1、西安中学2019-2020学年度第二学期期中考试高二数学（理科）试题（时间：120分钟 满分：150分） 注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，时间120分钟；2答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上；3以下所有试题的答案均须书写在答题卡的相应位置第卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知，i是虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的乘法运算法则，即可求解.【详解】根据复数的运算法则，可得.故选：D.【点睛】本题
2、主要考查了复数的运算法则，其中解答中熟记复数的乘法运算法则是解答的关键，考查了计算能力.2.定积分（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】根据定积分计算可得选项.【详解】，故选：A.【点睛】本题考查定积分的计算，属于基础题.3.已知函数，则的值为( )A. 1B. C. 0D. 【答案】C【解析】【分析】根据复合函数求导法则可求得，代入即可得到结果.【详解】 故选：【点睛】本题考查导数值的求解问题，关键是熟练掌握复合函数求导法则，属于基础题.4.三角形面积为，为三角形三边长，为三角形内切圆半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为（ ）A. B. C. （为四面体的高）D.
3、 （其中，分别为四面体四个面的面积，为四面体内切球的半径，设四面体的内切球的球心为，则球心到四个面的距离都是）【答案】D【解析】【分析】根据平面与空间的类比推理，由点类比直线，由直线类比平面，由内切圆类比内切球，由平面图形的面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比四面体的体积计算方法，即可求解【详解】设四面体的内切球的球心为，则球心到四个面的距离都是，根据三角形的面积的求解方法：利用分割法，将与四个顶点连起来，可得四面体的体积等于以为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积之和，即，故选D【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，其中解答中类比推理是将已知的一类数学对象的性质类比到另
4、一类数学对象上去，通常一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质取推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题，本题属于基础题5.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为（ ）A. 中至少有两个偶数B. 中至少有两个偶数或都是奇数C. 都是奇数D. 都是偶数【答案】B【解析】【分析】用反证法证明某命题时,应先假设命题的反面成立，求出要证的命题的否定，即为所求.【详解】解：用反证法证明某命题时,应先假设命题的反面成立，及要证的命题的否定成立，而命题：“自然数中恰有一个偶数”的否定为“中至少有两个偶数或都是奇数”，故选：B【点睛】本题主要考查用反
5、证法证明数学命题，求一个命题的否定，属于中档题.6.函数在区间上的平均变化率为3，则实数m的值为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】D【解析】【分析】据题意，求出函数在间上的平均变化率，进而可得，解可得的值，即可得答案【详解】解解：根据题意，函数在区间上的平均变化率为，则有，解可得：，故选：D【点睛】本题考查变化率的计算，注意变化率的计算公式，属于基础题7.如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断：在区间内单调递增； 在区间内单调递减；在区间内单调递增； 是极小值点； 是极大值点.其中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用使f（x）0的区间是
6、增区间，使f（x）0的区间是减区间，分别对进行逐一判定，导数等于零的值是极值，先增后减是极大值，先减后增是极小值，再对进行判定【详解】对于，f（x）在区间（-2,2）内有正有负，故函数yf（x）在区间（-2,2）内有增有减，故不正确；对于，在区间（2,4）,f（x）0,故f（x）单增，故不正确；对于，在区间（2,3）,f（x）0,故f（x）单增，故正确；对于，当x 时，函数f（x），故不正确；对于，当x时，f（x）=0，且f（x）先正后负，x=4为极大值点故正确故选A【点睛】本题考查了通过导函数图象判定原函数的单调性，以及极值问题，属于易错题8.已知不等式对一切恒成立，则实数m的取值范围为（
7、）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用绝对值三角不等式求出的最小值，m小于等于最小值即可.【详解】，根据题意可得.故选：A【点睛】本题考查绝对值三角不等式，属于基础题.9.已知，则的最小值是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由条件利用柯西不等式得，由此求得的最小值【详解】解：因，根据柯西不等式，可得， ，故，当且仅当时取等号，故的最小值为，所以选D【点睛】本题主要考查柯西不等式的简单应用10.用数学归纳法证明不等式时，从到不等式左边增添的项数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当时,不等式左边为,共有项，当时,不等式坐左边为,共有项，增添的
8、项数.故答案为C.11.在等比数列中，函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出，按导数的运算法则求导，令代入相应值即可得解.【详解】，.故选：B【点睛】本题考查等比数列的基本量求解、导数运算法则，属于基础题.12.已知函数是上的单调增函数，则的取值范围是( )A. B. 或C. D. 或【答案】C【解析】【分析】根据函数单调性可知在上恒成立，分别在和两种情况下，结合二次函数的性质求得结果.【详解】由题意得：在上恒成立当时，满足题意当时，则需，解得：综上所述：故选：【点睛】本题考查根据函数的单调性求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为导函数在实数范围内恒大于等于零
