1、2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义 必备知识自主学习 1.向量加法的定义及其运算法则 导思(1)两个向量相加有哪些运算法则?(2)当两非零向量a,b共线时,向量加法的平行四边形法则还能用吗?三角形法则呢?定义求_的运算,叫做向量的加法法则三角 形法 则前提已知非零向量a,b,在平面内任取一点A作法作 =a,=b,再作向量 结论向量 叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=_=_图形 两个向量和 ABBCACACABBCAC法则平行 四边 形法 则前提已知不共线的两个向量a,b,在平面内任取一 点O作法以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边 作OACB结论对角线_
2、就是a与b的和图形 规定零向量与任一向量a的和都有a+0=_OC0+a【思考】(1)向量求和的三角形法则中“非零”二字去掉可以吗?为什么?提示:不可以.对于零向量与任一向量a,规定0+a=a+0=a,不需要应用三角形法则.(2)向量求和的平行四边形法则中“不共线”是否多余,去掉可以吗?提示:不能,因为如果两个向量共线,就无法以它们为邻边作出平行四边形,也不会产生和向量.2.向量加法的运算律 交换律结合律a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)【思考】(a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c)成立吗?提示:成立,向量的加法满足交换律和结合律,因此在进行多个向量的加法运算时,可以按照任意的
3、次序和任意的组合去进行.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)=0.()(2)()(3)a+(b+c)=c+(a+b).()ABBAAB BD DCAC.2.如图,D,E,F分别为ABC的边AB,BC,CA的中点,则()A.AD BE CFB.BD CF DFC.AD CE CFD.BD BE FC00003.(教材二次开发:例题改编)若a表示“向东走8 km”,b表示“向北走8 km”,则|a+b|=_,a+b的方向是_.关键能力合作学习 类型一 向量的加法法则(数学抽象、直观想象)角度1 利用加法法则作出向量的和 【典例】(1)如图,利用向量加法的三角形法则作出a+b;(
4、2)如图,利用向量加法的平行四边形法则作出a+b.【思路导引】(1)利用相等向量与向量加法的三角形法则求解.(2)利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则作图.【变式探究】如图,已知三个向量a,b,c,试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量a+b+c.角度2 利用加法法则求向量的和 【典例】如图,在ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DEBC,ABCF,连接CD,那么(在横线上只填上一个向量):=_;=_.AB DFAD FC【思路导引】利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则表示图中的向量,求出结果即可.【解题策略】1.向量求和的注意点.(1)三角形法则对于两
5、个向量共线时也适用.(2)两个向量的和向量仍是一个向量.(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.2.利用三角形法则时,要注意两向量“首尾顺次相连”,其和向量为“起点指向终点”的向量;利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”,其和向量为共起点的“对角线”向量.【题组训练】1.化简 的结果等于()A.0 B.C.D.【解析】选A.=0.OP PQ QSSOOQSPSQOP PQ QSSO2.在矩形ABCD中,|=4,|=2,则向量 的长度等于()A.2 B.4 C.12 D.6【解析】选B.因为 +=,所以 +的长度为 的模的2倍,即4 .ABBCAB AD AC55ABADACABADAC
6、AC5【拓展延伸】向量求和的多边形法则 (1)已知n个向量,依次首尾相接,则由起始向量的起点指向 末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和,这称为向量求 和的多边形法则.即 (2)首尾顺次相接的若干向量求和,若构成一个封闭图形,则它们的和为0.011223n 2n 1n 1n0nA AA AA AAAAAA A.【拓展训练】若四边形ABCD为菱形,则下列等式中成立的是()A.B.C.D.【解析】选A.因为四边形ABCD为菱形,所以 ,.ABBCACABACBCACBABDACADDCABBCACABACBCACBABDACADDC类型二 向量加法运算律的应用(数学抽象、直观想象)【典例】1.向量
7、 化简后等于()A.B.C.D.2.化简:(1)(2)ABMBBOBCOMCBABACAM(MA BN)(AC CB).AB(BD CA)DC.【思路导引】利用向量加法运算律化简.【解析】1.选C.2.(1)(2)(AB MB)(BO BC)OM(AB BC)(BO OM MB)ACAC.0(MA BN)(AC CB)(MA AC)(CB BN)MC CN MN.AB(BD CA)DC AB BD DC CA.0【解题策略】向量加法运算律的意义和应用原则(1)意义:向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据,实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向
8、量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.(2)应用原则:利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相接”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.【跟踪训练】1.在平行四边形ABCD中(如图),对角线AC,BD交于点O,则 =_.=_.=_.=_.ADABCDACDOABADCDACBADA2.化简:(1)(2)【解析】(1)(2)BC AB.DB CD BC.BC AB AB BC AC.DB CD BC BC CD DB(BC CD)DB BD DB.0类型三 向量加法的应用(数学建模、逻辑推理)角度1 几何应用 【典例】用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.【
9、思路导引】将互相平分利用向量表达,以此为条件推证使四边形为平行四边形的向量等式成立.【变式探究】若将本例改为:四边形ABCD中,且|=|,试求证四边形ABCD为矩形.ABDCBCBABCAB 角度2 实际应用 【典例】一架执行任务的飞机从A地按北偏西30的方向飞行300 km后到达B地,然后向C地飞行,已知C地在A地北偏东60的方向处,且A,C两地相距300 km,求 飞机从B地到C地飞行的方向及B,C间的距离.【思路导引】根据题意画出图形,利用向量加法的三角形法则,用 表示 出 ,进而求解问题.BA AC，BC【解题策略】利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤【题组训练】1.在ABCD中,|
10、=3,|=4,则:(1)|_7(填“”“”“”或“”);(2)若|=5,则此四边形为_.【解析】(1)三角形两边之和大于第三边.(2)由|2+|2=|2,可知ABC为直角三角形,则此四边形为矩形.答案:(1)(2)矩形 ABACBCACABBCAC2.轮船从A港沿北偏东60方向行驶了40 km到达B处,再由B处沿正北方向行驶40 km到达C处,求此时轮船与A港的相对位置.1.下列命题中正确的个数为()(1)如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么(a+b)a;(2)在平行四边形ABCD中,必有 =;(3)若 =,则A,B,C,D为平行四边形的四个顶点;(4)若a,b均为非零向量,则|a+b|a
11、|+|b|.A.0 B.1 C.2 D.3 课堂检测素养达标 BCADBCAD2.(教材二次开发:练习改编)如图,四边形ABCD是梯形,ADBC,则 =()【解析】选B.OA BC ABA.CD B.OC C.DA D.COOA BC AB OA AB BC OB BC OC.3.(2020襄阳高一检测)已知ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足 则下列结论中正确的是()A.P在ABC的内部 B.P在ABC的边AB上 C.P在AB边所在的直线上 D.P在ABC的外部 PA PB PC，4.在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是()A.ABCDB.ADABACC.ADBDABD.ADCB005.设P1P2P3Pn是圆内接正n边形,O为圆心,试用向量求:ni12ni 1OPOPOPOP.