1、四川省广安市武胜烈面中学校2020-2021学年高二数学上学期期中试题 文一、选择题（共12小题，每小题5分）1. 若平面平面，直线平面，则直线a与平面的关系为A. B. C. 或D. 相交2. 已知命题P：，命题，则下列说法中正确的是 A. 命题是假命题B. 命题是真命题C. 命题是真命题D. 命题是假命题3. 圆在点处的切线方程为 A. B. C. D. 4. 焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为A. B. C. D. 5. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列选项正确的是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则6. 以和为端点，线段AB的
2、中垂线方程是A. B. C. D. 7. 下列说法中，错误的是A. 若命题，则命题B. “”是“”的必要不充分条件C. “若，则a、b中至少有一个不小于2”的逆否命题是真命题D. ，8. 已知椭圆的两个焦点为、，弦AB过点，则的周长为A. 10B. 20C. D. 9. 设P是圆上的动点，则点P到直线的距离的最大值为 A. B. C. D. 10. 已知点在圆上运动，则的最大值是A. B. C. D. 11. 在如图所示的四个正方体中，能得出的是A. B. C. D. 12. 离心率为且与椭圆共焦点的椭圆方程为 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 命题“”
3、的否定为 14. 已知椭圆的一个焦点为，则C的离心率为15. 已知直线l：，点P是圆C：上的动点，则点P到直线l的最大距离为_16. 已知a，b，l表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，有下列四个命题：若，且，则若a，b相交，且都在，外，则若，则若，则其中正确命题的序号是_三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知命题p：方程有两个不等的负实根，命题q：方程无实根若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围18. 如图，在直三棱柱中，N为的中点 求证：直线平面ABC；求证：C.19. 在平面直角坐标系xOy中，已知三个顶点坐标为，求BC边上的中线所在直线的方程；求BC边上的高所在
4、直线的方程20. 求椭圆的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率21. 如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E为PD的中点证明：平面AEC；求直线PD与平面AEC所成角的余弦值求二面角的余弦值求点P到平面AEC的距离22. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的圆心在直线上，圆C经过点，且与直线相切求圆C的方程；设直线l交圆C于P，Q两点，若直线AP，AQ的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求出该定点坐标2019级高二上期中期考试答案和解析数学（文科）1.【答案】C【解析】【分析】本题考查线面、面面之间的位置关系，面面平行的性质，线面平行的判定与性质，属于基础题目设平面为长方体
5、的上底面，平面为长方体的下底面，直线平面，直线a可能与平面平行，也可能在平面内，所以或，故得结论【解答】解：设平面为长方体的上底面，平面为长方体的下底面，因为直线平面，所以直线a可能与平面平行，也可能在平面内，所以或故选C2.【答案】C【解析】【分析】本题考查全称命题、特称命题的否定及真假判定，属于基础题根据题意直接判断p与q真假，即可求解【解答】解：P：当时，成立，所以，故命题P为真，命题q，当时，故为假命题，为真命题，所以命题是真命题，故选C3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查圆的切线方程，直线的斜率，两条直线的垂直的应用根据已知条件求出切线方程的斜率，进而求出切线方程【解析】解：圆
6、的标准方程为，所以圆的圆心O为，半径为2，由于点在圆上，所以，故切线方程斜率，又点在切线上，所以切线方程为故选D4.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，解方程的思想，考查运算能力，属于基础题设椭圆方程为，由题意可得，解方程可得a，b，即可得到椭圆方程【解答】解：设椭圆方程为，由题意可得，解方程可得，即有椭圆方程为故选C5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，关键是要考虑线面关系的所有可能情况，属于基础题根据空间中线面和面面关系逐项判断即可【解答】解：若，则m与可能平行，相交也可能在平面内，故A错误；B.若，根
