1、重庆市2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线与垂直，则实数（ ）A. B. C. D. 3【答案】C【解析】【分析】由直线与垂直，可得，即求的值.【详解】直线与垂直，.故选：.【点睛】本题考查两条直线的位置关系，属于基础题.2.已知向量，则（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】利用向量的加法、模的坐标运算计算即可.详解】，故选：B【点睛】本题主要考查了向量的加法、模的坐标运算，属于容易题.3.某学校采购了10000只口罩，其中蓝色粉色白
2、色的比例为，若采用分层抽样的方法，取出500只分发给高一年级学生使用，则抽到白色口罩的只数为（ ）A. 300B. 250C. 200D. 100【答案】D【解析】【分析】根据口罩比例可求得选项.【详解】由题意可知蓝色口罩有（只），粉色口罩有（只），白色口罩有（只），则抽到白色口罩的只数为（只），故选：D.【点睛】本题考查分层抽样方法，关键在于根据各比例进行抽样，属于基础题.4.已知甲乙两组数据的茎叶图如图所示，则甲组数据的众数与乙组数据的中位数分别是（ ）A. 52，65B. 52，66C. 73，65D. 73，66【答案】C【解析】【分析】由茎叶图中的数据，再结合众数、中位数的概念，即可
3、求解.【详解】解：根据茎叶图中的数据知：甲组数据的众数是；乙组数据的中位数是.故选：C【点睛】本题考查了茎叶图、众数、中位数的应用问题，考查理解辨析能力.5.设等差数列的前n项和为，若，则（ ）A. 12B. 24C. 36D. 40【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质可求.【详解】因为为等差数列，故，故选：B.【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2） 且 ；（3）且为等差数列；（4） 为等差数列.6.在中，角的对边分别为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理将边转化为角得到，再由角C的范围可得选项.【详解】因为，所以
4、由正弦定理得，所以，即，又因为为的内角，所以故选：A【点睛】本题主要考查正弦定理和同角三角函数间的关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.从单词“”的四个字母中任取2个，则取到的2个字母不相同的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】从四个字母中取2个，列举出所有的基本事件，即得所求的概率.【详解】从四个字母中取2个，所有的基本事件为：，共有4个；其中“取到的2个字母不相同”含有3个，故所求概率为.故选：D.【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.8.已知各项均为正数的等比数列中，则（ ）A. 2B. 54C. 162D. 243【答案】C【解析】【分析】设等比数列的
5、公比为，由题意可得，解方程后代入等比数列通项公式，即可求解.【详解】解：设等比数列的公比为，由题意可得，解得，.故选：C【点睛】本题考查等比数列的通项公式的应用，考查运算求解能力与方程思想，属于基础题.9.已知变量满足不等式组，则的最大值为（ ）A B. C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】画出不等式组表示的区域，将目标函数转化为，表示斜率为截距为平行直线系，当截距最小时，取最大值，由图即可求解.【详解】解：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示：故将目标函数转化为，表示斜率为截距为平行直线系，所以当截距最小时，取最大值，由图可知，使得直线经过可行域且截距最小时的解为，此时.故选：B
6、【点睛】本题考查了线性规划的应用，注意将目标函数化成斜截式，从而由截距的最值确定目标函数的最值.10.中国是发现研究和运用勾股定理最古老的国家之一，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，已知四个直角三角形的两条直角边的长度之比为，若向大正方形中随机投入一点，则该点落入小正方形的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知的线段的长度比，得出两正方形的面积，运用概率公式可得选项.【详解】设直角三角形的两
7、直角边分别为和，则斜边为，即大正方形边长为，所以小正方形的边长为，面积为，大正方形的面积为.所以飞镖落在小正方形内的概率为.故选：C.【点睛】本题考查几何概型，关键在于由长度的关系得出大正方形和小正方形的面积，属于中档题.11.在中，角的对边分别为，若，则角C的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据余弦定理及条件，利用基本不等式可求出余弦的最小值，即可得到C的最大值.【详解】，当且仅当时等号成立，C的最大值为，此时为等边三角形.故选：B【点睛】本题主要考查了余弦定理，基本不等式，余弦函数的单调性，属于中档题.12.已知P为在平面内的一点，若点Q在线段上运动，则的最
8、小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知条件和向量的线性关系表示，代入得，由向量的长度可得最值.【详解】，设，则（当时取等号）.所以的最小值为.故选：B.【点睛】本题考查向量间的线性关系，向量的数量积运算及最值的求解，关键在于运用已知向量表示待求的向量，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知中，角的对边分别为，则_.【答案】【解析】【分析】先求出，然后用正弦定理求得【详解】在中，由正弦定理得故答案为：【点睛】本题考查正弦定理，掌握正弦定理是解题关键14.已知单位向量满足，则与的夹角的余弦值为_.【答案】【解析】【分析】将两边平方后可
