1、第1讲 变化率与导数、导数的计算A级基础练1已知函数f(x)可导，则lim 等于()Af(x)Bf(2)Cf(x)Df(2)解析：选B.因为函数f(x)可导，所以f(x)lim ，所以lim f(2)2函数yx2cos x在x1处的导数是()A0B2cos 1sin 1Ccos 1sin 1D1解析：选B.因为y(x2cos x)(x2)cos xx2(cos x)2xcos xx2sin x，所以y|x12cos 1sin 1.3已知f(x)x(2 021ln x)，若f(x0)2 022，则x0()Ae2B1Cln 2De解析：选B.因为f(x)x(2 021ln x)，所以f(x)2 0
2、21ln x12 022ln x，又f(x0)2 022，所以2 022ln x02 022，所以x01.4(2021丽水模拟)曲线f(x)在点P(1，f(1)处的切线l的方程为()Axy20B2xy30C3xy20D3xy40解析：选D.因为f(x)，所以f(x)，所以f(1)3，又f(1)1，所以所求切线方程为y13(x1)，即3xy40.5.如图，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，其中g(x)是g(x)的导函数，则g(3)()A1B0C2D4解析：选B.由题图可得曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，即f(3).又因为g(x)xf
3、(x)，所以g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，由题图可知f(3)1，所以g(3)130.6设函数f(x)在(0，)内可导，其导函数为f(x)，且f(ln x)xln x，则f(x)_，f(1)_解析：因为f(ln x)xln x，所以f(x)xex，所以f(x)1ex，所以f(1)1e11e.答案：xex1e7(2020绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线yx23ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为_解析：设切点为(m，n)(m0)，yx23ln x的导数为yx，可得切线的斜率为m，解方程可得，m2.答案：28(2020金华十校高考模拟)函数f(x)的定义域为R，f(2
4、)2 018，若对任意的xR，都有f(x)2x成立，则不等式f(x)x22 014的解集为_解析：构造函数g(x)f(x)x22 014，则g(x)f(x)2x0，所以函数g(x)在定义域上为减函数，且g(2)f(2)222 0142 01842 0140，由f(x)x22 014有f(x)x22 0140，即g(x)0g(2)，所以x2，不等式f(x)x22 014的解集为(2，)答案：(2，)9已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程解：(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)
5、上因为f(x)(x3x16)3x21.所以f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.所以切线的方程为y13(x2)(6)，即y13x32.(2)因为切线与直线yx3垂直，所以切线的斜率k4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f(x0)3x14，所以x01.所以或即切点坐标为(1，14)或(1，18)，切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.B级综合练10若点P是曲线yx2ln x上任意一点，则点P到直线yx2距离的最小值为()A1 B.C. D.解析：选B.因为定义域为(0，)，令y2x1，解得x1，则在P(1，1)处的切线方程为xy0，所以两平行线间
6、的距离为d.11若曲线yf(x)ln xax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是()A.B，)C(0，)D0，)解析：选D.f(x)2ax(x0)，根据题意有f(x)0(x0)恒成立，所以2ax210(x0)恒成立，即2a(x0)恒成立，所以a0，故实数a的取值范围为0，)故选D.12(2020宁波四中高三月考)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f (x)(f(x).若f(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数以下四个函数在上是凸函数的是_(把你认为正确的序号都填上)f(x)sin
7、 xcos x；f(x)ln x2x；f(x)x32x1；f(x)xex.解析：中，f(x)cos xsin x，f(x)sin xcos xsin0在区间上恒成立；中，f(x)2(x0)，f(x)0在区间上恒成立；中，f(x)3x22，f(x)6x在区间上恒小于0.中，f(x)exxex，f(x)2exxexex(x2)0在区间上恒成立，故中函数不是凸函数故为凸函数答案：13已知函数f(x)ax(x0)在x2处的切线方程为3x4y40.(1)求a，b的值；(2)求证：曲线上任一点P处的切线l与直线l1：yx，直线l2：x0围成的三角形的面积为定值解：(1)由f(x)ax，得f(x)a(x0)
8、由题意得即解得a1，b1.(2)证明：由(1)知f(x)x，设曲线的切点为P，f(x0)1，曲线在P处的切线方程为y(xx0)即yx.当x0时，y.即切线l与l2：x0的交点坐标为A.由得即l与l1：yx的交点坐标为B(2x0，2x0)又l1与l2的交点为O(0，0)，则所求的三角形的面积为S|2x0|2.即切线l与l1，l2围成的三角形的面积为定值14(2020绍兴一中月考)已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12和直线m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是曲线yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存
9、在，请说明理由解：(1)由已知得f(x)3ax26x6a，因为f(1)0，所以3a66a0，所以a2.(2)存在由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线yg(x)的切线，则设切点为(x0，3x6x012)因为g(x0)6x06，所以切线方程为y(3x6x012)(6x06)(xx0)，将(0，9)代入切线方程，解得x01.当x01时，切线方程为y9；当x01时，切线方程为y12x9.由(1)知f(x)2x33x212x11，由f(x)0得6x26x120，解得x1或x2.在x1处，yf(x)的切线方程为y18；在x2处，yf(x)的切线方程为y9，所以yf(x)与yg(x)的公切线是
10、y9.由f(x)12得6x26x1212，解得x0或x1.在x0处，yf(x)的切线方程为y12x11；在x1处，yf(x)的切线方程为y12x10，所以yf(x)与yg(x)的公切线不是y12x9.综上所述，yf(x)与yg(x)的公切线是y9，此时k0.C级提升练15设曲线C：y3x42x39x24，在曲线C上一点M(1，4)处的切线记为l，则切线l与曲线C的公共点个数为()A1B2C3D4解析：选C.y12x36x218x，则y|x1121361218112，所以曲线y3x42x39x24在点M(1，4)处的切线方程为y412(x1)，即12xy80.联立解得或或故切线与曲线C还有其他的公共点(2，32)，所以切线l与曲线C的公共点个数为3.故选C.16(2020浙江省十校联合体期末检测)已知函数f(x)aexx2，g(x)cos (x)bx，直线l与曲线yf(x)切于点(0，f(0)，且与曲线yg(x)切于点(1，g(1)，则ab_，直线l的方程为_解析：f(x)aex2x，g(x)sin (x)b，f(0)a，g(1)cos bb1，f(0)a，g(1)b，由题意可得f(0)g(1)，则ab，又f(0)a，即ab1，则ab2；所以直线l的方程为xy10.答案：2xy10