7、据线面垂直的性质可知，又，根据线面垂直的性质得到，故B正确；C.若，则m与可能平行，故C错误；D.若，则m与可能平行或者相交，故D错误故选B6.【答案】B【解析】【分析】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，两条直线垂直的判定，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质中垂线上的点到线段的2个端点距离相等来求中垂线的方程先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB的中垂线得方程，并化为一般式【解答】解：直线AB的斜率，所以线段AB的中垂线得斜率，又线段AB的中点为，所以线段AB的中垂线得方程为即，故选B7.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了命题的否定，必要不充分条
8、件，逆否命题，正弦型函数的对称性，属于中档题根据命题的否定，必要不充分条件，逆否命题，正弦型函数的对称性，结合选项逐一分析即可【解答】解：对于A，若命题p：，则命题：，正确；对于B，推不出，而能推出，所以是的必要不充分条件正确；对于C，“若，则a，b中至少有一个不小于2”的逆否命题是真命题正确，因为命题与其逆否命题同真假，而若，则a，b中至少有一个不小于2正确，故其逆否命题正确；对于D，当时不等式显然不成立，所以不正确故选D8.【答案】D【解析】解：椭圆的两个焦点为，弦AB过点，故选：D根据：椭圆，得出，运用定义整体求解的周长为4a，即可求解本题考查了椭圆的方程，定义，整体求解的思想方法，属于
9、基础题9.【答案】A【解析】【分析】本题考查与圆有关的最值问题，考查推理能力和计算能力，属于基础题利用点P到直线的距离的最大值是圆心到直线的距离与半径的和即可求解【解答】解：依题意可知，圆的圆心为，半径为1，且圆心到直线的距离为，故点P到直线的距离的最大值是故选A10.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系以及代数式最值的求解表示点与点连线的斜率过作圆的切线，可知当与圆相切时，k取得最值，由此求出最大值【解答】解：设，则k表示点与点连线的斜率把圆的方程化为标准方程得，故圆心坐标为，半径，可知当直线与圆相切时，k取得最值由，解得，则的最大值是，故选A11.【答案】A【解析】【分
10、析】本题考查空间中异面直线间的位置关系，考查线面垂直的判定和性质，属于中档题对于作出过AB的对角面，可得直线CD与这个对角面垂直，由线面垂直的性质可得对于可得CD与AB所成角等于；对于C、D，可得AB、CD所成角都是锐角【解答】解：对于A，作出过AB的对角面如图，可得直线CD与这个对角面垂直，根据线面垂直的性质，成立；对于B，作出过AB的等边三角形截面如图，将CD平移至内侧面，可得CD与AB所成角等于；对于C，D，将CD平移至经过B点的侧棱处，可得AB，CD所成角都是锐角故选A12.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的方程和性质，考查离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题求出椭圆的焦点
11、坐标，即得椭圆的，再由椭圆的a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到a，b，进而得到椭圆方程【解答】解：椭圆中，所以该椭圆的焦点坐标为，则双曲线的，可设共焦点的椭圆方程为，则，离心率，即为，即有，即有椭圆方程为故选B13.【答案】【解析】【分析】本题考查特称命题的否定，属于基础题根据特称命题的否定是全称命题，即可得出结果【解答】解：由特称命题的否定是全称命题知，命题：“”的否定为，故答案为14.【答案】【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题利用椭圆的焦点坐标，求出，然后求解椭圆的离心率即可【解答】解：椭圆C：的一个焦点为，可得，解得，故答案为15.【答案】【解
