1、14高考对于导数几何意义的必会题型1已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为_答案2解析设直线yx1切曲线yln(xa)于点(x0，y0)，则y01x0，y0ln(x0a)，又y，y|xx01，即x0a1.又y0ln(x0a)，从而y00，x01，a2.2(2014课标全国改编)设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a_.答案3解析令f(x)axln(x1)，则f(x)a.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f(0)a1.又切线方程为y2x，则有a12，a3.3曲线y在点(1，1)处的切线方程为_答案2xy10解析易知点(1，1)在曲线上，且y，
2、所以切线斜率ky|x12.由点斜式得切线方程为y12(x1)，即2xy10.4曲线yxln x在点(e，e)处的切线与直线xay1垂直，则实数a的值为_答案2解析依题意得y1ln x，y|xe1ln e2，所以21，a2.5(2014大纲全国改编)曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于_答案2解析yex1xex1(x1)ex1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y|x12.6已知函数f(x)x33x，若过点A(0，16)且与曲线yf(x)相切的切线方程为yax16，则实数a的值是_答案9解析先设切点为M(x0，y0)，则切点在曲线y0x3x0上，求导数得到切线的斜率kf(x0)3x3，又
3、切线过A、M两点，所以k，则3x3.联立可解得x02，y02，从而实数a的值为ak9.7(2013广东)若曲线yax2ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a_.答案解析y2ax，所以y|x12a10，所以a.8(2013江西)若曲线yx1(R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则_.答案2解析yx1，y|x1.曲线在点(1,2)处的切线方程为y2(x1)，将点(0,0)代入得2.9(2014江西)若曲线yex上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_答案(ln 2,2)解析设P(x0，y0)，yex，yex，点P处的切线斜率为kex02，x0ln 2，x0ln 2，y0el
4、n 22，点P的坐标为(ln 2,2)10设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值(1)解方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)证明设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(x0)(1)(xx0)令x0得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为(0，)令yx得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以
5、点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.11(2014北京)已知函数f(x)2x33x.(1)求f(x)在区间2,1上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切，求t的取值范围；(3)问过点A(1,2)，B(2,10)，C(0,2)分别存在几条直线与曲线yf(x)相切？(只需写出结论)解(1)由f(x)2x33x得f(x)6x23.令f(x)0，得x或x.因为f(2)10，f，f，f(1)1，所以f(x)在区间2,1上的最大值为f.(2)设过点P(
6、1，t)的直线与曲线yf(x)相切于点(x0，y0)，则y02x3x0，且切线斜率为k6x3，所以切线方程为yy0(6x3)(xx0)，因此ty0(6x3)(1x0)，整理得4x6xt30.设g(x)4x36x2t3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切”等价于“g(x)有3个不同的零点”g(x)12x212x12x(x1)当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下：x(，0)0(0,1)1(1，)g(x)00g(x)t3t1所以，g(0)t3是g(x)的极大值，g(1)t1是g(x)的极小值当g(0)t30，即t3时，g(x)在区间(，1和(1，)上分别至多有1个零点，所以
7、g(x)至多有2个零点当g(1)t10，即t1时，g(x)在区间(，0)和0，)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点当g(0)0且g(1)0，即3t1时，因为g(1)t70，所以g(x)分别在区间1,0)，0,1)和1,2)上恰有1个零点由于g(x)在区间(，0)和(1，)上单调，所以g(x)分别在区间(，0)和1，)上恰有1个零点综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切时，t的取值范围是(3，1)(3)过点A(1,2)存在3条直线与曲线yf(x)相切；过点B(2,10)存在2条直线与曲线yf(x)相切；过点C(0,2)存在1条直线与曲线yf(x)相切12(20
8、14课标全国)设函数f(x)aexln x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye(x1)2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)1.(1)解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)aexln xexex1ex1.由题意可得f(1)2，f(1)e.故a1，b2.(2)证明由(1)知，f(x)exln xex1，从而f(x)1等价于xln xxex.设函数g(x)xln x，则g(x)1ln x.所以当x(0，)时，g(x)0.故g(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，从而g(x)在(0，)上的最小值为g().设函数h(x)xex，则h(x)ex(1x)所以当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0时，g(x)h(x)，即f(x)1.