9、的问题；易错点是在求解时，忽略对二次项系数是否为零的讨论.第卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.计算：_【答案】【解析】【分析】根据定积分的几何意义，表示以为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一.【详解】表示直线与曲线和轴围成的图形的面积.如图.图形中阴影部分的面积是以为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一.所以故答案为：【点睛】本题考查了定积分的几何意义，属于基础题14.比较大小：_（用，或填空）【答案】【解析】【分析】利用作差法比较大小；【详解】解：即故答案为：【点睛】本题考查作差法比较大小，属于基础题.15.将正整数有规律地排列如下：则在此表中第行第列出现
10、的数字是_.【答案】【解析】【分析】根据等差数列的求和求解前行的数字个数,再分析第行第列出现的数字即可.【详解】依题意可知第行有个数字,前行的数字个数为个,可得前行共个,即第行最后一个数为,第行第列出现的数字是,故答案为：.【点睛】本题主要考查了等差数列的运用,属于中档题.16.已知，函数当时，函数的最小值为_；若在区间上的最大值是5，则实数a的取值范围为_【答案】 (1). 4 (2). 【解析】【分析】分，进行讨论，结合基本不等式，即可求出函数的最小值.求出，从而分成，三种情况，去掉绝对值号，结合已知函数的最大值，求出实数a的取值范围.【详解】解：当时，.当时，当且仅当，即时等号成立，即；
11、当时，当且仅当，即时等号成立，即；综上所述，函数的最小值为4.解：当时，当且仅当，即时等号成立，当时，；当时，所以.(1)当时，所以，即(舍)；(2)当时，成立；(3)当时，则 或，解得或；综上所述，.故答案为:4; .【点睛】本题考查了基本不等式，考查了函数最值的求解，考查了分类的数学思想.求函数的最值时，可以结合函数的单调性求解，可以结合函数的图像进行求解，可以结合导数求解，也可以结合基本不等式求解.运用基本不等式求最值时，注意一正二定三相等.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知复数，（）若为纯虚数，求m的值；（）若对应的点在直线上，求m的值【答案】（）（）
12、【解析】【分析】（）将复数整理成代数形式，根据实部为0，虚部不为0，列式可解得结果；（）根据复数的几何意义得到复数所对应的点，再代入直线方程可解得结果.【详解】解：由题意，复数，则， （）若为纯虚数，则有，解得： （）根据对应的点在上，可得，解得：【点睛】本题考查了复数的概念，考查了复数的几何意义，属于基础题.18.设函数.(1)求函数的单调区间.(2)求函数的极值.【答案】(1)增区间为和，减区间为;(2)极大值为，极小值为【解析】【分析】（1）求导后，根据导函数的正负可确定原函数的单调区间；（2）根据单调性可确定极值点，代入原函数求得极值.【详解】（1）当时，；当时，的单调递增区间为和；单
13、调递减区间为（2）由（1）可知在处取得极大值，在处取得极小值极大值为，极小值为【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调性和极值的问题；关键是明确函数单调性与导函数正负之间的关系、极值的定义，属于基础应用.19.设函数点处有极值.(1)求常数的值;(2)求曲线与轴所围成的图形的面积.【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）求出导函数，利用函数在处有极值，由且,解方程组，即可求得的值；（2）利用定积分的几何意义，先确定确定函数的积分区间，被积函数，再求出原函数，利用微积分基本定理，结合函数的对称性即可得结论.【详解】(1)由题意知,且,即,解得.(2)如图,由1问知.作出曲线的草图,所求面积为
14、阴影部分的面积. 由得曲线与轴的交点坐标是,和,而是上的奇函数,函数图象关于原点中心对称.所以轴右侧阴影面积与轴左侧阴影面积相等.所以所求图形的面积为 .【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值、定积分的几何意义以及微积分基本定理的应用，属于中档题. 已知函数的极值求参数的一般步骤是：（1）列方程求参数；（2）检验方程的解的两边导函数符号是否相反.20.已知函数，（）当时，求不等式的解集；（）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（）当时， 分类讨论，即可求得不等式的解集；（）根据分段函数的解析式，结合函数在区间上单调递增，得出，即可求解实数a的取
15、值范围.【详解】（）当时， 由，可得，或，或，解得，所以不等式的解集为 （）由题意，函数，因为函数在区间上单调递增，且函数是连续不间断的， 所以，解得，故所求实数a的取值范围是【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及分段函数的性质的应用，其中解答中熟记含绝对值的不等式的解法是解答的关键，着重考查分类讨论思想，以及运算与求解能力.21.已知，且.（1）求的取值范围；（2）求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】分析】（1）由条件等式将用表示，再从，进一步求出的范围，将问题转化为求二次函数的取值范围，二次函数配方，即可求解；（2）根据已知条件转化证明，利用基本不等式即可得证.【详解
16、】（1）依题意，故.所以，所以，即的取值范围为.（2）因为，所以，当且仅当时，等号成立，又因为，所以.【点睛】本题主要考查配方法、基本不等式和不等式证明等基础知识，解题中注意应用条件等式，属于中档题.22.已知函数.（）若在区间上为单调递增函数，求实数a的取值范围；（）若，设直线为函数的图像在处的切线，求证：【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（）由在区间上为单调递增函数，转化为对恒成立，即对恒成立求解.（）当时，先求得函数的图像在处的切线方程：，构造函数，用导数证明即可.【详解】（）因为，所以，因为在区间上为单调递增函数，所以对恒成立，故对恒成立，（）当时，函数的图像在处的切线方程为：令，则设，则，在R上单调递减，因为，当时，当时，当时，当时，在区间上为增函数，在区间上为减函数，即【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式证明，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