9、得，从而可求夹角的余弦值.【详解】由可得，因为为单位向量，故，故，故答案为：【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 来求；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的等价条件是.15.已知，且，则的最小值为_.【答案】9【解析】【分析】将变形后利用基本不等式可求其最小值【详解】，等号成立时，.故答案为：9.【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.16.已知数列通项公式为，将数列中的奇数项按原顺序依次排列得到新数列，则数列的前n项和为
10、_.【答案】【解析】【分析】首先写出，然后用分组求和法求和【详解】由题知，所以其前项和为故答案为：【点睛】本题考查分组求和法，当一个数列是由等差数列和等比数列相加减所得，则其前项和可用分组求和法，分组为等差数列的和和等比数列的和，分别应用公式计算可得三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知中，点.（1）求直线的方程；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式写出直线方程并整理一般式；（2）求出到直线的距离，即三角形的高，再求出边的长，可得面积【详解】（1）直线的斜率为， 直线的方程为：，即； （2）点C到直线的距离， ， 故的面积
11、.【点睛】本题考查求直线方程，求三角形面积，直线方程有多种形式，可根据已知条件用各种形式写出直线方程，只是最后一般都要化为一般式或斜截式18.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于x的不等式的解集为R，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将代入，解二次不等式的解集即可；（2）令即可；【详解】解：（1）当时，故解集为； （2）由题知，解得.【点睛】本题考查二次不等式的解法及二次不等式的恒成立问题，较简单.一般地，二次不等式恒成立时，利用求解.19.己知向量，.（1）若，其中，求坐标；（2）若与的夹角为，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由
12、向量模的坐标表示求出，可得的坐标；（2）根据向量数量积的运算律及数量积的定义计算【详解】（1）由题知，解得，故； （2），.【点睛】本题考查向量模的坐标表示，考查向量数量积的运算律，掌握数量积的运算律是解题关键20.自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产，某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图.已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等.（1）估计口罩生产车间工人生产速度的中位数；（2）为了解该车间工人的生产速度是否与他们的工作经验有关，现从车间所有工人中随机抽样调查了5名工人的生产速度以及他们的工
13、龄(参加工作的年限)，数据如下表：工龄x(单位：年)68121014生产速度y(单位：件/小时)4055606065根据上述数据求每名工人的生产速度y关于他的工龄x的回归方程，并据此估计该车间某位有18年工龄的工人的生产速度.回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.【答案】（1）；（2）回归直线为，有18年工龄的工人的生产速度为78件/小时.【解析】【分析】（1）设前4组的频率分别为，公差为d，由题设可求各组频率为 ，前3组的频率之和为，设中位数为，则介于之间且，故可求中位数.（2）利用公式可求线性回归方程，从而可估计18年工龄的工人的生产速度.【详解】（1）设前4组的频率分别为，公
14、差为d，由题知故， 联立解得，故各组频率分别为：.又，中位数为. （2）， .故，回归直线为， 当时，估计该车间某位有18年工龄的工人的生产速度为78件/小时.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用以及线性回归方程的计算与应用，利用前者求中位数，实际上就是求诸矩形面积的等分线所对应的值，本题属于中档题.21.在中，平分交于点D，已知，.（1）求；（2）求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意结合余弦定理可得，解方程即可得解；（2）由题意分别在、中使用正弦定理，可得，即可得解.【详解】（1）由可得，在中，由余弦定理可得,即，解得或（舍去），所以； （2）在中，由正弦定理可得因为平分
15、，所以，所以在中，由正弦定理可得.【点睛】本题考查了余弦定理解三角形及正弦定理边角互化的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.22.设等差数列的前n项和为，.（1）求及；（2）设，数列的前n项和为，是否存在正整数，使得，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的；否则，请说明理由.【答案】（1），；（2）存在，满足条件的只有一组.【解析】【分析】（1）设公差为d，则可得关于的方程组，求出其解后可得通项公式.（2）利用裂项相消法可求，从而可得关于的不定方程，用表示后根据可得的范围，结合为正整数得到的取值，逐个讨论后可得的值.【详解】（1）设公差为d，则，解得， ，； （2）， 又，由题得，即，即由题知且，故，故， 故只需考虑，时，时，时，又，故满足条件的只有一组：.【点睛】本题考查等差数列通项、裂项相消法求和以及不定方程的正整数解的求法，一般地，数列求和需观察通项的特征，而不定方程的整数问题可通过构建不等式或不等式组来确定解的情况，本题属于较难题.
