1、第5课时函数应用课后训练巩固提升一、A组1.若x0是方程12x=x13的解,则x0属于区间()A.23,1B.12,23C.0,13D.13,12解析:令f(x)=12x-x13,由y=x13,y=12x的单调性可知,f(x)是单调函数,且f13=1213-13130,f12=1212-12130,-b2a0,b0,可得满足条件的函数;选项D,当a0时,为“上凸函数”不符合图象的特征;当a0,若函数f(x)在R上有两个不同零点,则实数a的取值范围是()A.-1,+)B.(-1,+)C.(-1,0)D.-1,0)解析:当x=12时,f12=212-1=0,故12是f(x)的一个零点,故当x0时也
2、应有一个零点,当x0时,由ex+a=0,即ex=-a,可得0-a1,即-1a0.答案:D6.函数f(x)=x3-x2-x+1在区间0,2上有个零点.解析:f(x)=x3-x2-x+1=(x-1)2(x+1),由f(x)=0,得x=1,或x=-1.故f(x)在区间0,2上有1个零点.答案:17.以下是用二分法求方程x3+3x-5=0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程,请补充完整,并写出结论.设函数f(x)=x3+3x-5,其图象在(-,+)上是连续不断的一条曲线.先求值:f(0)=,f(1)=,f(2)=,f(3)=.所以f(x)在区间内存在零点x0,填表:区间中点mf(m)的符号区间
3、长度结论:.解析:-5-1931(1,2)区间中点mf(m)的符号区间长度(1,2)1.5+1(1,1.5)1.25+0.5(1,1.25)1.125-0.25(1.125,1.25)1.1875+0.125(1.125,1.1875)0.0625|1.1875-1.125|=0.06250,设x1,x2是方程f(x)=0的两根,则|x1-x2|的取值范围是.解析:由f(0)f(1)0可得n(m+n)0,nm2+nm0.设t=nm,则t2+t0,x1+x2=2(m+n)m,x1x2=nm,|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=2nm2+nm+1=2t2+t+1,令g(t)=t2+t+1
4、,t(-1,0),可得g(t)34,1,故|x1-x2|3,2).答案:3,2)9.据气象中心观察和预测:发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示.过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km).(1)当t=4时,求s的值;(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来;(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.解:(1)由题中图象可知,当t=4时,v=34=
5、12,则s=12412=24(km).(2)当0t10时,s=12t3t=32t2;当10t20时,s=121030+30(t-10)=30t-150;当20t35时,s=1230(10+35)-12(-2t+70)(35-t)=-t2+70t-550.综上,可知s=32t2,t0,10,30t-150,t(10,20,-t2+70t-550,t(20,35.(3)当t0,10时,smax=32102=150650;当t(10,20时,smax=3020-150=450650;当t(20,35时,令-t2+70t-550=650,解得t1=30,t2=40.20t35,t=30.故沙尘暴发生3
6、0h后将侵袭到N城.二、B组1.函数f(x)=lg x-1x的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,10)C.(10,100)D.(100,+)解析:函数f(x)的定义域为(0,+),且函数f(x)单调递增,f(1)=-10,在区间(1,10)内函数f(x)存在零点.答案:B2.若方程x2+(m-2)x+(5-m)=0的两根都大于2,则实数m的取值范围是()A.(-5,-4B.(-,-4C.(-,-2)D.(-,-5)(-5,-4解析:考察函数f(x)=x2+(m-2)x+(5-m),由条件知它的两个零点都大于2,其图象如图所示.由图可知,-m-222,f(2)=m+50,(m-2)2-
7、4(5-m)0,即m-5,m4或m-4,-50,函数g(x)=f2(x)-4f(x)+m(mR),若函数g(x)有四个零点,则实数m的取值范围是()A.lg 5,4)B.3,4)C.3,4)lg 5D.(-,4解析:画出函数f(x)=10-x,x0lgx,x0的图象如图.令f(x)=t,则g(x)=0化为t2-4t+m=0,要使g(x)=0有四个解,则f(x)=t需有两解,由图象可知当t1时,f(x)=t有两解.g(x)有四个零点,方程t2-4t+m=0在区间1,+)有两个不等实数根,则=16-4m0,1-4+m0,解得3m4.答案:B4.设函数f(x)对xR都满足f(3+x)=f(3-x),
8、且方程f(x)=0恰有6个不同的实数根,则这6个实数根之和为()A.0B.9C.12D.18解析:由f(3+x)=f(3-x)知,f(x)的图象关于直线x=3对称,方程f(x)=0的6个实数根在x轴上的对应点关于直线x=3对称,依次设为3-t1,3-t2,3-t3,3+t1,3+t2,3+t3,故6个实数根之和为18.答案:D5.已知0a1,则方程a|x|=|logax|的实数根个数为.解析:设y1=a|x|,y2=|logax|,在同一平面直角坐标系中,分别画出这两个函数的图象,如图.由图可知,两函数图象有两个交点,故方程a|x|=|logax|有两个实数根.答案:26.已知函数f(x)=2
9、x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c由小到大的顺序为.解析:在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x,y=log2x,y=x3和y=-x的图象,如图,由图可知acb.答案:acb7.判断函数f(x)=2x3-1的零点个数,并用二分法求零点的近似值.(精确度为0.1)解:f(0)=-10,即f(0)f(1)0,f(x)在区间(0,1)内有零点.又f(x)在(-,+)上是增函数,f(x)只有一个零点,设为x0,且x0(0,1).取区间(0,1)的中点x1=0.5,f(0.5)=-0.750,f(0.5)f(1)0,即x0(0.5,1).取区间(0.5,1)的中点x2=0.75,f(0.75)=-0.156250,f(0.75)f(1)0,f(0.75)f(0.875)0.f(0.75)f(0.8125)0,即x0(0.75,0.8125),而|0.8125-0.75|=0.06250.1,函数f(x)的零点的近似值可取为0.75.