1、2014-2015学年度第一学期期中考试高二数学（理科）试题 命题人：徐文国 周田香 审题人：孟太 缪桂昌 (考试用时：120分钟 满分160分)注意事项：所有试卷的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上无效。一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.在直角坐标系中，直线的斜率是 2.圆的半径是 3.椭圆的焦点坐标为 4.抛物线的准线方程为 5.双曲线的渐近线方程是 6.若圆与圆相外切，则实数 7.已知点P为直线上一动点，则P到坐标原点的距离的最小值是 8.若方程表示椭圆，则的取值范围是 9.已知两圆和相交于A，B两点，则直线AB的方程是 10.已知点P在抛物线上运动，F为抛物线的
2、焦点，点M的坐标为（3,2），当取最小值时，点P的坐标为 11.已知点P是圆C：上任意一点，若点P关于直线的对称点仍在圆C上，则的最小值是 12.已知O为坐标原点，点，动点P与两点O、A的距离之比为1，则P点轨迹方程是 . 13.设集合，当时，则实数的取值范围是 14.已知椭圆C：的左、右焦点分别、，过点的直线交椭圆C于两点，若，且，则椭圆C的离心率是 .二、解答题（本题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（本小题满分14分）已知三点P（5，2）、（6，0）、（6，0）（）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（）设点P、关于直线的对称点分别为、，求以、为焦点且过
3、点的双曲线的标准方程17（本题满分14分）某城市交通规划中，拟在以点O为圆心，半径为50m的高架圆形车道外侧P处开一个出口，以与圆形道相切的方式，引申一条直道连接到距圆形道圆心O正北250m的道路上C处（如图），以O为原点，OC为y轴建立如图所示的直角坐标系，求直道PC所在的直线方程，并计算出口P的坐标.250北CPOxy18（本题满分16分）过点P(4，4)作直线l与圆O：相交于A、B两点.（）若直线l变动时，求AB中点M的轨迹方程；（）若直线l的斜率为，求弦AB的长；POAQMBxy（）若一直线与圆O相切于点Q且与轴的正半轴，轴的正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，求点Q的坐标19
4、（本题满分16分）在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点其焦点F在轴上.（）求抛物线C的标准方程；（）求过点F和OA的中点的直线的方程；xyOAFBDP（）设点,过点F的直线交抛物线C于B、D两点，记PB,PF,PD的斜率分别为，求证：20.（本题满分16分）在平面直角坐标系中，已知定点A（-4，0），B（4，0），动点P与A、B连线的斜率之积为.（）求点P的轨迹方程；（）设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C，半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得弦长为.求圆M的方程；当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存
5、在，说明理由2014-2015学年度第一学期期中试卷高二数学（理科）参考答案一、填空题1. 2 2.3 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. x + 3y 5 =0 10. 11. 18 12. （或） 13. 14. 二、解答题15. 解：由题意得：（1），解得：，所以3分因为所求直线与直线平行，所以，则所求直线方程为： 7分（2）直线MN所在直线的斜率为： 10分因为所求直线与两点所在直线垂直，所以则所求直线方程为： 14分16.解：（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为+，其半焦距， ， 5分故所求椭圆的标准方程为+； 7分（2）点P（5，2）、（6，0）、（6，0）关于直线yx的对
6、称点分别为：、（0，-6）、（0，6） 9分设所求双曲线的标准方程为-，由题意知半焦距， ， 12分故所求双曲线的标准方程为 14分17. 解：圆形道的方程为x2+y2=2500， 2分引伸道与北向道路的交接点C的坐标为(0,250)， 4分设的方程为，由图可知又与圆相切，到距离，解得，的方程为， 8分又，则OP的方程是： 10分由解之得点坐标 13分引伸道在所建坐标系中的方程为，出口P的坐标是 14分18.解：（1）因为点M是AB的中点，所以OMAB，则点M所在曲线是以OP为直径的圆，其方程为，即； 4分（2）因为直线l的斜率为，所以直线l的方程是：，即， 6分设点O到直线l的距离为d，则，
7、所以，解得：； 10分（3）设切点Q的坐标为则切线斜率为所以切线方程为又，则 12分此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积14分由知当且仅当时，有最大值即有最小值因此点Q的坐标为 16分19.解：（）由题意可设抛物线的方程为：，因为抛物线经过点，所以，解得：，则抛物线C的标准方程是：； 3分（）由（1）知：F(1,0)，OA的中点M的坐标为，则，所以直线FM的方程是：； 6分（）当直线的斜率不存在时，则所以，则；8分当直线的斜率存在时，设为k，则直线的方程为设，则，同理可得：，所以=， 12分由方程组消去y，并整理得：，所以， 14分则，又，所以，综上所述： 16分20. 解：（）设P点的坐标为(x, y)，则因为动点P与A、B连线的斜率之积为，所以，化简得：，所以点P的轨迹方程为（x4） 6分（）（1）由题意知：C(0， 2)，A(4，0)，所以线段AC的垂直平分线方程为y=2x+3， 8分设M（a, 2a+3）(a0)，则M的方程为，因为圆心M到y轴的距离d=a，由，得：，10分所以圆M的方程为。11分（2）假设存在定直线l与动圆M均相切，当定直线l的斜率不存在时，不合题意， 12分当定直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+b，则对任意r0恒成立，由，得：， 14分所以，解得：或，所以存在两条直线y=3和4x+3y 9=0与动圆M均相切 16分