1、第四章质量评估(B)(时间:120分钟分值:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.计算:log225log522=()A.3B.4C.5D.6解析:log225log522=lg25lg2lg232lg5=3.故选A.答案:A2.若集合M=y|y=2x,P=x|y=log(2x-1)3x-2,则MP=()A.23,+B.12,1(1,+)C.12,+D.23,1(1,+)解析:集合M表示函数y=2x的值域,为(0,+);集合P表示函数y=log(2x-1)3x-2的定义域,则3x-20,2x-10,2x-11,解得x23,且
2、x1,故选D.答案:D3.下列给出的函数f(x)的图象中,能使函数y=f(x)-1没有零点的是()ABCD解析:只有选项C中的图象与直线y=1无交点,故选C.答案:C4.已知函数f(x)是奇函数,当x0时,f(x)=lnx,则ff1e2的值为()A.1ln2B.-1ln2C.-ln 2D.ln 2解析:因为1e20,所以f1e2=ln 1e2=ln e-2=-2,所以ff1e2=f(-2)=-f(2)=-ln 2,故选C.答案:C5.若a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为()A.acbB.abcC.bcaD.cab解析:由log52log55=0.
3、5,知alog0.50.5=1,知b1.由0.510.50.20.50,知0.5c1.所以acb.答案:A6.由于天气干旱,某湖泊的存水量在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2019年湖泊的存水量为m,那么2024年湖泊的存水量为()A.(1-0.1250)mB.0.9110mC.0.9250mD.(1-0.9110)m解析:设湖泊的存水量每年减少的百分率为a,则有(1-a)50=1-10%,所以a=1-0.9150.从2019年起,过x年后湖泊的存水量y与x的函数关系是y=m(1-a)x=0.9x50m.到2024年时,x=5,此时y=0.9110m.答案:B7.当0a-log1ax
4、的解集是()A.(0,+)B.(0,2)C.(2,4)D.(0,4)解析:因为-log1ax=logax,所以原不等式等价于loga(4-x)logax.又因为0a0,4-x0,4-xx,解得2x2,-x2+a,x2的值域为R,则常数a的取值范围是()A.(-,1B.1,+)C.(-,5D.5,+)解析:当x2时,y=log2x1,所以要使函数的值域为R,则使y=-x2+a(x2)的最大值a1.故选B.答案:B二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列运算结果中,一定正确的是()A.a3
5、a4=a7B.(-a2)3=a6C.8a8=aD.5(-)5=-答案:AD10.若函数f(x)=ax+b-1(a0,且a1)的图象经过第一、三、四象限,则一定有()A.a1B.0a0D.b0答案:AD11.已知函数f(x)=1x+12x2-2,利用零点存在定理确定各零点所在的范围.下列区间中一定存在零点的是()A.(-3,-2)B.12,1C.(2,3)D.-1,12答案:ABD12.对于0a1,下列四个不等式中成立的是()A.loga(1+a)loga1+1aC.a1+aa1+1a答案:BD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间(2,4)
6、上的实数根时,取中点x1=3,则下一个有根区间是(2,3).解析:设f(x)=x3-2x-5,则f(2)0,f(4)0,所以f(2)f(3)0,且a1,则函数f(x)=3+loga(x2+1)的图象恒过定点(0,3);当a1时,函数f(x)的单调递减区间是(-,0或(-,0).15.若函数f(x)=ax-x-a(a0,且a1)有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是(1,+).解析:分a1与0a1的情况,图表示0a1时,两个函数的图象有两个交点,所以实数a的取值范围是(1,+).16.若x0是方程ax=logax(0a1)的解,则x0,1,a这三个数的大小关系是ax01.解析:如图所示,在同一平
7、面直角坐标系中作出函数y1=ax和y2=logax的图象.由图象可以看出x01,logax0a,所以ax00,且a1)在区间14,2上的最大值为2.(1)求a的值;(2)若0a0成立的x的取值范围.解:(1)由题意,当a1时,函数f(x)=logax在区间14,2上单调递增,因此f(x)max=f(2)=loga2=2,解得a=2;当0a0,即loga(f(x)-2)loga1,又0a1,根据对数函数的性质,可得0f(x)-21,即2log12x3,解得18x0,所以3x=4,解得x=log34.(2)令3x=t,因为x-1,1,所以t13,3.由f(x)-8,可得t2-3mt-4-8,3mt
8、+4t对t13,3恒成立,因为t+4t24=4,当且仅当t=4t,即t=2时,t+4t取得最小值4,所以3m4,故m43,所以m的取值范围是-,43.20. (12分)(1)试分析函数y=log2(x-1)的图象可通过对函数y=log2x的图象进行怎样的变换而得到?(2)在坐标系中作出y=|log2(x-1)|的图象.(3)设函数y=12x与函数y=|log2(x-1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1,x2,设M=x1x2-2(x1+x2)+4,请判断M的符号.解:(1)函数y=log2(x-1)的图象是由y=log2x的图象向右平移1个单位得到的.(2)在坐标系中作出y=|log2(x-
9、1)|的图象,如图所示.(3)设函数y=12x与函数y=|log2(x-1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1,x2,图象如图,由图可知,x1,x2中一个大于2,一个小于2,所以M=x1x2-2(x1+x2)+4=(x1-2)(x2-2)0且a1).(1)若f(1)0,试判断函数单调性并求使不等式f(x2+tx)+f(4-x)0且a1),因为f(1)0,所以a-1a0,且a1,所以0ax1,f(x2)-f(x1)=ax2-a-x2-(ax1-a-x1).因为ax2ax1,a-x1a-x2,所以f(x2)-f(x1)0.所以f(x)在定义域内为减函数.又f(x)=-f(-x),所以函数f(x)
10、为奇函数,所以不等式可化为f(x2+tx)x-4,即x2+(t-1)x+40恒成立,所以=(t-1)2-160,解得-3t5.(2)因为f(1)=32,所以a-1a=32,2a2-3a-2=0,所以a=2或a=-12(舍去).所以g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2.令t=f(x)=2x-2-x,f(x)=2x-2-x为增函数.因为x1,所以tf(1)=32,令h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2t32.若m32,h(t)min=h(m)=2-m2=-2,所以m=2;若m32,舍去.综上可知,m=2.22. (12分)(1
11、)请根据对数函数f(x)=logax(a1)来指出函数g(x)=logxa(a1)的定义域、值域及单调性(不要求证明),并画出图象.(2)对数可以将乘除运算转化为加减运算,请证明:loga(xy)=logax+logay(a0,a1,且x,y0).(3)已知M=3361,N=1080,甲、乙两名同学都估算了MN的近似值.甲认为是1073,乙认为是1093.若x,y,m均为实数,且x=10s,y=10t,m=10u,满足|s-u|t-u|,则称y比x接近m.请你判断哪名同学的近似值更接近MN,并说明理由(lg 30.477 121).(1)解:g(x)=logxa=1logax,定义域:(0,1)(1,+);值域:(-,0)(0,+);该函数在区间(0,1)和区间(1,+)上单调递减.函数g(x)的图象如图所示.(2)证明:设N=logax,M=logayx=aN,y=aMxy=aNaM=aN+MN+M=loga(xy),即loga(xy)=logax+logay.(3)解:MN=33611080lgMN=361lg 3-8092.24.甲的估值1073lg 1073=73,乙的估值1093lg 1093=93.因为lg1073-lgMNlg1093-lgMN,所以乙同学的近似值更接近MN.