1、陕西省安康市2021届高三数学上学期10月联考试题 理（含解析）一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】计算得到，再计算交集和补集得到答案.【详解】，.故选：B.2. 已知是复数的共轭复数，则（ ）A. B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】化简得到，再计算得到答案.【详解】，.3. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先化简，再利用充分条件和必要条件的定义判断.
2、【详解】因为，而不能推出，故选：B.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的判断，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4. 已知是第二象限角，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用二倍角公式化简得，再利用平方关系，计算可得结果.【详解】，即为第二象限角，又，即，解得.故选：C.【点睛】易错点睛：已知角的正弦（或余弦）值，利用平方关系，求对应的余弦（或正弦）值时，一定注意角的象限，确定值的正负.5. 已知函数的极值点为，则所在的区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，得（），令（），则，在上单调递增，由，可得存在，使，即，进而可判断出为其极值点【
3、详解】解：由，得（），令（），则，所以在上单调递增，因为，所以存在，使，即，当时，当时，所以为 的极大值点，所以所在区间为，故选：C【点睛】此题考查导数的应用，考查极值点的判断，考查计算能力，属于中档题6. 已知向量，满足，且与的夹角为，则向量与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求，进而可求，再求，即可求，利用结合，即可求解.【详解】，设向量与的夹角为，因为，所以，所以与的夹角为.故选：D7. 定义在上的偶函数满足，且当时， ，则（ ）A. B. C. 4D. 16【答案】B【解析】【分析】由题设可得函数的周期为，从而，再利用偶函数的性质可得的值.【详解】因为，
4、故，故函数的周期为，所以，又为偶函数，故，故，故选：B.【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性，一般地，如果函数满足，那么函数的一个周期为，本题属于中档题.8. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了()（ ）A. 10%B. 30%C. 60%D. 90%【答案】B【解析】【分析】根据所给公式、及对数的运
5、算法则代入计算可得；【详解】解：当时，当时， 约增加了30%.故选：B9. 四棱锥的顶点都在球O的球面上，是边长为的正方形，若四棱锥体积的最大值为54，则球O的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据四棱锥体积的最大值为54，可求得P到平面的最大距离，根据四棱锥的几何性质，即可求得球O的半径r，代入表面积公式，即可得答案.【详解】设球心到平面的距离为h，球O的半径为r，根据题意，当P到平面距离最大，即为r+h时，四棱锥的体积最大，所以，解得，又都在球面上，设平面所在圆心为，由题意得，所以，解得，所以表面积.故选：C【点睛】本题关键点在于根据体积最大值，求得P到平面的
6、最大距离，再根据外切关系，利用勾股定理，求得半径r，考查空间想象，分析计算的能力，属中档题.10. 已知函数，若， ，则（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】由和相加可得 ，再把代入可得到，从而得到答案.【详解】因为， ，即，得，所以，得，则，故选：B.【点睛】本题考查了函数的性质和对数的运算性质，属于基础题.11. 函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）A. 是图像的一条对称轴B. 图像的对称中心为C. 的解集为D. 的单调递减区间为【答案】C【解析】【分析】结合五点作图法和函数图像可求得函数解析式，采用代入检验法可依次判断各个选项得到结果.【详解】且，
7、又，由五点作图法可得：，解得：，.对于，当时，是的对称中心，错误；对于，当时，是的对称轴，错误；对于，由得：，解得：，正确；对于，当时，当时，不是的单调递减区间，错误.故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查正弦型函数的性质的判断，解决此类问题常用的方法有：（1）代入检验法：将所给单调区间、对称轴或对称中心代入，确定的值或范围，根据是否为正弦函数对应的单调区间、对称轴或对称中心来确定正误；（2）整体对应法：根据五点作图法基本原理，将整体对应正弦函数的单调区间、对称轴或对称中心，从而求得的单调区间、对称轴或对称中心.12. 已知函数，则不等式解集为（ ）A. B. C D. 【答案】D【解析】【分析
8、】根据解析式可判断是偶函数且在单调递增，则不等式等价于，即，解出即可.【详解】可知的定义域为，且，即是偶函数，令，当时，即在单调递增，在单调递增，不等式等价于，解得.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数的最大值为_.【答案】【解析】【分析】先求导，根据单调性求函数最大值即可.【详解】解：，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，的最大值为.故答案为：.【点睛】易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较，取其最小或最大，不确定时要分类讨论，基础题.14. 若
9、的展开式中第7项为常数项，则常数项为_(用数字填写答案).【答案】84【解析】【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】根据二项式定理：， ， ，故常数项为.故答案为：84.15. 为美化环境，某小区计划将一片扇形区域改造为一个绿化区兼休闲娱乐区，如图所示，该扇形区域的圆心角为120，在上选一点M，在弧上选一点N，使得，计划在点O处建休闲区，在点N处建健身区，并修建小路，则的最大值为_.【答案】20【解析】【分析】设，则，利用正弦定理得到，根据三角函数性质得到最值.【详解】如图，由题意，设，则.在中，由正弦定理可得，故，.当时，的最大值为.16. 已知函数，若恒成立，则a的取值范围是_.
