1、第3讲基本不等式及其应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2014南京、盐城模拟)设非零实数a，b，则“a2b22ab”是“2”成立的_条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)解析因为a，bR时，都有a2b22ab(ab)20，即a2b22ab，而2ab0，所以“a2b22ab”是“2”的必要不充分条件答案必要不充分2已知a0，b0，ab2，则y的最小值是_解析依题意，得(ab)5()(52)，当且仅当即a，b时取等号，即的最小值是.答案3若正数x，y满足4x29y23xy30，则xy的最大值是_解析由x0，y0，得4x29y23xy2(2x)(3
2、y)3xy(当且仅当2x3y时等号成立)，12xy3xy30，即xy2，xy的最大值为2.答案24(2015金华十校模拟)已知a0，b0，a，b的等比中项是1，且mb，na，则mn的最小值是_解析由题意知：ab1，mb2b，na2a，mn2(ab)44.答案45(2014成都诊断)已知定义在(0，)上的函数f(x)3x，若f(ab)9，则f(ab)的最大值为_解析因为3ab9，所以ab22，得ab1，所以f(ab)3ab3.答案36(2014泰州检测)已知向量m(2,1)，n(1b，a)(a0，b0)若mn，则ab的最大值为_解析依题意得2a1b，即2ab1(a0，b0)，因此12ab2，即a
3、b，当且仅当2ab时取等号，因此ab的最大值是.答案7(2015苏、锡、常、镇四市调研)已知正数x，y满足x2y2，则的最小值为_解析因为x，y为正数，且x2y2，52 59，当且仅当x4y时，等号成立，所以的最小值为9.答案98(2014重庆卷)若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是_解析由log4(3a4b)log2得3a4bab，且a0，b0，1，ab(ab)()7()7274，当且仅当时取等号答案74二、解答题9已知x0，y0，且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求的最小值解(1)x0，y0，由基本不等式，得2x5y2.2x5y20，220，xy10，当
4、且仅当2x5y时，等号成立因此有解得此时xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.(2)x0，y0，当且仅当时，等号成立由解得的最小值为.10(2014宿迁调研)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底
5、将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润累计收入销售收入总支出)解(1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元，则y25x6xx(x1)50(0x10，xN)，即yx220x50(0x10，xN)，由x220x500，解得105x105.而21053，故从第3年开始运输累计收入超过总支出(2)因为利润累计收入销售收入总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为y(25x)(x219x25)19，而191929，当且仅当x5时等号成立，即小王应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大能力提升题组(建议用时：25分钟)1(2015西安第一中学模拟)设x，yR，a1，
6、b1，若axby3，ab2，则的最大值为_解析由axby3，得xloga3，ylogb3，则.又a1，b1，所以ab()23，所以lg ablg 3，从而1，当且仅当ab时等号成立答案12(2015苏州调研)已知正实数x，y满足xy2xy4，则xy的最小值为_解析依题意得(x1)(y2)6，(x1)(y2)22，即xy23，当且仅当x1y2时取等号，因此xy的最小值是23.答案233(2014成都诊断)函数f(x)lg，若f(a)f(b)0，则的最小值为_解析依题意得0a2,0b2，且lg0，即ab(2a)(2b)，1，(42)2，当且仅当，即a3，b1时取等号，因此的最小值是2.答案24(2
7、014无锡模拟)要制作一个如图的框架(单位：米)，要求所围成的总面积为19.5(平方米)，其中四边形ABCD是一个矩形，四边形EFCD是一个等腰梯形，梯形高hAB，tanFED，设ABx米，BCy米(1)求y关于x的表达式；(2)如图设计x，y的长度，才能使所用材料最少？解(1)如图，等腰梯形CDEF中，DH是高依题意，DHABx，EHxx，xyxxyx2，yx.x0，y0，x0，解得0x，所求表达式为yx(0x)(2)RtDEH中，tanFED，sinFED，DExx，l(2x2y)2x2y6xx6xx2 26.当且仅当x，即x29，即x3时取等号，此时yx4，AB3米，BC4米时，能使整个框架用材料最少.