1、河南省实验中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 理 （时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知，则（ ）A B C2 D2用反证法证明“若a，bR，则a，b不全为0”时，假设正确的是（ ）Aa，b中只有一个为0Ba，b至少一个不为0Ca，b至少有一个为0Da，b全为03下列运算正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D44用数学归纳法证明时，第二步应假设（ ）A时， B时，C时， D时，5记为等差数列的前n项和，若，.则数列的通项公式（ ）A. B. C. D. 6若直线和曲线相
2、切，则实数的值为（ ）A. B. 2 C. 1 D. 7函数的导函数为，则函数的大致图象为（ ）8. 设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）A. B. C. D. 9某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程则以下说法错误的是（ ）A丙有可能没有选素描 B丁有可能没有选素描C乙丁可能两门课都相同 D这四个人里恰有2个人选素描10已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则的解集是（ ）A B C D11已知函数，若，则的最小值为（ ）A B
3、 C D12已知，则的大小关系是（ ）A B C D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13已知函数，则 .14已知各项均为正数的等比数列中，是它的前项和，若，且，则 .15如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是圆O的直径，上底C、D的端点在圆周上，则所裁剪出的等腰梯形面积最大值为 .16已知函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实根，则实数的取值范围为 .三.解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17(本小题满分
4、12分)在中，内角所对的边分别为,，若（）求角的大小；（）若，点在边上，且，求的长度18(本小题满分12分)已知函数（）当时，求的极值；（）若，求的单调区间19(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，为的中点（）求证：；（）若，求平面CDM与平面BDM所成锐二面角的余弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C：的离心率为，F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，P是椭圆C上一点，且PF1F2的周长是6（）求椭圆C的方程；（）设斜率为的直线交x轴于T点，交曲线C于A，B两点，是否存在使得为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由21（本小题满分12分）已知函数，（）设，若函数
5、在区间，上是减函数，求实数的取值范围；（）若函数区间上的最小值为1，求实数的值（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程选讲（10分）在平面直角坐标xOy中，已知曲线的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（）写出曲线的普通方程和直线l的直角坐标方程；（）若直线l上的两个动点M，N满足，点P在曲线上，以M，N，P为顶点构造平行四边形MNPQ，求平行四边形MNPQ面积的最大值.23.选修45：不等式选讲（10分）已知不等式的解集为（）求集合；（）已知为集合中的最
6、小正整数，若均为正数，且，求证：河南省实验中学20202021学年下期期中试卷理科数学参考答案一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号123456789101112选项DDACBCBDCADB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13. 14. 31 15. 16. 三.解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 解：（）由正弦定理可化为，即，所以，因为，所以，即，4分因为为三角形内角，所以，所以；所以；6分（）由余弦定理得，故，8分因为在边上，且，所以，又，10分所以，所以12分18.
7、解：（）因为当时，所以，由得或，2分当变化时，的变化情况列表如下：1200单调递增单调递减单调递增所以当时，取极大值；当时，取极小值6分（），7分当时，当，单调递增，当，单调递减，当，单调递增当时，在恒成立，所以在上单调递增；当时，当，单调递增，当，单调递减，当，单调递增，11分综上所述，当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调增区间为，无减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为12分19. 解：（）连接AC交BD于E，连接EM，则E为AC中点，EM为APC的中位线，EMAP，又，.4分（），所以，取BC中点O，AD中点F，连接PO，OF，则，又因为，所以，所以两两垂直；6分如图，
8、以O为原点，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，所以，8分设平面BDM的法向量为，则，即，取；设平面CDM的法向量为，则，即，取，10分所以，所以平面CDM与平面BDM所成锐二面角的余弦值为.12分20. 解：（）由题意知；，解得，所以椭圆C的方程为.4分（）假设存在，则，设，设直线，化简得，6分为定值，10分所以，所以，所以.12分21. 解：（），则，因为在，上为减函数，所以在，上恒成立，即对，恒成立，所以对，恒成立，因为，在，上单调递减，则函数的最小值为，所以；经检验可得满足条件；所以实数的取值范围为.5分（），则，又在上恒成立，则在上单调递增，区间上的最小值为1，存在唯一的，使得，即，所以当时，单调递减，当,时，单调递增，则的最小值为，由题意可知， 9分由得，又因为关于单调递减，且，所以，带入可得 ， 12分22. 解：（）曲线的参数方程为，消去参数，可得曲线的标准方程为2分直线l的极坐标方程为，化简可得， 5分（）设，则点P到直线的距离，所以，当且仅当，即取到最大值，所以平行四边形MNPQ面积的最大值10分23.解（）等价于或或 ，解得或或，则；5分（）证明：由（）可得，因为均为正数，由柯西不等式可得当且仅当，即时等号成立.10分
