；（2）的面积为,所以,解得,由,所以.【点睛】本题主要考查了解三角形与三角恒等变换的运用,需要根据题意选择合适的公式进行化简.属于基础题.18. 已知数列的前项和为.（1）求证：数列是等差数列；（2）求的最大值及取得最大值时的值.【答案】（1）证明见解析；
11、（2）前16项或前17项和最大，最大值为.【解析】【分析】（1）先由求通项公式，再利用定义法证明即可；（2）先判断的n的范围，得到数列的正负分布，即得何时最大.【详解】解：（1）证明：当时，又当时，满足，故的通项公式为，.故数列是以32为首项，为公差的等差数列；（2）令，即，解得，故数列的前16项或前17项和最大，此时.19. 在中，角，的对边分别为，且，.（1）求的外接圆半径；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先利用正弦定理化角为边，结合余弦定理求出角C，再利用正弦定理即得外接圆半径；（2）先利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，再利用面积公式即得到面积的最
12、大值.【详解】（1）由正弦定理得，即，故由余弦定理得，；（2），由，得，由，得，即，当且仅当时取等号.面积的最大值为.20. 已知正项等比数列满足，数列满足.（1）求数列，的通项公式；（2）令求数列的前n项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质得出公比为，从而得出数列的通项公式，由对数的运算性质得出的通项公式；（2）求出，利用错位相减法求和即可.【详解】（1）正项等比数列的公比为，由，可得，解得（舍）可得，则（2）两式相减可得化简可得【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式以及利用错位相减法求和，属于中档题.21. 已知函数.（1）若不等式的解集是，求a的值；（2
13、）当时，求不等式的解集.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据不等式的解集得出的根，将其代入方程即可得出的值；（2）将不等式变形为，讨论参数的值，利用一元二次不等式的解法得出解集.【详解】解：（1）不等式的解集是与是方程的实根，且则解得.（2）不等式可化为 若，则，即. 若，则， 方程的解为或，当，即时，原不等式的解集为R； 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为. 综上所述，原不等式的解集情形如下：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集R；当时，解集为.【点睛】本题主要考查了已知一元二次不等式的解集求参数以及分类讨论解一元二次不等式，属于中档题.22. 某
14、单位决定投资元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每长造价元，两侧墙砌砖，每长造价元，（1）求该仓库面积的最大值；（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶.顶部每造价元，求仓库面积的最大值，并求出此时正面铁栅应设计为多长？【答案】（1）.（2）的最大值是平方米，此时铁栅的长是米【解析】分析】设铁栅长为米，一侧砖墙长为米，（1）根据总投资额列方程，由此利用基本不等式求得的取值范围，进而求得仓库面积的最大值.（2）根据总投资额列方程，然后利用基本不等式进行化简，求得关于的不等式，解不等式求得的取值范围，并根据基本不等式等号成立的条件，求得此时正面铁栅的长.【详解】设铁栅长为米，一侧砖墙长为米，仓库面积.（1）（2）依题设，得，由基本不等式得，则，即，故，从而，所以的最大允许值是平方米.取得此最大值的条件是且，解得，即铁栅的长是米.点睛】本小题主要考查利用基本不等式求解实际应用问题，属于中档题.