12、析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式，属于基础题根据题意，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案【解答】解：根据题意，圆C：的圆心为，半径，则圆心C到直线l的距离，则点P到直线l的最大距离为；故答案为16.【答案】【解析】【分析】本题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系对每个选项，分别判断，即可得【解答】解：若平面，两两相交，且交于三条直线，则交线平行，故不正确因为a，b相交，设其确定的平面为，根据，可得同理可得，因此，正确由面面垂直的性质定理知正确当时，l垂直于平面内两条不相交的直线，不能得
13、出，错误故答案为17.【答案】解：若方程有两不等的负根，则解得即命题p：，若方程无实根，则解得：即命题q：由题意知，命题p、q一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真或，解得：或综上：【解析】本题主要考查复合命题真假之间的关系以及应用，根据条件求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键，属于基础题根据条件分别求出命题p，q的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可18.【答案】证明因为直三棱柱，则四边形和为平行四边形，即平行四边形中，则M为的中点，又N为的中点，所以MN为的中位线，故，又，所以，由平面ABC，平面ABC，所以平面ABC在直三棱柱中，所以平面又平面，所以平面平
14、面，又因为，所以由平面，为平面和平面的交线所以平面又平面，所以又因为，则平行四边形为菱形，故B又，平面C.所以平面，又平面，所以C.【解析】本题考查了线面平行的判定以及线面垂直的性质，是一般题利用直线与平面平行的判定定理求证即可；利用直线与平面垂直的性质定理求证即可19.【答案】解：由，得BC中点D的坐标为，所以直线AD的斜率为，所以BC边上的中线AD所在直线的方程为，即 由，得BC所在直线的斜率为，所以BC边上的高AH所在直线的斜率为，所以BC边上的高AH所在直线的方程为，即【解析】本题考查直线方程的求解及两直线垂直的条件，同时考查中点坐标公式，属于较易题求出BC中点D的坐标，直线AD的斜率
15、，即可求BC边上的中线所在直线的方程；求出BC边上的高AH所在直线的斜率，即可求BC边上的高AH所在直线的方程20.【答案】解：将椭圆方程变形为，所以，所以所以椭圆的长轴长和焦距分别为，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1，B2，所以离心率【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的几何性质，属于基础题将椭圆方程变形为，得出a，b，求出c，进而得出结果21.【答案】证明：连结BD交AC与点O，连结EO，底面ABCD为矩形为BD的中点，又为PD的中点为的中位线，则，又平面AEC，平面AEC，平面AEC；解：平面AEC，到平面AEC与B到平面AEC的距离相等，又，且E到平面ABC的距离为，由海
16、伦公式可得，设P到平面AEC的距离为h，则，可得，到平面AEC的距离为，又，设直线PD与平面AEC所成角为，则解：过E坐垂足为M，过M作，垂足为N，连接EN易证为二面角的平面角的边AC上的高为，所以二面角的余弦值为由可知P到平面AEC的距离为【解析】本题考查线面平行的判定定理，中位线定理，点到面的距离，海伦公式，勾股定理，二面角等知识，等体积的相互转化是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题连结BD交AC与点O，连结EO，通过中位线定理及线面平行的判定定理可得结论；通过等体积转化，利用三角形的面积公式计算，先计算出点P到平面AEC的距离h，再求出正弦值，再求余弦值即得结论；过E坐垂足为
17、M，过M作，垂足为N，连接则为二面角的平面角，在中计算即可由可知P到平面AEC的距离22.【答案】解：因为圆心C在直线上，所以设，因为圆C经过点，所以圆C的半径，因为圆C和直线相切，所以圆C的半径，所以化简，得，解得所以，半径所以圆C的方程为若直线l的斜率不存在，则可设，所以，消去得，再代入，不存在，所以直线l的斜率存在；设直线l的方程，所以，整理得， 直线方程与圆C方程联立，消去y得，所以，代入，得，由于，整理得，即，所以直线l的方程为，即，令解得所以直线l过一个定点，该定点坐标为【解析】本题考查直线和圆的方程的应用，直线的斜率及点到直线的距离公式，直线过定点问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题由题意，设，则圆C的半径，又圆C和直线相切，则利用点到直线的距离公式，可求出r，从而可得关于a的方程，求出a，进而可得圆C的方程；若直线l的斜率不存在，则可设，由直线AP，AQ的斜率之积为2，可推出不存在，故直线l的斜率存在，设直线l的方程，与圆的方程联立，可推导出，进而可得出直线l过一个定点，该定点坐标为