1、课时作业(四十三)一、选择题1(2013潍坊模拟)已知直线l平面，直线m平面，则“ ”是“lm”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件解析：l，则l，又m，所以lm；l，lm则m或m，又m，所以或与相交，所以“”是“lm”的充分不必要条件，选A.答案：A2(2013汕头质量测评)设O是空间一点，a，b，c是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是()A当abO且a，b时，若ca，cb，则cB当abO且a，b时，若a，b，则C当b时，若b，则D当b时，且c时，若c，则bc解析：b且，若l，bl，则b，所以b，若，则b，不正确，选C.答案：C3(
2、2013广东省华附、省实、广雅、深中四校联考)若平面，满足，l，P，Pl，则下列命题中是假命题的为()A过点P垂直于平面的直线平行于平面B过点P垂直于直线l的直线在平面内C过点P垂直于平面的直线在平面内D过点P在平面内作垂直于l的直线必垂直于平面解析：由于过点P垂直于平面的直线必平行于平面内垂直于交线的直线，因此平行于平面，因此A正确，B不正确根据面面垂直的性质定理知，选项C、D正确答案：B4(2013泉州质检)已知m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A若m，n，且mn，则B若m，n，且mn，则C若m，n，且mn，则D若m，n，且mn，则解析：m，mn，那么n或
3、n，当n时，若n，则，当n时，则平面内存在一条直线ln，若n，则l，所以有，综合可知，m，n且mn，则正确，选A.答案：A5(2013广西卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A. B. C. D.解析：如图，连接AC与BD交于点O，连接OC1，过C作CEOC1，垂足为E，连接DE，则CDE就是CD与平面BDC1所成的角，设AB1，则AA1CC12，OC，OC1，因为OC1CEOCCC1，所以CE，所以sinCDE，故选A.答案：A6(2013新课标全国卷)已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则()A
4、且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l解析：由于m，n为异面直线，m平面，n平面，则平面与平面必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足lm，ln，则交线平行于l，故选D.答案：D二、填空题7已知直线l，m，n，平面，m，n，则“l”是“lm且ln”的_条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)解析：若l，则l垂直于平面内的任意直线，若lm且ln，但若lm且ln，不能得出l.答案：充分不必要8(2013常州期末调研)给出下列命题：若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，
5、那么这两个平面相互平行；若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，所有真命题的序号为_解析：根据定理和一些常用结论得：、正确中没有强调两条直线一定相交，否则就不一定平行答案：9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件_时，就有MNA1C1；当N只需满足条件_时，就有MN平面B1D1C.解析：可证A1C1平面EGM，故当N在EG上时，MNA1C.可证平面MEH平面B1
6、CD1，故当N在EH上时，MN平面B1D1C.答案：点N在EG上点N在EH上三、解答题10(2013常州市高三期末调研)如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，ADAB，CDAB，ABAD2，CD3，直线PA与底面ABCD所成角为60，点M，N分别是PA，PB的中点(1)求证：MN平面PCD；(2)求证：四边形MNCD是直角梯形；(3)求证：DN平面PCB.证明：(1)因为点M，N分别是PA，PB的中点，所以MNAB.因为CDAB，所以MNCD.又CD平面PCD，MN平面PCD，所以MN平面PCD.(2)因为ADAB，CDAB，所以CDAD，又因为PD底面ABCD，CD平面ABCD，所以
7、CDPD，又ADPDD，所以CD平面PAD.因为MD平面PAD，所以CDMD，所以四边形MNCD是直角梯形(3)因为PD底面ABCD，所以PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，从而PAD60.在RtPDA中，AD，PD，PA2，MD.在直角梯形MNCD中，MN1，ND，CD3，CN，从而DN2CN2CD2，所以DNCN.在RtPDB中，PDDB，N是PB的中点，则DNPB.又因为PBCNN，所以DN平面PCB.11(2013北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别为CD和PC的中点，求证：(1)PA底面ABCD；(2)
8、BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明：(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以四边形ABED为平行四边形所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD.所以PACD.所以CD平面PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF.所以CDEF.所以CD平面BEF.所以平面BEF平面PCD.12(2013河北唐山一
9、中第二次月考)在如图所示的多面体ABCDE中，AB平面ACD，DE平面ACD，ACADCDDE2，AB1.(1)请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF平面ACD，并证明这一事实；(2)求直线EC与平面ABED所成角的正弦值解：如图，(1)由已知AB平面ACD，DE平面ACD，ABED，设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，连接FH，则FH綊ED，FH綊AB，四边形ABFH是平行四边形，BFAH，BF平面ACD，AH平面ACD，BF平面ACD；(2)取AD中点G，连接CG、EG，则CGAD，又平面ABED平面ACD，CG平面ABED，CEG即为直线CE与平面ABED所成的角，设为，则
10、在RtCEG中，有sin .热点预测13(2013江西省高三联考)如图，ABC中，BC3，AC4，AB5，点P在平面ABC射影为AB的中点D，O是线段CD的中点，APC60(1)判断PC与AB是否垂直(不需说明理由)；(2)求PD与平面PBC所成角的正切值；(3)在PB上是否存在点E，使OE平面PAC.若存在，求出PE的长，若不存在，说明理由解：(1)不垂直(2)由题意知：PAPBPCAC4，ODDB，取BC的中点Q，连接PQ、DQ，则BCDQ，BCPQ，BC面PDQ，面PDQ面PBC，D在面PBC上的射影落在PQ上，则PD与平面PBC所成角即为QPD，由于PD，DQ2，PDDQ，故所求角的正切值为.(3)过O作OMAB交AC于M，在平面PAB内平面直线AB，使之交PB于E，交PA于N，并使OMEN，此时MOEN为平行四边形，易知OE平面PAC.由于OM是CAD的中位线，PEPBNEABMOAB14.又ABC是直角三角形，CD是斜边上的中线，PD平面ABC，有PADPCDPBDPAPCPB，由于APC60，PAC为正三角形，所以PBPCAC4，PEPB1，即在线段PB上存在点E，当PE1时，OE平面PAC.