1、第三节空间点、直线、平面之间的位置关系2019考纲考题考情1平面的基本性质名称图示文字表示符号表示公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al，Bl，且A，Bl公理2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A、B、C三点不共线有且只有一个平面，使A、B、C续表名称图示文字表示符号表示公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，且Pl，且Pl2.空间两直线的位置关系(2)平行公理：公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行空间平行线的传递性。(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。(4)异面直线所成的角
2、：定义：设a、b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)。范围：。3直线与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数直线l在平面内l无数个直线l与平面相交lA一个直线l与平面平行l0个1公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。2异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线。3两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的
3、角，也可能等于其补角。 一、走进教材1(必修2P43练习T1改编)下列命题中正确的是()A过三点确定一个平面B四边形是平面图形C三条直线两两相交则确定一个平面D两个相交平面把空间分成四个区域解析对于A，过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面，故A错误；对于B，四边形也可能是空间四边形，不一定是平面图形，故B错误；对于C，三条直线两两相交，可以确定一个平面或三个平面，故C错误；对于D，平面是无限延展的，两个相交平面把空间分成四个区域，故D正确。答案D2(必修2P49练习题)若直线a不平行于平面，且a，则下列结论成立的是()A内的所有直线与a异面B内不存在与a平行的直线C内存在唯一的直线与a平行
4、D内的直线与a都相交解析若直线a不平行于平面，且a，则线面相交，A选项不正确，内存在直线与a相交；B选项正确，内的直线与直线a的位置关系是相交或者异面，不可能平行；C选项不正确，因为内的直线与直线a的位置关系是相交或者异面，不可能平行；D选项不正确，内只有过直线a与平面的交点的直线与a相交。故选B。答案B二、走近高考3(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A BC D解析如图，连接BD1，交DB1于点O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O为BD1的中点，所以AD1OM，则MOD为异面直线AD1与DB1所成角或其
5、补角。因为在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，AD12，DM，DB1，所以OMAD11，ODDB1，于是在DMO中，由余弦定理，得cosMOD，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为。故选C。答案C4(2016全国卷)平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()A B C D解析在正方体ABCDA1B1C1D1外依次再作两个一样的正方体，如图所示，易知AEB1D1，AFCD1，所以平面AEF平面CB1D1，即平面AEF就是过点A的平面，所以AE为平面与平面ABCD的交线，即为m，AF为平面与
6、平面ABB1A1的交线，即为n，所以m，n所成角即为AE与AF所成角，也是B1D1与CD1所成角，为CD1B1。而CD1B1为等边三角形，因此CD1B1，所以sinCD1B1。答案A三、走出误区微提醒：对等角定理条件认识不清致误；缺乏空间想象能力致误。5若AOBA1O1B1，且OAO1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是()AOBO1B1且方向相同BOBO1B1COB与O1B1不平行DOB与O1B1不一定平行解析两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，故选D。答案D6已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A相交或
7、平行 B相交或异面C平行或异面 D相交、平行或异面解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面。故选D。答案D7如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_。解析EF与正方体左、右两侧面均平行。所以与EF相交的平面有4个。答案4考点一 平面的基本性质【例1】在正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列说法是否正确，并说明理由。(1)直线AC1在平面CC1B1B内；(2)设正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；(3)由点A，O，C可以确定一个平
8、面；(4)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；(5)设直线l是平面ABCD内的直线，直线m是平面DD1C1C内的直线，若l与m相交，则交点一定在直线CD上。解(1)错误。若AC1平面CC1B1B，又BC平面CC1B1B，则A平面CC1B1B，且B平面CC1B1B，所以AB平面CC1B1B，与AB平面CC1B1B矛盾，故(1)中说法错误。(2)正确。因为O，O1是两平面的两个公共点，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1。(3)错误。因为A，O，C三点共线，所以不能确定一个平面。(4)正确。因为A，C1，B1不共线，所以A，C1，B1三点可确定平面，又四边形AB1C1D为平行
9、四边形，AC1，B1D相交于O2点，而O2，B1，所以B1O2，又DB1O2，所以D。(5)正确。若l与m相交，则交点是两平面的公共点，而直线CD为两平面的交线，所以交点一定在直线CD上。1三个公理是立体几何的基础。公理1是确定直线在平面内的依据；公理2是利用点或直线确定平面的依据；公理3是确定两个平面有一条交线的依据，同时也是证明多点共线、多线共点的依据。2证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，证明点在两个平面的交线上，或者选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在该直线上。 【变式训练】(1)在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，
10、G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么()A点P必在直线AC上B点P必在直线BD上C点P必在平面DBC内D点P必在平面ABC外(2)(2018全国卷)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为()A BC D解析(1)如图，因为EF平面ABC，而GH平面ADC，且EF和GH相交于点P，所以P在两面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上。(2)记该正方体为ABCDABCD，正方体的每条棱所在直线与平面所成的角都相等，即共点的三条棱AA，AB，AD与平面所成的角都相等。如图，连接AB，AD，BD，因为三棱锥AABD是正三棱锥，
11、所以AA，AB，AD与平面ABD所成的角都相等。分别取CD，BC，BB，AB，AD，DD的中点E，F，G，H，I，J，连接EF，FG，GH，HI，IJ，JE，易得E，F，G，H，I，J六点共面，平面EFGHIJ与平面ABD平行，且截正方体所得截面的面积最大。又EFFGGHHIIJJE，该六边形的六个内角都相等，所以该正六边形的面积为62，所以截此正方体所得截面面积的最大值为。故选A。答案(1)A(2)A考点二 空间两条直线的位置关系微点小专题方向1：异面直线的判定【例2】(2019益阳、湘潭调研考试)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直
