1、2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算 必备知识自主学习 导思(1)在平面内,规定e1,e2为基底,那么一个向量关于e1,e2的分解是 唯一的吗?(2)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位 向量i、j作为基底,任作一向量 =x i+yj,那么(x,y)与A点 的坐标相同吗?如果向量 也用(x,y)表示,那么这种向 量 与实数对(x,y)之间是否一一对应?(3)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何求a+b,a-b,a的坐标?若 A(x1,y1),B(x2,y2),你能求出 的坐标吗?OA.OAOAOAAB1.平面向量坐标的相关概念
2、【思考】(1)正交分解与平面向量基本定理有何联系?提示:正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直时).(2)向量的坐标就是其终点的坐标吗?提示:不一定,以坐标原点O为始点的向量坐标就是该向量的终点坐标,如果向量不是以坐标原点为始点,则向量坐标就跟终点坐标不同,而对同一向量或相等向量(向量坐标相同),若选择不同的始点坐标,则终点坐标也不同.2.平面向量的坐标运算 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),R,则:(1)a+b=_,(2)a-b=_,(3)a=_.(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(x1,y1)即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差,数乘向量的
3、积的坐标等于数乘向量的相应坐标.(4)向量坐标的几何意义:如图所示,在平面直角坐标系中,若A(x1,y1),则 =(x1,y1),若A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1).OAAB【思考】(1)平面向量的加法坐标运算法则若写成“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(y1+y2,x1+x2)”可以吗?提示:不可以,两向量的横坐标之和作为和向量的横坐标,纵坐标之和作为和向 量的纵坐标.(2)“若A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x1-x2,y1-y2)”对吗?提示:不对,应该用终点坐标减去始点坐标.AB【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错
4、的打“”)(1)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同.()(2)当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.()(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.()(4)点的坐标与向量的坐标相同.()2.若3x-2(x-a)=0,则向量x等于()A.2a B.-2a C.a D.-a【解析】选B.由题知3x-2x+2a=0所以x=-2a.25253.(教材二次开发:练习改编)已知A(3,1),B(2,-1),则 的坐标是()A.(-2,-1)B.(2,1)C.(1,2)D.(-1,-2)BA关键能力合作学习 类型一 向量的坐标表示(数学运算、直观想象)【题组训练】1.(2020青
5、岛高一检测)已知 =(1,3),且点A(-2,5),则点B的坐标为()A.(1,8)B.(-1,8)C.(3,2)D.(-3,2)2.如图所示,在正方形ABCD中,O为中心,且 =(-1,-1),则 =_;=_;=_.ABOAOBOCOD3.在平面直角坐标系xOy中,向量a,b,c的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4,分别计算出它们的坐标.【解题策略】求向量坐标的方法(1)平移法:把向量的起点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标.(2)求差法:先求出这个向量的始点、终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.【补偿训练】1.已知O是坐标原点,点A在第二象限,|=6,x
6、OA=150,向量 的坐标为 _.OAOA2.已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,C在第一象限,D 为AC的中点,分别求向量 ,的坐标.AB AC BCBD3.如图,已知在边长为1的正方形ABCD中,AB与x轴正半轴成30角.如图,求点B 和点D的坐标和 与 的坐标.ABAD类型二 向量的坐标运算(直观想象、数学运算)【题组训练】1.已知点A(0,1),B(3,2),向量 =(-3,-3),则向量 ()A.(3,2)B.(-3,-2)C.(-1,-2)D.(1,2)2.已知向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求a+b,a-b,3a,2a+3b的坐标.3
7、.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且 求M,N及 的坐标.AC1 BC2CM 3CA,CN 2CB,MN【解题策略】平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.【补偿训练】1.已知M(3,-2),N(-5,-1),则P点坐标为_.1MPMN2，2.若A,B,C三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),求 的坐标.1AB 2BC BCAC2，类型三 向量坐标运算的应用(数学运算、
8、逻辑推理)角度1 利用坐标运算表示向量 【典例】如图,已知O是ABC内一点,AOB=150,BOC=90,设 =a,=b,=c,且|a|=2,|b|=1,|c|=3,试用向量a,b表示向量c.OAOBOC【思路导引】建立直角坐标系,由所给条件结合三角函数定义写出点A,B,C的坐 标.结合坐标运算公式可用待定系数法求得向量c.角度2 利用坐标运算求参数 【典例】已知A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点,点C在AOB内,|OC|=2 ,且 AOC=.设 (R),则=_.24OCOA OB【思路导引】由题意画出图形,根据向量线性运算法则对条件“”适当转化,再应用向量坐标运算解决.OCOA OB
9、【解题策略】(1)由向量的坐标定义知,两向量相等的充要条件是它们的坐标相等,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a=bx1=x2且y1=y2.(2)利用向量的坐标运算解题,主要是根据相等的向量坐标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解.(3)利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出相应系数.【题组训练】1.(2020济宁高一检测)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10).若 (R),试求 为何值时,(1)点P在一、三象限角平分线上.(2)点P在第三象限内.AP ABAC2.已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),及 是否存在
10、t值,使四边形OABP 为平行四边形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.OP OAtAB.【拓展延伸】线段定比分点坐标公式如图所示,若点P是线段P1P2上不同于P1(x1,y1),P2(x2,y2)的点,且满足 =,即 =,则点P的坐标为 12|P P|PP|1PP2PP1212xxyy().11，【拓展训练】证明上述命题的正确性.【补偿训练】已知A(2,1),B(3,-1)及直线l:y=4x-5,直线AB与l相交于P点,求P点分 的比 的值.AB1.(2020包头高一检测)下列说法正确的有()向量的坐标即此向量终点的坐标.位置不同的向量其坐标可能相同.一个向量的坐标等于它的终点坐标减
11、去它的始点坐标.相等的向量坐标一定相同.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 课堂检测素养达标 2.已知 =a,且 则 a等于()AB111A(,4)B(,2)242，又 ，11A.(,1)B.(,3)8411C.(,1)D.(,3)843.(教材二次开发:练习改编)设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则2a-3b等于()A.(0,7)B.(12,7)C.(-1,7)D.(12,3)【解析】选B.2a-3b=(6,10)-(-6,3)=(12,7).4.若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则 =_.【解析】因为A(2,-1),B(4,2),C(1,5),所以 =(2,3),=(-3,3).所以 =(2,3)+2(-3,3)=(2,3)+(-6,6)=(-4,9).答案:(-4,9)AB 2BCABBCAB 2BC5.如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆 上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,求 的坐标.OP