1、第三章 三角恒等变换31 两角和与差的正弦、余弦和正切公式31.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式内 容 标 准学 科 素 养1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.发展逻辑推理提升数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点 二倍角的正弦、余弦、正切公式阅读教材 P132133，思考并完成以下问题能利用 S()，C()，T()推导出 sin 2，cos 2，tan 2 的公式吗？(1)在公式 S 中，如果 ，有怎样的结果？提示：当 时，
2、sin()sin 2sin cos cos sin 2sin cos.(2)在公式 C 中，如果，有怎样的结果？提示：cos()cos cos sin sin，当 时，cos 2cos2sin2.(3)在 T 中，如果，有怎样的结果？提示：T()tan()tan tan 1tan tan，当 时，tan 2 2tan 1tan2.知识梳理 二倍角的正弦、余弦、正切公式三角函数公式简记正弦sin 2_S2余弦cos 2_C2正切tan 2 2tan 1tan2T2思考 在 cos 2cos2sin2 中，结合 sin2cos21.有怎样的变形？2sin cos cos2sin2提示：cos 22
3、cos2112sin2.自我检测1已知 cos x34，则 cos 2x 等于()A14 B.14 C18 D.18答案：D2sin 15sin 75的值是()A.12 B.32 C.14 D.34答案：C探究一 二倍角公式的正用教材 P133 例 5、例 6方法步骤：(1)求“单角”的函数值(2)用“单角”表示“倍角”，代入公式例 1 化简 1cos 2 1cos 2(为第二象限角)解析 原式 12cos21 1（12sin2）2|cos|2|sin|2(sin cos)2sin4.方法技巧 直接将 S2、C2、T2 变为单角“”的表达形式跟踪探究 已知 sin 513，2，求 sin 2，
4、cos 2，tan 2 的值解析：sin 513，2，cos 1sin2151321213，sin 22sin cos 2 5131213 120169，cos 212sin2125132119169，tan 2sin 2cos 2120119.探究二 二倍角公式的逆用、变形用教材 P135 练习 5(4)题求 2cos2 22.51.解析：原式cos 45 22.例 2 求下列各式的值：(1)cos 12sin 12 cos 12sin 12；(2)2cos 105cos 15；(3)tan 151tan215；(4)12cos28.解析(1)cos 12sin 12 cos 12sin 1
5、2cos2 12sin2 12cos6 32.(2)2cos 105cos 152cos(9015)cos 152(sin 15)cos 152sin 15cos 15sin 3012.(3)tan 151tan21512 2tan 151tan21512tan 30 36.(4)12cos28122cos281 12cos4 24.方法技巧 根据三角函数的特征，经过适当变形，进而利用公式，同时变换出特殊角，获得三角函数式的值，在变形中一定要整体考虑式子的特征延伸探究 将本例(2)变为：求 sin 10sin 30sin 50sin 70的值解析：法一：sin 10sin 50sin 70si
6、n 20sin 50sin 702cos 10sin 20cos 20sin 502cos 10sin 40sin 504cos 10sin 40cos 404cos 10 sin 808cos 1018，sin 10sin 30sin 50sin 70 116.法二：原式12cos 20cos 40cos 802sin 20cos 20cos 40cos 804sin 20sin 40cos 40cos 804sin 20sin 80cos 808sin 20 116sin 160sin 20 116.课后小结1对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8 是 4 的二倍；6 是 3 的二倍；4
7、 是 2 的二倍；3 是32 的二倍；2是4的二倍；3是6的二倍；2n是 2n1的二倍(nN*)2二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛常用形式：(1)1cos 22cos2；(2)cos21cos 22；(3)1cos 22sin2；(4)sin21cos 22.素养培优二倍角公式的使用技巧与提升(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化；(2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分；(3)对于二次根式，注意倍角公式的逆用；(4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等；(5)利用“1”的恒等变形，如 tan 451，sin
8、2cos21 等(6)注意降幂、升幂的应用：降幂：cos21cos 22，sin21cos 22.升幂：1cos 22cos2，1cos 22sin21sin 2(sin cos)2；1sin 2(sin cos)2.典例 1.已知(0，)，化简：（1sin cos）cos2sin222cos _解析 原式2cos222sin2cos2 cos2sin24cos22因为(0，)，所以 cos20，所以原式2cos22 2sin2cos2 cos2sin22cos2cos2sin2 cos2sin2cos22sin22cos.答案 cos 2化简：1sin 2cos 21sin 2cos 2.解
9、析 法一：原式（1cos 2）sin 2（1cos 2）sin 22sin22sin cos 2cos22sin cos 2sin（sin cos）2cos（cos sin）tan.法二：原式（sin cos）2（cos2sin2）（sin cos）2（cos2sin2）（sin cos）（sin cos）（cos sin）（sin cos）（sin cos）（cos sin）2sin 2cos tan.3函数 f(x)sin2x sin x 3cos2x.(1)求 f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论 f(x)在6，23 上的单调性解析(1)f(x)sin2x sin x 3cos2 xcos xsin x 32(1cos 2x)12sin 2x 32 cos 2x 32 sin2x3 32，因此 f(x)的最小正周期为，最大值为2 32.(2)当 x6，23 时，02x3，从而当 02x32，即6x512时，f(x)单调递增，当22x3，即512x23 时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在6，512 上单调递增；在512，23 上单调递减课时 跟踪训练