12、线GH，MN是异面直线的图形有()A BC D解析由题意，可知题图中，GHMN，因此直线GH与MN共面；题图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；题图中，连接MG，则GMHN，因此直线GH与MN共面；题图中，连接GN，G，M，N三点共面，但H平面GMN，所以直线GH与MN异面。故选C。答案C异面直线的判定方法1反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。2定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线。 方向2：平行垂直的判定【
13、例3】 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是()AMN与CC1垂直BMN与AC垂直CMN与BD平行DMN与A1B1平行解析如图，连接C1D，则C1D过点N，在C1DB中，MNBD，故C正确；因为CC1平面ABCD，所以CC1BD，所以MN与CC1垂直，故A正确；因为ACBD，MNBD，所以MN与AC垂直，故B正确；因为A1B1与BD异面，MNBD，所以MN与A1B1不可能平行，故D错误。答案D线线平行或垂直的判定方法1对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理来判断。2对于线线垂直，往往利用线面
14、垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直。 【题点对应练】1(方向1)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线。其中正确的结论为_(注：把正确结论的序号都填上)。解析A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C平面AD1C1B，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，AM与DD1也是异面直线；错误，正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N平面MBB1，因此直线BN与MB1是异面直线，正确。答案2(方向
15、2)若m，n为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()若直线m，n都平行于平面，则m，n一定不是相交直线；若直线m，n都垂直于平面，则m，n一定是平行直线；已知平面，互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若m，则n；若直线m，n在平面内的射影互相垂直，则mn。A BC D解析对于，m与n可能平行，可能相交，也可能异面，错误；对于，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故正确；对于，还有可能n或n与相交，错误；对于，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面，则m与n在内的射影分别为AB与BC，且ABBC。而m与n所成的角为60，故错误。答案A
16、考点三 异面直线所成的角【例4】如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC60，PAABAC2，E是PC的中点。(1)求证：AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值。解(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为，因为A，B，E，所以平面即为平面ABE，所以P平面ABE，这与P平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线。(2)取BC的中点F，连接EF，AF，则EFPB，所以AEF(或其补角)就是异面直线AE与PB所成的角。因为BAC60，PAABAC2，PA平面ABC，所以AF，AE，EF，cosAEF，故异面直线AE与PB所成角的余弦值为。用平移法求异面直线所成的角的
17、3步骤1一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；2二证：即证明作出的角是异面直线所成的角或其补角。3三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角。 【变式训练】(1)在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，D是CC1的中点，则CA1与BD所成角的大小是()A BC D(2)如图，E，F分别是三棱锥PABC棱的AP，BC的中点，PC10，AB6，EF7，则异面直线AB与PC所成的角为_。解析(1)如图，取A1C1的中点E，连接BE，DE，则DEA1C，所以BDE或其补角即为CA1与BD所成的角，设为。由几何体AB
18、CA1B1C1是正三棱柱且ABBB1，可设其棱长为2。在BDE中，BD，BE，DE，由余弦定理可得cos0，所以。故选C。(2)取AC的中点M，连接EM，MF。因为E，F分别是AP，BC的中点，所以MFAB，MFAB3，MEPC，MEPC5，所以MF与ME所成的角即为AB与PC所成的角(或其补角)。在三角形MEF中，cosEMF，所以EMF120，所以异面直线AB与PC所成的角为60。答案(1)C(2)601(配合例1使用)如图所示，平面平面l，A，B，ABlD，C，Cl，则平面ABC与平面的交线是()A直线AC B直线ABC直线CD D直线BC解析由题意知，Dl，l，所以D。又DAB，所以D
19、平面ABC，所以点D在平面ABC与平面的交线上。又C平面ABC，C，所以点C在平面与平面ABC的交线上，所以平面ABC平面直线CD。故选C。答案C2(配合例1使用)给出下列四个说法：平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；若平面内的一条直线a与平面内的一条直线b相交，则与相交；若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；若三条直线两两相交，则这三条直线共面。其中正确说法的序号是_。解析中说法正确，因为直线在平面外，即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点；中说法正确，a，b有交点，则两平面有公共点，则两平面相交；中说法正确，两条平行直线可确定一个平面，又直线与两条平行直线
20、的两个交点在这两条平行直线上，所以过这两个交点的直线也在平面内，即三线共面；中说法错误，这三条直线可能交于同一点，但不在同一平面内。答案3(配合例2使用)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点。(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由。(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由。解(1)AM和CN不是异面直线。理由如下：连接MN，A1C1，AC。因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MNA1C1。又因为A1A綊C1C，所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1AC，所以MNAC，所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线
21、。(2)D1B和CC1是异面直线。理由如下：因为几何体ABCDA1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面。假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1平面，所以D1，B，C，C1，这与B，C，C1，D1不共面矛盾，所以假设不成立，即D1B和CC1是异面直线。4(配合例4使用)已知ABC与BCD均为正三角形，且AB4。若平面ABC平面BCD，且异面直线AB和CD所成的角为，则cos()AB CD解析过点B作BECD，过D作DECB交BE于点E，则ABE是异面直线AB和CD所成角或其补角，因为ABC与BCD均为正三角形，且AB4，平面ABC与平面BCD垂直，所以取BC中点O，连接OD，OA，则ODOA，因为ODBC，OABC，所以BC平面OAD，所以BCAD，则ADDE。所以AD2，AE2，所以cosABE。因为异面直线AB和CD所成的角为，所以cos，故选D。答案D