10、【答案】【解析】【分析】若，则，当时，显然成立，当时，则，然后构造函数（），（），分别求解函数的最小值和的最大值，只需即可.【详解】若，则，当时，显然成立；当时，则，又因为当时，所以只需满足即可，令（），则，则时，所以在上递减，当时，则在上递增，所以，所以，令（），则，令，得（舍）或，则当时，；当时，所以函数在上递增，在上递减，所以，故，综上所述：.故答案为：.【点睛】方法点睛：本题考查根据不等式恒成立问题求参数的取值范围问题，考查学生分析问题、转化问题的能力，考查参变分离思想的运用，考查利用导数求解函数的最值，属于难题.解决此类问题的方法一般有以下几种：（1）作出函数图象，利用数形结合思想加
11、以研究；（2）先进行参变分离，然后利用导数研究函数的最值，即可解决问题，必要时可以构造新函数进行研究.三解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知公差的等差数列的前n项和为，是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由等比中项的性质和等差数列的前n和公式得出方程组，解之可得通项； （2）由（1）得，运用裂项相消法可求得数列的和.【详解】（1）由是与的等比中项，所以，联立，即得，解得，所以（2），所以【点睛】方法点
12、睛：求数列和常用的方法：（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；（4）等差等比数列：错位相减法.18. 为了调查糖尿病是否与不爱运动有关，在某地300名40岁以上的人中进行抽样调查，结果如下：患糖尿病未患糖尿病总计不爱运动爱运动总计（1）根据以上数据判断是否有97.5%的把握认为“40岁以上的人患糖尿病与不爱运动有关”；（2）从调查的患糖尿病的人中任意抽取2人作进一步了解，求抽取的爱运动人数X的分布列与数学期望.参考公式：，其中.参考数据：【答案】（1）有97.5%的把握认为“40以上的人患糖尿病与不爱运动有关”；（2）分布列答案见解析，数学期望
13、：.【解析】【分析】（1）根据题中所给的公式进行运算，结合题中所给的参考数据进行判断即可；（2）根据古典概型计算公式，计算出X每个可能取值的概率，然后列出X的分布列，再结合数学期望运算公式进行计算求解即可.【详解】（1）由表中数据可得，有97.5%的把握认为“40以上的人患糖尿病与不爱运动有关”.（2）X的可能取值为0，1，2.，故X的分布列为X012P.19. 如图，四棱锥中，平面，为等腰梯形，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）90.【解析】【分析】（1）计算可得，平面，平面，平面平面；（2）在上取E，使，连接，则，平面.以为原点，分别为轴建立空间
14、直角坐标系，利用向量法可求得结果.【详解】（1）显然，过A，B两点向引垂线交于M，N，则，设，由勾股定理得.平面，平面，平面平面.（2）在上取E，使，连接，则，平面.以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令得，同理可求得平面的法向量为，二面角为90.【点睛】方法点睛：证明垂直关系的方法有：证明线线垂直的常用方法：勾股定理、线面垂直的性质；证明线面垂直的常用方法：定义法、线面垂直的判定定理、面面垂直的性质定理；证明面面垂直的常用方法：定义法、面面垂直的判定定理、两平行平面中的一个垂直于一个平面，则另一个也垂直于这个平面.求二面角的方法有：定义法：在二面角的棱上选
15、取特殊点，过该点在两个半平面内作棱的垂线得到二面角的平面角，在三角形中计算可得结果；向量法：建立空间直角坐标系，利用二面角的两个半平面的法向量的夹角可求得结果.20. 已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为k的直线与抛物线交于A，B两点.（1）设O为坐标原点，直线，的斜率分别为，证明：；（2）过A，B两点分别作抛物线的切线，设两切线交于点C，若的面积为，求k的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）设，联立方程组，得到，结合斜率公式，即可求解；（2）分别求得的方程，联立方程组，求得，结合弦长公式和三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）由题意，抛物线，可得，设，代入抛物线方程
16、得，设，可得，.（2）不妨设，由得，所以，联立解得，即，所以，所以，解得.【点睛】解答直线与圆锥曲线问题时，通常联立方程组，应用二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，同时在证明定值问题时，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关，得出定值.21. 已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求a，b的值；（2）证明：.【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据解得，根据解得；（2）利用导数先证在上成立，再将所证不等式转化为证，即在上成立，构造函数利用导数可证不等式成立.【详解】（1）由已知得，.
17、，.（2）设，则，由得；由得.在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值，当时，所以，要使在上成立，只需使在上成立，即在上成立，设，则，由得，由得.在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值，即在上成立原不等式成立.22. 以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线：，M是上的动点，点N在射线上且满足，设点N的轨迹为.（1）写出曲线的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（2）已知直线l的参数方程为(t为参数，)，曲线截直线l所得线段的中点坐标为，求的值.【答案】（1）， ；（2）.【解析】【分析】（1）设，得到代入的方程得到，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解.（2）
18、将l的参数方程代入的直角坐标方程，求得，再结合直线参数方程的几何意义，得到，即可求解.【详解】（1）设，因为，可得，代入满足的方程，可得，即，两边同乘以并展开整理得，又由，所以的直角坐标方程为.（2）将l的参数方程代入的直角坐标方程，整理得，可得，又由直线参数方程经过点，可得，即，即，因为，所以.23. 已知函数.（1）在坐标系中画出函数的图像，并写出的值域；（2）若恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）图象答案见解析，；（2）.【解析】【分析】（1）分类讨论得到分段函数解析式，进而确定图像；由图像可得函数值域；（2）采用数形结合的方式，利用图像确定临界状态，由此得到所求范围.【详解】（1），其图像如图所示：由图像可得的值域为.（2）在同一坐标系中画出满足题意的，的图像，当过点时，或，由图像可知：，即实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：求解含绝对值的恒成立中的参数范围问题通常有两种方法：（1）分离参数法：根据绝对值不等式的解法先将参数分离，转化为求解函数值域问题；（3）数形结合法：利用函数图像确定临界值或临界状态，从而得到所求范围.- 21 -